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In [[matematica]] e in particolare in [[algebra commutativa]], un '''anello quasi eccellente''' è un [[anello noetheriano]] [[anello commutativo|commutativo]] che si comporta bene rispetto all'operazione di completamento ed è chiamato '''anello eccellente''' se è anche [[universalmente catenaria]]. Gli anelli eccellenti sono la risposta al problema di trovare classi naturali di anelli con "buone proprietà" che contengano la maggior parte degli anelli che sorgono nello studio della [[teoria dei numeri]] e della [[geometria algebrica]]. Inizialmente sembrò che la classe degli anelli noetheriani potesse rispondere a questo problema, ma Nagata e altri trovarono diversi peculiari controesempi mostranti che non sempre gli anelli noetheriani hanno le proprietà desiderate: per esempio un anello noetheriano [[anello locale|locale]] [[anello normale|normale]] non è necessariamente [[analiticamente normale]]. La classe degli anelli eccellenti è stata definita da [[Alexander Grothendieck]] (1965) come candiadata per tale classe di anelli con buone proprietà. Si congettura che gli anelli quasi eccellenti siano gli anelli base per cui il problema della [[risoluzione delle singolarità]] possa essere risolto; [[Heisuke Hironaka]] l'ha dimostrato in caratteristica 0<ref>{{cita pubblicazione |nome=Heisuke |cognome=Hironaka |titolo=Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I. |rivista=Annals of Mathematics (2) |volume=79 |numero=1 |anno=1964 |mese=gennaio |pp=109-203 |url=https://www.jstor.org/stable/1970486 |lingua=en }}</ref><ref>{{cita pubblicazione |nome=Heisuke |cognome=Hironaka |titolo=Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: II. |rivista=Annals of Mathematics (2) |volume=79 |numero=2 |anno=1964 |mese=marzo |pp=205-326 |url=https://www.jstor.org/stable/1970547 |lingua=en }}</ref>, ma il caso di caratteristica positiva è ancora un grande problema aperto. Praticamente tutti gli anelli noetheriani che compaiono naturalmente in geometria algebrica o in teoria dei numeri sono eccellenti; in effetti è abbastanza difficile costruire esempi di anelli noetheriani che non sono eccellenti.
== Definizioni ==
* Un anello <math>R</math> contenente un campo <math>k</math> è detto '''[[geometricamente regolare]]''' su <math>k</math> se per ogni estensione finita <math>K</math> di <math>k</math> l'anello <math>R\otimes_k K</math> è [[anello regolare|regolare]].
* Un [[omomorfismo di anelli]] da <math>R</math> a <math>S</math> è detto '''regolare''' se è piatto e per ogni <math>p\in \mathrm{Spec}(R)</math> la fibra <math>S\otimes_R k(p)</math> è geometricamente regolare sul campo residuo <math>k(p)</math> di <math>p.</math>
* Un anello <math>R</math> è detto '''[[G-anello|<math>G</math>-anello]]''' (o '''anello di Grothendieck''') se è noetheriano e le sue fibre formali sono geometricamente regolari; ossia se per ogni <math>p\in \mathrm{Spec}(R),</math> la funzione dall'anello locale <math>R_p</math> al suo completamento è regolare nel senso suddetto.
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=== Un anello quasi eccellente che non è eccellente ===
L'[[Anello catenaria#Anello catenaria che non è universalmente catenaria|esempio di Nagata]]<ref>{{cita pubblicazione |nome=Masayoshi |cognome=Nagata |titolo=On the chain problem of prime ideals |rivista=Nagoya Math. J. |volume=10 |anno=1956 |pp=51–6451-64 |url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 |lingua=en }}</ref> di anello locale noetheriano 2-dimensionale che è catenaria ma non universalmente catenaria è un <math>G</math>-anello ed è anche un anello J-2 poiché ogni <math>G</math>-anello locale è un anello J-2. Quindi è un anello locale catenaria quasi eccellente che non è eccellente.
