Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

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[[File:WilliamRowanHamilton.jpeg|thumb|[[William Rowan Hamilton]]]]

{{Nota disambigua|altri significati di Hamiltoniana|Hamiltoniano}}

InLa '''meccanica hamiltoniana''', nella [[fisica]] e nella [[matematica]] e, in particolare, nella [[meccanica razionale]] e nell'[[analisi dei sistemi dinamici]], la '''meccanica hamiltoniana''' è una riformulazione della [[meccanica classica]] introdotta nel [[1833]] da [[William Rowan Hamilton]] a partire dalla [[meccanica lagrangiana]], descritta inizialmente da [[Joseph-Louis Lagrange]] nel [[1788]].

== Descrizione ==

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) una quantità astratta detta [[azione (fisica)|azione]], un [[funzionale]] definito come l'[[integrale]] nel tempo della [[lagrangiana]]. Solitamente questo equivale a minimizzare l'[[energia]] del [[sistema dinamico]] considerato, che è la somma dell'[[energia potenziale]] più l'[[energia cinetica]].

LaHamilton meccanica hamiltonianaha introduceintrodotto un formalismo che sta alla base della [[meccanica quantisticastatistica]] e della [[meccanica statisticaquantistica]], consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica. (siUn vedaaltro il [[Teoremaesempio di Liouvilleuna teoria fisica fondata sulla (meccanica Hamiltoniana)|teoremahamiltoniana diè la [[teoria delle Liouvilleperturbazioni]]).

La meccanica hamiltonianaEssa, operando una differente scelta di coordinate per generare lo [[spazio delle fasi]], riscrive le equazioni del moto di [[equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]], che erano alla base della descrizione di Lagrange, nella forma di [[equazioni di Hamilton]] e fa corrispondere all'energia totale del sistema una [[funzione scalare]] detta ''Hamiltoniana'hamiltoniana'''. Le trasformazioni che lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton sono inoltre dette [[trasformazione canonica|trasformazioni canoniche]], e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali; è una tecnica utilizzata ad esempio dalla [[teoria delle perturbazioni]].

==Derivazione da un sistema dinamico==

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della [[meccanica quantistica]] e della [[meccanica statistica]], consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica (si veda il [[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)|teorema di Liouville]]).

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria, cioè (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla), una quantità astratta detta [[azione (fisica)|azione]], un [[funzionale]] definito come l'[[integrale]] nel tempo della [[lagrangianaLagrangiana]]. Solitamente questo equivale a minimizzare l'[[energia]] del [[sistema dinamico]] considerato, che è la somma dell'[[energia potenziale]] più l'[[energia cinetica]].

Nella descrizioneIn [[meccanica lagrangiana|lagrangiana]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati, usate per identificare un [[punto materiale]] in moto, sono le sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1 , \dots ,q_n) \in \R^n </math> e le corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot q = ( \dot q_1 , \dots , \dot q_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

==Dalla meccanica lagrangiana alla meccanica hamiltoniana==

Nella descrizione [[meccanica lagrangiana|lagrangiana]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati usate per identificare un punto materiale in moto sono le sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1 , \dots ,q_n) \in \R^n </math> e le corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot q = ( \dot q_1 , \dots , \dot q_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla sola [[funzione scalare]] (detta "[[lagrangiana]]"):

:<math>\mathbf \ddot q = \mathbf f(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) </math>

:<math>\mathbf \ddotmathcal qL = \mathbf f(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) </math>

mediante le [[equazioni di Lagrange]], anziché dalle componenti [[forza (fisica)|forze]] e dai [[momenti meccanici]].

In [[Sistema di riferimento cartesiano|coordinate cartesiane]], se il moto è senza [[Vincolo|vincoli]] tale scrittura coincide con l'[[Principi della dinamica|equazione di Newton]]:

Line 17 ⟶ 22:

:<math>\mathbf F = m \mathbf \ddot x </math>

L'[[equazione del moto]] nellosi spaziopossono degliesprimere stati sono lecome [[equazioni variazionali di Eulero-Lagrange]]:

con <math>\mathbf q \equiv \mathbf x</math> e <math>\mathbf f = \mathbf F / m </math>, dove <math>\mathbf F</math> la [[forza]] e <math>m</math> la massa del punto.

L'[[equazione del moto]] nello spazio degli stati sono le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:

:<math>

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial \dot \mathbf q}\right)-\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial \mathbf q}=0

</math>

dove <math>\mathcal{ L}(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) = T(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t)-U(\mathbf q, t)</math> è la [[lagrangiana di Newton]], che è la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math> del sistema.

==Momenti coniugati==

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, dette ''coordinate canoniche'', nel quale alle coordinate generalizzate <math>\mathbf q</math> vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate <math>\mathbf \dot q</math>, i momenti coniugati <math>\mathbf p</math>. Il momento coniugato alla coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]]:

Hamilton propose di riesprimere l'equazione variazionale di Eulero, che è del secondo ordine, in due equazioni del primo ordine definendo i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math> alle coordinate.

Il momento coniugato alla coordinata <math>q_i</math> del sistema è la [[derivata parziale]] della lagrangiana rispetto alla componente della velocità corrispondente a quella coordinata:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial \dot{q}_j} </math>

ovvero:

:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial \dot{\mathbf q}}</math>

Lo spazio delledescritto da coordinate coppiee momenti <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> è lochiamato [[spazio delle fasi]]. In coordinate cartesiane la definizione di momento coniugato, che è valida per un più generico [[sistema di coordinate]], è equivalente (per un punto materiale di massa <math>m</math>) alla [[quantità di moto]]:

In coordinate cartesiane i momenti coniugati coincidono

:<math>\mathbf p = m \mathbf \dot x</math>

con le componenti della [[quantità di moto]]:

Nelle nuove coordinate :<math>(\mathbf q,p = m \mathbf p)\dot x</math> le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:;

la definizione di momento coniugato è però valida in qualunque [[sistema di coordinate]], anche curvilinee, e il

:<math>\dot p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j}</math>

significato fisico dei momenti coniugati dipende dalle coordinate scelte. Ad esempio, in [[coordinate polari]] nel piano il momento coniugato alla coordinata angolare coincide con la componente del [[momento angolare]] perpendicolare al piano stesso.

ovvero:

:<math>\mathbf \dot p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf q}</math>

==Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton==

La [[trasformatatrasformazione di Legendre]] della lagrangianaLagrangiana, nelle coordinate canoniche <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math>, è l'hamiltonianaHamiltoniana:

:<math>\mathcal{H} (\mathbf{q},\mathbf p,t) = \mathbf{p} \cdot \dot \mathbf q - \mathcal{L} (\mathbf{q},\dot \mathbf q,t) </math>

con <math>\dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf q,\mathbf{p},t) </math>. Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con [[Vincolo|vincoli]] indipendenti dal tempo (ed energie potenziali ordinarie), l'hamiltonianaHamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

:<math>\mathcal{H} = T + U </math>

Line 66 ⟶ 69:

:<math> \dot \mathbf{p} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} \qquad \dot \mathbf{q} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}} </math>

una riscrittura delle equazioni di Eulero-Lagrange. A partire da esse vengono quindi scritte le [[equazione del moto|equazioni del moto]] nel modello hamiltoniano. Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a <math> \mathbf p </math> e <math> \mathbf q</math>, cioè (scambiare <math>\pm \mathbf q </math> con <math> \mp \mathbf p</math> le lascia invariate). Più in generale, vengono dette ''coordinate canoniche'' tutte le variabili generalizzate le cui trasformazioni, dette ''[[trasformazioni canoniche]]'', lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton. Esse sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali.

In [[meccanica quantistica]] la funzione hamiltoniana è particolarmente importante ed è, chiamata [[operatore hamiltoniano]], alè particolarmente importante e ad qualeessa si fa corrispondere l'energia [[osservabile]], energia (ad esempio l'energia di particelle subatomiche o sistemi di particelle).

==Sistema dinamico hamiltoniano==

Line 76 ⟶ 79:

:<math>\mathbf \dot x = \mathbf v( \mathbf x) \qquad \mathbf x = (\mathbf q, \mathbf p) \in \R^{2n}</math>

con <math>\mathbf v</math> un [[campo vettoriale]] nello [[spazio delle fasi]], anche nel caso in cui le coordinate <math>\mathbf q</math> non sono ortogonali ma sono ad esempio polari o cilindriche. Al campo <math>\mathbf v</math> è associata l'hamiltonianaHamiltoniana <math>\mathcal H</math>, ovvero:

:<math> \mathbf v( \mathbf x) = E \, \nabla \mathcal H ( \mathbf x) </math>

Line 86 ⟶ 89:

-I_n & 0_n \end{bmatrix}</math>

è la [[Matrice simplettica|matrice simplettica standard]] e <math>\nabla </math> è il [[gradiente]]:

:<math>\nabla \mathcal H ( \mathbf x) = \left( \frac{\partial \mathcal H}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial \mathcal H}{\partial x_{2n}} \right) \equiv \left( \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_1} \cdots \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_n} \right)</math>

Il campo <math>\mathbf v </math> così definito è il [[campo vettoriale hamiltoniano]], ed è [[campo vettoriale solenoidale|solenoidale]] (<math>\nabla \cdot \mathbf v =0</math>). L'importanza della scelta delle coordinate hamiltoniane <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math>, inveceal cheposto di quelle lagrangiane <math>(\mathbf q,\mathbf \dot q)</math>, è legata al fatto che - per come sono definite - le coordinate canoniche si comportano, in un certo senso, come coordinate cartesiane ortogonali. Difatti, per una arbitraria scelta delle <math>\mathbf q</math> (ad esempio, polari o cilindriche), utilizzando i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p = \partial \mathcal{L} / \partial \mathbf \dot q</math> il sistema dinamico ha ancora la forma <math> \mathbf \dot x = E \, \nabla \mathcal H ( \mathbf x) </math>. Ciò consente alle [[equazioni di Hamilton]] di avere una struttura particolarmente simmetrica.

== Costanti del moto ==

{{Vedi anche|Integrale primo|Teorema di Noether}}

Un [[integrale primo]] del moto per un sistema dinamico con hamiltonianaHamiltoniana <math>\mathcal H</math> è una quantità <math>f(\mathbf q,\mathbf p, t)</math> definita sullo [[spazio delle fasi]] il cui valore rimane costante:

:<math>\dot f = 0</math>

Line 108 ⟶ 111:

è il [[campo vettoriale hamiltoniano]] definito sopra.

Utilizzando la [[parentesi di Poisson]] di <math>f</math> con l'hamiltonianaHamiltoniana la precedente si può scrivere in modo esplicito come:

:<math>{\partial f \over \partial t} + \{ f ,\mathcal H , f \} =0</math>

ovvero:

:<math>{\partial f \over \partial t} + \sum_{i=1}^n \left[ {\partial \mathcal Hf \over \partial q_i}{\partial f\mathcal H \over \partial p_i}-{\partial \mathcal Hf \over \partial p_i}{\partial f\mathcal H \over \partial q_i} \right] =0</math>

Nello specifico, se <math>f</math> non dipende dal tempo allora <math>\{ f, \mathcal H , f \} =0</math> se e solo se <math>f</math> è un integrale primo del moto.

==Derivazione delle equazioni di Hamilton==

{{vedi anche|Equazioni di Hamilton}}

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare considerando ill'[[Forma differenziale|1-forma delladifferenziale]] associata alla lagrangianaLagrangiana:

:<math>

Line 139 ⟶ 142:

\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L} \right ) = \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t</math>

Il membro di sinistra è l'hamiltonianaHamiltoniana, quindi si ha:

:<math>

\mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t</math>

Scrivendo allora, ilcome differenzialefatto diper <math>\mathcal{HL}</math>, direttamentel'1-forma rispettodifferenziale alassociata tempo (come fatto perad <math>\mathcal{LH}</math>) direttamente rispetto al tempo:

:<math>

Line 162 ⟶ 165:

:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_i</math>

e quindi la seconda equazione di Hamilton è:

:<math>\dot p_j = \frac{\partial \mathcal{LH}}{\partial q_jq_i} = - \dot p_i </math>

==Note==

Line 178 ⟶ 185:

*[[Azione (fisica)]]

*[[Calcolo delle variazioni]]

*[[Equazioni di Hamilton]]

*[[Lagrangiana]]

*[[Meccanica classica]]

*[[Meccanica lagrangiana]]

*[[Operatore hamiltoniano]]

*[[Parentesi di Poisson]]

*[[Principio variazionale di Hamilton]]

*[[Spazio delle configurazioni]]

*[[Sistema dinamico]]

*[[Teorema di NoetherLiouville (meccanica hamiltoniana)|Teorema di Liouville]]

*[[Teoria di Hamilton-Jacobi]]

*[[EquazioniWilliam diRowan Hamilton]]

*[[Trasformazione canonica]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

Line 198 ⟶ 206:

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|fisica|matematica|meccanica|scienza e tecnica}}

[[Categoria:Meccanica razionale]]