Invarianza di scala: differenze tra le versioni

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:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a).</math>

Considerando rotazioni della curva, l'invarianza si manifesta riscalando l'angolo, <math>\theta(\lambda r)</math>,; la trasformazione ovviamente lascia identica a se stessa la curva.

===Geometria proiettiva===

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===Frattali===

Spesso comunemente i [[Frattale|frattali]] sono indicati come oggetti invarianti di scala sebbene sarebbe più corretto dire che sono piuttosto [[Auto similarità|auto-similari]]. Un frattale è uguale a se stesso tipicamente solamentesolo per un insieme discreto di valori di λ e anche le traslazioni e le rotazioni devono essere applicate in modo discreto per riottenere lo stesso frattale. Quindi per esempio, la [[curva di Koch]] scala con Δ = 1, ma il riscalamento è valido solo per valori di λ = 1 / 3n con n intero. Inoltre, la curva di Koch si riscala non solo rispetto all'origine, ma, in un certo senso, "dovunque": una copia in miniatura di tutto il frattale può essere ritrovata in qualsiasi punto della curva.

Alcuni frattali possono avere sequenze differenti di valori di invarianza di scala che sono studiate con l'analisi multifrattale.

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===Cosmologia===

Nella [[cosmologia (astronomia)|cosmologia]], lo spettro di potenza della distribuzione spaziale della radiazione di fondo cosmica è prossima ad essere una distribuzione invariante di scala. Sebbene in matematica questo significhi che lo spettro esibisce una [[legge di potenza]], in cosmologia il termine "invariante di scala" indica che l'ampiezza, ''P''(''k''), delle fluttuazioni primordiali come funzione del [[numero d'onda]], ''k'', è approssimativamente costante, cioè uno spettro piatto. Questo tipo di spettro è consistente con i modelli [[Inflazione (cosmologia)|inflativi]].

==Invarianza di scala nelle teorie quantistiche dei campi==

La dipendenza dalla scala di una [[teoria quantistica dei campi]] (QFT) è caratterizzata dal modo in cui le sue [[costanti di accoppiamento]] dipendono dall'energia a cui avviene un dato processo. Questa dipendenza dall'energia è descritta dal [[gruppo di rinormalizzazione]], ed è codificata nella [[funzione beta (teoria quantistica dei campi)|funzione beta]] della teoria.

Per avere una teoria QFT invariante di scala, le sue costanti di accoppiamento devono essere indipendenti dalla scala di energia e questo è indicato dall'annullarsi della funzione beta della teoria. Queste teorie sono note come [[punto fisso|punti fissi]] del corrispondente flusso del gruppo di rinormalizzazione.

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===Elettrodinamica quantistica===

Un semplice esempio di teoria di campo quantistica invariante di scala è il [[campo elettromagnetico]] libero quantizzato senza alcuna particella carica. Questa teoria, come il suo corrispettivo classico, è invariante di scala semplicemente dato che non contiene al suo interno alcuna costante di accoppiamento (né con le assenti particelle cariche, né con gli stessi [[Fotone|fotoni]] dato che questi non interagiscono direttamente tra di loro).

Tuttavia in natura il campo elettromagnetico è accoppiato con le particelle cariche, come per esempio gli [[elettrone|elettroni]] o i [[positrone|positroni]]. La teoria quantistica che descrive sia i campi fermionici degli elettroni sia quelli elettromagnetici è nota come [[elettrodinamica quantistica]] (QED) e non è una teoria invariante di scala. Analizzando la funzione beta della QED, si ricava che la [[carica elettrica]] (che è il parametro di accoppiamento della teoria) cresce al crescere dell'energia . Quindi, mentre il campo elettromagnetico quantizzato senza particelle cariche '''è''' invariante di scala, la QED '''non''' è invariante di scala.

===Teorie di campo scalari prive di massa===