Poligono regolare: differenze tra le versioni

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{{F|geometria|giugno 2016}}

{{Avvisounicode}}

[[File:PoliReg 02.svg|thumb|Pentagono regolare inscritto in una circonferenza.<ul>

<li>''C'' = centro della circonferenza circoscritta,

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<li>''a'' = un apotema del poligono.</ul>]]

Un '''poligono regolare''' è un [[poligono convesso]] che è contemporaneamente [[Poligono equilatero|equilatero]] (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e [[Poligono equiangolo|equiangolo]] (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro).

Si tratta cioè di una porzione [[insieme convesso|convessa]] di [[piano euclideo]] delimitato da una linea spezzata '''[[Linea spezzata chiusa|chiusa]]''', formata da una successione di [[segmento|segmenti]] di uguale lunghezza (detti [[lato (geometria)|lati]]), che formano tra di loro [[angolo|angoli]] di uguale ampiezza. Il nome ''poligono'' individua una pluralità (''poli'') di angoli (''gonos'') e il termine regolare sottende a una loro uguaglianza. Come in ogni poligono, il numero di lati coincide con il numero degli angoli e con il numero di [[Vertice (geometria)|vertici]], inoltre affinché la porzione di piano individuata da tale spezzata sia non nulla, vi devono essere almeno 3 lati.

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== Prime proprietà ==

[[File:Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|[[Costruzioni con riga e compasso|Costruzione con riga e compasso]] di un esagono regolare]]

Ogni poligono regolare con <math>n</math> lati è inscrivibile e circonscrivibilecircoscrivibile in due [[circonferenza|circonferenze]], infatti tracciando le [[bisettrice|bisettrici]] degli angoli interni si ottengono <math>n</math> [[triangolo isoscele|triangoli isosceli]] tutti congruenti e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze.

Un poligono regolare è [[simmetria (matematica)|simmetrico]] rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente <math>n</math> [[Riflessione (geometria)|assi di simmetria]]; se poi il numero di lati <math>n</math> è pari, allora il centro è [[centro di simmetria]] per il poligono. Oltre a queste simmetrie, vi sono anche altre [[trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] che lasciano invariato il poligono, ossia le [[Rotazione (matematica)|rotazioni]] rispetto al centro di angoli multipli di <math>360^\circ/n</math>. L'insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo, il [[gruppo diedrale]] di ordine <math>2n</math>.

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Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a <math>(1-2/n)\cdot 180^\circ</math>, pertanto la somma degli angoli interni è <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math>. Gli angoli esterni invece misurano <math>360^\circ/n</math> e dunque la loro somma consiste in un angolo di <math>360^\circ</math>.

Non tutti i poligoni regolari sono [[costruzione con riga e compasso|costruibili con riga e compasso]], si dimostra infatti che una [[condizione necessaria e sufficiente]] perché ciò accada è che i fattori primi dispari del numero di lati siano [[numero di Fermat|primi di Fermat]] distinti. In particolare, il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono e l'esagono regolari sono costruibili con riga e compasso, mentre l'ettagono regolare non lo è.

== Angoli ==

[[File:PoliReg 00.svg|thumb|&nbsp;&nbsp;&alpha; = angolo al centro,<br />&nbsp;&nbsp;&beta; = angolo interno,<br />&nbsp;&nbsp;&gamma; = angolo esterno.]]

Dato che gli <math>n</math> triangoli isosceli in cui è ;@@@@2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@scomponibile il poligono sono tutti congruenti, è chiaro che ogni angolo al centro <math>\alpha</math> ha ampiezza

scomponibile il poligono sono tutti congruenti, è chiaro che ogni angolo al centro <math>\alpha</math> ha ampiezza

:<math>\alpha = \frac{360^\circ}{n}.</math>

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:<math>n\beta = \left(n-2\right)\cdot 180^\circ,</math>

mentre la somma di somma degli angoli al centro (o, equivalentemente, degli angoli esterni) è

:<math>n\alpha=n\gamma=360^\circ.</math>

==Apotema==

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circonscrivibilecircoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il [[Raggio (geometria)|raggio]] della [[circonferenza inscritta]] è detto [[Apotema (geometria)|apotema]] e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. È facile ricavare una relazione tra l'apotema e il raggio della circonferenza circoscritta. Infatti, dato che i lati uguali di ognuno degli <math>n</math> triangoli isosceli che compongono il poligono sono raggi della circonferenza circoscritta e che gli angoli alla base hanno ampiezza <math>\beta/2</math>, risulta che l'apotema (che coincide con l'altezza di tali triangoli) misura

:<math>a = r\sin \frac{\beta}{2} = r\sin \left(90^\circ-\frac{180^\circ}{n}\right)=r \, \cos \frac{180^\circ}{n},</math>

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o anche, usando le formule della sezione precedente,

:<math>P_n = 2 n r\sin \frac{180^\circ}{n} = 2 n a\tan \frac{180^\circ}{n} a.</math>

Per calcolare l'area di un poligono regolare è sufficiente moltiplicare per <math>n</math> l'area dei triangoli isosceli che lo compongono. Quindi, dato che tali triangoli hanno come base un lato e come altezza l'apotema, il poligono regolare di <math>n</math> lati ha area

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o, equivalentemente,

:<math>A_n = n r^2\sin \frac{180^\circ}{n} \cdot \cos\frac{180^\circ}{n} = \frac {nr^2}2 \sin \frac{360^\circ}{n} = n a^2 \tan \frac{180^\circ}{n} a^2.</math>

Si noti che per <math>n</math> che [[Limite di una successione|tende all'infinito]], l'area tende a

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:<math>\lim_{n\to +\infty} n\tan \frac{180^\circ}{n} = \pi,</math>

che non è altro che l'area del cerchio circoscritto, confermando così l'intuizione che al crescere del numero dei lati il poligono vada a "riempire" il cerchio circoscritto. Allo stesso modo si trova che

:<math>\lim_{n\to +\infty} P_n = 2\pi r,</math>

poiché

:<math>\lim_{n\to +\infty} n\sin \frac{180^\circ}{n} = \pi.</math>

==Pentagono, esagono e decagono==

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:<math>\sqrt{L_6^2+L_{10}^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{5}{4}-\frac{2\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}-\frac{2\sqrt{5}}{4}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} = L_5</math>

Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un [[triangolo rettangolo]] i cui [[Cateto|cateti]] sono i lati dell'esagono e del decagono.

==Tabella riepilogativa==

[[File:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|Costruzione del pentagono regolare]]

[[File:Approximated Upright Heptagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|Costruzione approssimata dell'ettagono regolare]]

N.B.: Se si pensa a un poligono con un grandissimo numero di lati, l'angolo interno di quel poligono tende a diventare piatto, il lato tende a diventare nullo e l'area si avvicina di più a [[piquella della circonferenza greco]]circoscritta.

{| class="wikitable"

|- bgcolor="#ffff11"

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|-

|align="center"|3

|align="center"|[[Triangolo equilatero|Triangolo<br />equilatero]]

|align="center"|{{simbolo|Regular triangle.svg|40}}

|align="center"|60°

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*[[Geometria piana]]

*[[Poligono]]

*[[Poligono regolare improprio]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{poligoni}}