Merge sort: differenze tra le versioni

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{{F|programmazione|aprile 2012}}

{{stub informatica}}

{{Algoritmo

Il '''merge sort''' è un [[algoritmo]] [[algoritmo di ordinamento|di ordinamento]] abbastanza rapido, che utilizza un processo di risoluzione ricorsivo.

|classe = [[Algoritmo di ordinamento]]

|immagine = Merge-sort-example-300px.gif

|didascalia = Esempio di merge sort con una lista di numeri casuali. Innanzitutto, si divide l'elenco nell'unità più piccola (1 elemento), quindi si confronta ogni elemento con l'elenco adiacente per ordinare e unire i due elenchi adiacenti. Infine, tutti gli elementi vengono ordinati e uniti.

|struttura dati = [[Array]]

|tempo = <math>O(n\log n)</math>

|tempo migliore = <math>\Omega(n\log n)</math>

|tempo medio = <math>\Theta(n\log n)</math>

|spazio = <math>\Theta(n)</math>

|ottimale = In alcuni casi

}}

LIl 'idea''merge allasort''' baseè delun merge[[algoritmo sortdi èordinamento]] ilbasato procedimentosu confronti che utilizza un processo di risoluzione [[Algoritmo ricorsivo|ricorsivo]], sfruttando la tecnica del [[Divide et impera (informatica)|Divide et Impera]], che consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi della stessa natura di dimensione via via più piccolipiccola. Fu inventato da [[John von Neumann]] nel [[1945]]. Una descrizione dettagliata e un'analisi della versione bottom-up dell'algoritmo apparve in un articolo di Goldstine e Neumann già nel 1948.

== Descrizione dell'algoritmo ==

Il merge sort opera quindi dividendo l'insieme da ordinare in due metà e procedendo all'ordinamento delle medesime ricorsivamente. Quando si sono divise tutte le metà si procede alla loro fusione (merge appunto) costruendo un insieme ordinato.

Concettualmente, l'algoritmo funziona nel seguente modo:

# Se la sequenza da ordinare ha lunghezza 0 oppure 1, è già ordinata. Altrimenti:

# La sequenza viene divisa (''divide'') in due metà (se la sequenza contiene un numero dispari di elementi, viene divisa in due sottosequenze di cui la prima ha un elemento in più della seconda)

# Ognuna di queste sottosequenze viene ordinata, applicando [[Algoritmo ricorsivo|ricorsivamente]] l'algoritmo (''impera'')

# Le due sottosequenze ordinate vengono fuse (''combina''). Per fare questo, si estrae ripetutamente il minimo delle due sottosequenze e lo si pone nella sequenza in uscita, che risulterà ordinata

=== Esempio di funzionamento ===

L'algoritmo fu inventato da [[John von Neumann]] nel [[1945]].

[[File:MergeSort 2.gif|thumb|upright=2.2|Simulazione del merge sort in esecuzione su un array]]

Supponendo di dover ordinare la sequenza [10 3 15 2 1 4 9 0], l'algoritmo procede ricorsivamente dividendola in metà successive, fino ad arrivare agli elementi

[10] [3] [15] [2] [1] [4] [9] [0]

==Esempio pratico==

A questo punto si fondono (merge) in maniera ordinata gli elementi, riunendoli in coppie:

Supponiamo di dover ordinare il seguente array:

10 [3 15 10] [2 15] [1 4] [0 9 0]

Al passo successivo, si fondono le coppie di array di due elementi:

Si procede dividendolo in metà successive, fino ad arrivare a coppie:

<pre>

10 3

[2 3 10 15] [0 1 4 9]

15 2

Infine, fondendo le due sequenze di quattro elementi, si ottiene la sequenza ordinata:

1 4

[0 1 2 3 4 9 10 15]

9 0

</pre>

A questo punto si fondono (merge) in maniera ordinata gli elementi, riunendo le metà:

<pre>

10 3 -> 3 10

L'esecuzione ricorsiva all'interno del calcolatore non avviene nell'ordine descritto sopra. Tuttavia, si è formulato l'esempio in questo modo per renderlo più comprensibile.

15 2 -> 2 15

=== Implementazione ===

1 4 -> 1 4

[[File:Merge sort algorithm diagram2.JPG|thumb|Raffigurazione grafica delle versioni iterativa (bottom-up) e ricorsiva (top-down) dell'algoritmo]]

L'algoritmo può essere implementato fondamentalmente tramite due tecniche:

# '''Top-Down''', che è quella presentata in questa pagina. Opera da un insieme <math>A</math> e lo divide in sotto insiemi <math>(A_1, A_2)</math> fino ad arrivare all'insieme contenente un solo elemento, per poi riunire le parti scomposte;

# '''Bottom-Up''', che consiste nel considerare l'insieme <math>A</math> come composto da un vettore di <math>n</math> sequenze. Ad ogni passo vengono fuse due sequenze.

Una possibile implementazione dell'algoritmo in forma di [[pseudocodice]] tramite una tecnica top-down è la seguente:

9 0 -> 0 9

</pre>

Al passo successivo:

<pre>

3 10 2 15 -> 2 3 10 15

'''function''' mergesort (a[], left, right)

1 4 0 9 -> 0 1 4 9

'''if''' left < right '''then'''

</pre>

center ← (left + right) / 2

Infine:

mergesort(a, left, center)

mergesort(a, center+1, right)

merge(a, left, center, right)

Una possibile implementazione della funzione merge (unione di due sottosequenze ordinate) è la seguente:

2 3 10 15 0 1 4 9 -> 0 1 2 3 4 9 10 15

'''function''' merge (a[], left, center, right)

L'esecuzione ricorsiva all'interno del calcolatore non avviene nell'ordine descritto sopra, ma si è preferito formulare l'esempio in questo modo in maniera da renderlo più comprensibile.

i ← left

j ← center + 1

==Implementazioni==

k ← 0

b ← array temp size= right-left+1

Seguono alcune implementazioni in vari [[Linguaggio di programmazione|linguaggi]].

===[[linguaggio C|C]]===

#include <stdio.h>

'''while''' i ≤ center '''and''' j ≤ right '''do'''

void mergesort(int a[], int left, int right);

'''if''' a[i] ≤ a[j] '''then'''

void merge(int a[], int left, int center, int right);

b[k] ← a[i]

i ← i + 1

k ← k + 1

'''else'''

b[k] ← a[j]

j ← j + 1

k ← k + 1

'''end while'''

'''while''' i ≤ center '''do'''

b[k] ← a[i]

i ← i + 1

k ← k + 1

'''end while'''

'''while''' j ≤ right '''do'''

void main() {

b[k] ← a[j]

n=8;

v[n]={ 10, 3, 15, 2, 1,j 4,← 9,j 0};+ 1

k ← k + 1

mergesort(v, 0, n-1);

'''end while'''

}

void mergesort(int a[], int '''for''' k ← left, int'''to''' right){ '''do'''

a[k] ← b[k-left]

int center;

if (left<right){

center = (left+right)/2;

mergesort(a, left, center);

mergesort(a, center+1, right);

merge(a, left, center, right);

}

}

void merge(int a[], int left, int center, int right) {

int i, j, k;

int b[10];

i = left; j = center+1; k = 0;

while ((i<=center) && (j<=right)){

if (a[i] <= a[j]) { b[k] = a[i]; i++; }

else { b[k] = a[j]; j++;}

k++;

}

while (i<=center) {

b[k] = a[i]; i++; k++;

}

while (j<=right) {

b[k] = a[j]; j++; k++;

}

for (k=left; k<=right; k++)

a[k] = b[k-left];

}

===[[C++]]= Analisi ==

L'algoritmo Merge Sort, per ordinare una sequenza di <math>n</math> oggetti, ha complessità temporale <math>T(n) = \Theta(n\log n)</math> sia nel caso medio che nel caso pessimo. Infatti:

* la funzione merge qui presentata ha complessità temporale <math>\Theta(n)</math>

* mergesort richiama se stessa due volte, e ogni volta su (circa) metà della sequenza in input

Da questo segue che il tempo di esecuzione dell'algoritmo è dato dalla ricorrenza:

<math>T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+ \Theta(n)</math>

typedef int Item;

void merge(Item a[], int left, int center, int right) {

const int n=8;

static Item aux[n];

int i,j;

for (i = center+1; i > left; i--) aux[i-1] = a[i-1];

for (j = center; j < right; j++) aux[right+center-j] = a[j+1];

for (int k = left; k <= right; k++)

if (aux[j] < aux[i]) a[k] = aux[j--];

else a[k] = aux[i++];

}

void mergesort(Item a[], int left, int right) {

if (left<right) {

int center = (left+right)/2;

mergesort(a, left, center);

mergesort(a, center+1, right);

merge(a, left, center, right);

}

}

int main() {

const int n=8;

int a[n] = {10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};

mergesort(a,0,n-1);

return 0;

}

la cui soluzione in forma chiusa è <math>\Theta(n \log n)</math>, per il secondo caso del [[teorema principale]].

===[[Linguaggio di programmazione Java|Java]]===

Esistono implementazioni più efficienti della procedura merge, che hanno nel caso migliore complessità <math>O(1)</math>. Infatti, se i due array da fondere sono già ordinati, è sufficiente confrontare l'ultimo elemento del primo array con il primo elemento del secondo array per sapere che si può fonderli senza effettuare ulteriori confronti. Per cui si può implementare l'algoritmo mergesort in modo che abbia complessità O(nlogn) nel caso peggiore, e O(n) nel caso migliore, cioè quando l'array è già ordinato.

import java.util.*;

public class Sort{

private static void mergeSort(int []a, int []vectorTemp, int left, int right ){

if (left < right){

int center = (left + right) /2;

mergeSort (a, vectorTemp, left, center);

mergeSort (a, vectorTemp, center+1, right);

merge (a, vectorTemp, left, center+1, right);

}

}

public static void mergeSort(int[]a ){

int vectorTemp [];

vectorTemp =new int [a.length];

mergeSort (a, vectorTemp, 0, a.length-1);

}

private static void merge (int[]a, int[]vectorAux, int posLeft, int posRight, int posEnd ){

int endLeft = posRight -1;

int posAux = posLeft;

int numElemen = posEnd - posLeft +1;

while (posLeft <= posRight && posRight <=posEnd)

if ((a[ posLeft ])< (a[posRight]))

vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];

else

vectorAux [posAux++] = a[posRight++];

while (posLeft <= endLeft)

vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];

while (posRight <= posEnd)

vectorAux [posAux++]=a[posRight++];

for (int i=0;i<numElemen;i++,posEnd--)

a[posEnd]=vectorAux[posEnd];

}

public static void main (String [] args){

int vector[]= { 10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};

mergeSort(vector);

}

}

== Bibliografia ==

[[Categoria:Algoritmi di ordinamento]]

* {{Cita libro|autore=Thomas H. Cormen|wkautore=Thomas H. Cormen|autore2=Charles Eric Leiserson|autore3=Ronald Linn Rivest|wkautore3=Ronald Rivest|autore4=Clifford Stein|titolo=[[Introduzione agli algoritmi|Introduction to algorithms]]|edizione=3|data=2009|editore=MIT Press|ISBN=978-0-262-53305-8}}

== Analisi delle prestazioni ==

Il tempo di esecuzione dell'algoritmo Merge Sort è Θ(nlogn). Infatti:

== Altri progetti ==

- la funzione merge ha costo Θ(n), e mergesort richiama se stessa due volte ogni volta su metà della porzione di input. Quindi possiamo associare al tempo di esecuzione di mergesort la funzione temporale

{{interprogetto|b=Implementazioni di algoritmi/Merge sort|b_oggetto=implementazioni|b_preposizione=del|preposizione=sul}}

T(n) = 2T(n/2)+ Θ(n)

che per il secondo caso del teorema master è Θ(nlogn).

== Collegamenti esterni ==

[[de:Mergesort]]

* {{Collegamenti esterni}}

[[en:Merge sort]]

[[es:Ordenamiento por mezcla]]

{{Ordinamento}}

[[fi:Lomituslajittelu]]

{{Portale|informatica}}

[[fr:Tri fusion]]

[[he:מיון מיזוג]]

[[Categoria:Algoritmi di ordinamento]]

[[ja:マージソート]]

[[lb:Mergesort]]

[[lt:Sąlajos rūšiavimo algoritmas]]

[[nl:Mergesort]]

[[pl:Mergesort]]

[[pt:Merge sort]]

[[ru:Сортировка слиянием]]

[[zh:归并排序]]