Urto anelastico: differenze tra le versioni

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[[File:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|Fotografia stroboscopica del rimbalzo di una palla. Ogni urto è anelastico, cioè parte dell'energia cinetica viene dissipata in ogni urto. Se si ignora l'[[Attrito#Attrito_viscoso|attrito viscoso]] dell'aria, la radice quadrata del rapporto tra le altezze di due rimbalzi successivi è il coefficiente di restituzione della collisione palla-superficie.]]

{{F|fisica|dicembre 2011|commento=}}

[[Immagine:Inelastischer stoß.gif|frame|Animazione di un urto anelastico totale]]

L''''urto anelastico''' è l'[[urto]] in cui l'[[energia meccanica]] totale non si conserva. Nel caso poi sia '''anelastico totale''', i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità <math>V\;</math> diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion.

L''''urto anelastico''', a differenza da un [[urto elastico]], è un [[urto]] in cui non si conserva l'[[energia cinetica]].<ref>{{Cita libro|autore=|nome1=P. Mazzoldi|nome2= N. Nigro|nome3= C. Voci|titolo=FIsica Volume 1|edizione=2|data=2003|editore=EdiSes Wiley|città=Napoli|ISBN=88-7959-137-1}}</ref>

==Conservazione della quantità di moto==

La legge di conservazione della [[quantità di moto]] del sistema è:

Nell'urto anelastico di corpi macroscopici, parte dell'energia cinetica è trasformata ad esempio in energia vibrazionale degli [[atomo|atomi]], che in seguito diviene [[calore]]; oppure in molti casi avviene anche una [[deformazione plastica]].

<math>P_t = \sum M \cdot v = cost</math>

Sebbene l'urto anelastico non conservi l'energia cinetica, si ha, come avviene in generale negli [[urti]], la [[Legge di conservazione della quantità di moto|conservazione della quantità di moto]] totale del sistema.

per gli ''urti anelastici totali'', si può scrivere

<math>m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2) \cdot V</math>

Gli urti anelastici negli [[acceleratori di particelle]] sono uno degli strumenti di indagine più importanti nella fisica nucleare e subnucleare, permettendo di studiare la struttura interna e le proprietà della materia e dei suoi costituenti elementari. In [[fisica nucleare]] si ha un urto anelastico quando una [[particella subatomica]] incidendo su [[nucleo atomico|nucleo]] o lo porta in uno [[stato eccitato]] o lo spezza in due o più componenti. Lo [[scattering anelastico profondo]] è una preziosa fonte di informazioni sulla struttura interna e sulle proprietà delle particelle subatomiche, in modo analogo all'[[esperimento di Rutherford]] utilizzato per studiare la struttura degli [[atomi]]. Ad esempio, nel 1968, esperimenti di [[Scattering anelastico profondo|scattering anelastici profondi]] presso lo Stanford Linear Accelerator Center ([[SLAC]]) hanno mostrato che il [[protone]] è composto da oggetti puntiformi, i [[quark (particella)|quark]], e che quindi non è una [[particella elementare]],<ref name="Bloom">

dove <math>m_1v_1\;</math> e <math>m_2v_2\;</math> rappresentano le quantità di moto prima dell'urto rispettivamente del primo corpo di massa <math>m_1\;</math> e del secondo corpo di massa <math>m_2\;</math>, mentre <math>(m_1+m_2) \cdot V</math> è la quantità di moto dell'intero sistema dopo l'urto, cioè quando i due corpi si fondono in un unico corpo di massa pari alla somma delle precedenti, <math>m_1+m_2\;</math>

{{Cita pubblicazione|autore=E. D. Bloom

|titolo=High-Energy Inelastic ''e''–''p'' Scattering at 6° and 10°

|rivista=[[Physical Review Letters]]

|volume=23 |numero=16 |pp=930-934

|anno=1969

|bibcode=1969PhRvL..23..930B

|doi=10.1103/PhysRevLett.23.930

}}</ref><ref name="Breidenbach">

{{Cita pubblicazione|autore=M. Breidenbach

|titolo=Observed Behavior of Highly Inelastic Electron–Proton Scattering

|rivista=[[Physical Review Letters]]

|volume=23 |numero=16 |pp=935-939

|anno=1969

|bibcode=1969PhRvL..23..935B

|doi=10.1103/PhysRevLett.23.935

}}</ref> mentre nel 2015 le collisioni anelastiche fra protoni nel [[Large Hadron Collider]] hanno permesso di scoprire fra i prodotti degli urti nuove particelle come i [[pentaquark]]<ref name="LHCb 13-7-2015">

{{Cita pubblicazione

|autore = LHCb collaboration: R. Aaij et al.

|url = https://arxiv.org/pdf/1507.03414v1

|anno=2015

|mese = luglio

|giorno = 13

|titolo=Observation of J/ψp resonances consistent with pentaquark states in Λ{{su|p=0|b=b}}→J/ψK{{su|p=−}}p decays

|rivista= arXiv

|arxiv= 1507.03414

|formato = pdf

}}</ref>.

==Urto completamente anelastico==

<math>V\;</math>, ricavabile dalla precedente espressione, rappresenta la velocità con cui si muovono i due corpi insieme dopo l'urto

[[File:Inelastischer stoß.gif|frame|Animazione di un urto completamente anelastico]]

Nel caso che l'urto sia '''completamente anelastico''', i corpi restano a contatto dopo la collisione, viaggiano con la stessa velocità e possono essere considerati come un unico corpo.

Se indichiamo con <math>\vec v_{10}</math> e <math>\vec v_{20}</math> le velocità dei due corpi di massa <math>m_1</math> e <math>m_2</math> prima dell'urto, dalla legge di conservazione della [[quantità di moto]] si ha

==Energia dissipata==

:<math>m_1\vec v_{10} + m_2\vec v_{20} = (m_1+m_2) \vec v_c</math>,

Se si suppone per semplicità che non vi siano variazioni di [[energia potenziale]] (caso più comune), allora la perdita di energia meccanica è dovuta alla sola variazione di [[energia cinetica]].

avendo indicato con <math>\vec v_c</math> la velocità del [[centro di massa]], che è anche la velocità dei due corpi restati a contatto dopo l'urto.

L'energia cinetica dissipata (energia termica) durante l'urto anelastico (calore), pari a <math>\Delta K\;</math>, è

<math>\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2)V^2 = \frac{1}{2} m_r (v_1 - v_2)^2</math>

Quindi la velocità finale dei due corpi dopo un urto completamente anelastico è:

dove:

:<math>\vec v_c=\frac {m_1\vec v_{10} + m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}</math>.

Un urto di questo tipo è il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità <math>\vec v_c\;</math> diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion, ma pari a quella del centro di massa comune.

<math>m_r = \frac{m_1 m_2} {m_1 + m_2}</math>

Nel [[pendolo balistico]] si utilizzano le proprietà dell'urto completamente anelastico per valutare la velocità dei proiettili.

si dice '''massa ridotta''' del sistema.

==Coefficiente di restituzione==

È possibile dimostrare che se l'urto è totalmente anelastico, l'energia cinetica dissipata è la massima possibile.

L'urto in genere viene trattato in maniera semplice se studiato nel [[sistema di riferimento del centro di massa]], in tale sistema di riferimento le [[quantità di moto]] dei due oggetti che si urtano appaiono eguali e contrarie sia prima che dopo l'urto.

Il [[sistema di riferimento inerziale]] in cui si osserva l'urto da fuori è chiamato sistema di laboratorio. Indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apici quelle di laboratorio. Le forze esterne se presenti, a meno che non siano impulsive, possono trascurarsi durante l'urto e quindi il sistema di riferimento del centro di massa è un sistema di riferimento inerziale.

La quantità di moto del primo corpo prima dell'urto è <math>\vec p'_{10}</math> e diviene dopo l'urto <math>\vec p'_{1f}=-e\vec p'_{10}</math>.

La grandezza adimensionale introdotta <math>0\le e \le 1</math> è chiamata '''coefficiente di restituzione''' e vale zero per un urto completamente anelastico, mentre se l'urto risulta elastico, <math>e=1</math>. Il coefficiente di restituzione è identico anche per la seconda particella.

Dalla definizione data avremo che:

:<math>\vec v'_{1f}=-e\vec v'_{10}\qquad e \qquad \vec v'_{2f}=-e\vec v'_{20}</math>,

cioè nel sistema del centro di massa le velocità di ciascun corpo conservano la direzione, ma cambiano il verso.

L'energia cinetica dopo l'urto è uguale a

:<math>E'_{kf}=\frac 12m_1{v'^2}_{1f}+\frac 12m_2{v'^2}_{2f}=e^2\left(\frac 12m_1{v'^2}_{10}+\frac 12m_2{v'^2}_{20}\right)=e^2E'_{k0}</math>

L'unica energia che viene dissipata è quella dei corpi nel sistema di riferimento del centro di massa. L'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa stesso non viene dissipata.

==Caso unidimensionale==

Nel caso che i due corpi prima dell'urto viaggino lungo la stessa direzione, nei casi più semplici l'urto può essere ridotto al caso unidimensionale e possiamo omettere il simbolo di vettore dalle velocità. La velocità del centro di massa nel sistema di laboratorio è:

:<math>v_c=\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}</math>

Ritornando dal sistema del centro di massa a quello di laboratorio:

:<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{c}=-ev_{10}^'+v_{c}=-e(v_{10}-v_{c})+v_{c}=-ev_{10}+(1+e)v_{c}=\\

&=-ev_{10}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-em_2)v_{10}+(1+e)m_2v_{20}}{m_1+m_2}

\end{align}\ </math>

:<math>\begin{align}v_{2f}&=v_{2f}^'+v_{c}=-ev_{20}^'+v_{c}=-e(v_{20}-v_{c})+v_{c}=-ev_{20}+(1+e)v_{c}=\\

&=-ev_{20}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_2-em_1)v_{20}+(1+e)m_1v_{10}}{m_1+m_2}

\end{align} </math>

Quindi siamo in grado nel caso unidimensionale di determinare la velocità finale dei due corpi dopo l'urto.

I due casi limite sono:

* <math>e=0</math> (urto completamente anelastico), dopo l'urto i due corpi procedono con la velocità del centro di massa, come già discusso:

:<math>v_{1f}=v_{2f}=\frac {m_2v_{20}+m_1v_{10}}{m_1+m_2}=v_{c}</math>

* <math>e=1</math> ([[urto elastico]])

:<math>v_{1f}=\frac {(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2}</math>

:<math>v_{2f}=\frac {(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2}</math>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

*{{cita libro|titolo=Principi di conservazione|editore=Alpha Test|anno=2004|autore=Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi|ISBN=88-483-0309-9|cid=AT}}

*{{cita pubblicazione|titolo=La cinematica degli urti|autore=Giuseppe Dalba|cid=GD|url=http://www.science.unitn.it/~fisica1/fisica1/appunti/mecc/appunti/cinematica/urti.pdf|formato=PDF|editore=Università degli Studi di Trento}}

==Voci correlate==

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* [[Urto]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

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