Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

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La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria, cioè a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla, una quantità astratta detta [[azione (fisica)|azione]], un [[funzionale]] definito come l'[[integrale]] nel tempo della [[Lagrangiana]]. Solitamente questo equivale a minimizzare l'[[energia]] del [[sistema dinamico]] considerato, che è la somma dell'[[energia potenziale]] più l'[[energia cinetica]].

In [[meccanica lagrangiana]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati, usate per identificare un [[punto materiale]] in moto, sono le sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1 , \dots ,q_n) \in \R^n </math> e le corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot q = ( \dot q_1 , \dots , \dot q_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale.

Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla sola [[funzione scalare]] (detta "[[lagrangiana]]"):

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dove <math>\mathcal L = T-U</math> è la [[lagrangiana di Newton]], che è la differenza tra [[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math> del sistema.

==Momenti coniugati==

Hamilton propose di riesprimere la l'equazione variazionale di Eulero, che è del secondo ordine, in due equazioni del primo ordine definendo i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math> alle coordinate.

Il momento coniugarltoconiugato alla coordinata <math>q_i</math> del sistema è la [[derivata parziale]] della lagrangiana rispetto alla componente della velocità corrispondente a quella coordinata:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_j} </math>

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In coordinate cartesiane i momenti coniugati coincidono

con le componenti della [[quantità di moto]]:

:<math>\mathbf p = m \mathbf \dot x</math>;

la definizione di momento coniugato è però valida in qualunque [[sistema di coordinate]], anche curvilinee, e il

significato fisico dei momenti coniugati dipende dalle coordinate scelte. Ad esempio, in [[coordinate polari]] nel piano il momento coniugato alla coordinata angolare coincide con la componente del [[momento angolare]] perpendicolare al piano stesso.

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== Costanti del moto ==

{{Vedi anche|Integrale primo|Teorema di Noether}}

Un [[integrale primo]] del moto per un sistema dinamico con Hamiltoniana <math>\mathcal H</math> è una quantità <math>f(\mathbf q,\mathbf p, t)</math> definita sullo [[spazio delle fasi]] il cui valore rimane costante:

:<math>\dot f = 0</math>

Line 164 ⟶ 165:

:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_i</math>

e quindi la seconda equazione di Hamilton è:

:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} = - \dot p_i </math>

==Note==