Geometria euclidea: differenze tra le versioni

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[[File:Dodecahedron.gif|thumb|Dodecaedro]]

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito al [[matematico]] [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]] e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]]. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=19|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=10|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide incominciano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] e utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]]. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito allo scienziato [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]].

La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito al [[matematico]] [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]] e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]]. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/19 19]|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera [[Deduzione|deduttiva]] e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/10 10]|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide incominciano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] e utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]]. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

== I cinque postulati ==

I cinque [[Assioma (matematica)|postulati]] (o assiomi) di [[Euclide]] sono:<ref>{{cita|Euclide|p. 7}}.</ref>

# ''TraCongiungendo due [[Punto (geometria)|punti]] qualsiasi è possibile tracciaresi unaottiene eun una[[segmento]] soladi [[retta]];''

# ''Si può prolungare un [[segmento]] oltre i due [[Punto (geometria)|punti]] indefinitamente;''

# ''Dato un [[Punto (geometria)|punto]] e una [[lunghezza]], è possibile descrivere un [[cerchio]];''

# ''Tutti gli [[Angolo retto|angoli retti]] sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] tra loro;''

# ''Se una [[retta]] che taglia altre due rette determina dallo stesso [[Lato (geometria)|lato]] [[Angolo|angoli interni]] minorila cui somma è minore di due [[Angolo retto|angoli retti]], prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sonohanno somma minoriminore di due retti.''

[[File:Euclid's postulates.png |thumb|right|I cinque postulati di Euclide e la formulazione del quinto che oggi si preferisce utilizzare]]

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di [[matita]], [[Riga (strumento)|righello]] e [[Compasso (strumento)|compasso]], e il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. {{daInfatti chiarire|Lo stesso Euclide sembra essere a disagio in proposito,|"a disagio" secondo chi?}} tanto cheegli dimostra le prime 28 proposizioni del primo [[Elementi (Euclide)|libro degli ''Elementi'']] senza fare uso del quinto postulato.

Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:

:''Per un punto esterno a una retta data passa una e una sola retta [[Parallelismo (geometria)|parallela]] a questa.''

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le [[geometrie non euclidee]], come ad esempio la [[geometria iperbolica]].

=== [[Corollario|Corollari]] ===

Dagli [[assioma (matematica)|assiomi]] si possono dedurre delle relazioni di [[Incidenza (geometria)|incidenza]] tra punti, rette e [[Piano (geometria)|piani]]. Ad esempio:

* Per un punto passano infinite rette.

* Per due punti distinti passa una e una sola retta.

* Per una retta nello spazio passano infiniti piani.

* Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano.

* Per tre punti allineati passa una e una sola retta.

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:

* Due rette nello spazio si dicono ''[[Complanarità|complanari]]'' quando giacciono sullo stesso piano.

* Se un punto divide una retta, ciascuna delle due parti si dice [[semiretta]]: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.

* La parte di retta delimitata da due punti è detta [[segmento]].

=== Sul V postulato ===

[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]

{{Vedi anche|V postulato di Euclide}}

[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]

Nel [[1899]], [[David Hilbert]] (nato a [[Königsberg]] il 23 gennaio del 1862 e morto a [[Gottinga]] il 14 febbraio del 1943) propone un [[Assiomi di Hilbert|sistema assiomatico corretto per la geometria]]. Così facendo si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti: ad esempio, nel primo assioma, è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti; nel secondo, che una retta possegga più di un punto; nel terzo, che nel [[piano cartesiano|piano]] ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un [[segmento]] di retta per [[Traslazione (geometria)|traslazione]] senza deformarlo, e via di questo passo.

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== Bibliografia ==

;Fonti primarie

;Bibliografia primaria

* {{cita libro|autore=Euclide|titolo=Elementi|url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|anno=2008|ISBN=978-0-6151-7984-1|curatore=Richard Fitzpatrick|lingua=grc, en|cid=Euclide}}

;Fonti secondarie

;Bibliografia secondaria

* {{cita libro|autore=Leonardo Sasso|titolo=La matematica a colori,. Geometria|città=Torino|editore=Petrini|anno=2014|ISBN=978-88-494-1883-5|cid=Sasso}}

== Voci correlate ==