Teoria dell'elasticità: differenze tra le versioni

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[[File:Spring_resonance_simple.gif|thumb|[[Molla]] in [[Risonanza (fisica)|risonanza]]]]

{{stub fisica}}

La '''teoria dell'elasticità''' è la branca della [[meccanica del continuo]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] e la [[deformazione]] dei [[Corpo continuo|corpi solidi]] [[Elasticità (meccanica)|elastici]] sotto assegnate condizioni di carico ([[forza|forze]] o [[sollecitazione|sollecitazioni]]). Essa costituisce il soggetto di studio principale della [[meccanica dei solidi]] e trova il suo interesse sia nella [[matematica]], dove ha dato origine ad un'imponente mole di ricerca teorica, sia nella [[scienza delle costruzioni]], dove la teoria trova la sua orientazione applicativa fornendo una gamma abbastanza ampia di soluzioni (esatte o approssimate) a molti problemi. Essa ha pertanto applicazione in diversi campi ingegneristici (della [[analisi strutturale]] e della [[scienza dei materiali]], per esempio), ma anche in [[geofisica]] (interpretazione dei dati sismici mediante l'analisi delle onde elastiche) e in [[medicina]] (lo studio delle proprietà biomeccaniche di organi artificiali, per esempio).

La '''Teoria dell'elasticità''' è lo studio del comportamento dei [[corpo|corpi]] ''[[deformazione|deformabili]]'', ''[[elasticità (fisica)|elastici]]'', ''[[isotropia|isotropi]]'', nell'ipotesi che essi subiscano ''piccole deformazioni'' e siano caratterizzati da una ''[[linearità|legge di comportamento lineare]]''. Quest'ultima precisazione è comunque superflua, in quanto contenuta implicitamente nell'ipotesi di piccole deformazioni.

== Generalità ==

Allo scopo di semplificare la trattazione analitica del problema, è possibile introdurre un'ulteriore ipotesi semplificatrice, e cioè che anche gli ''spostamenti'' cui i corpi sono soggetti siano piccoli. Le ipotesi di piccole ''deformazioni'' e piccoli ''spostamenti'' sono tra loro indipendenti. La coppia di ipotesi di ''piccole deformazioni'' e ''piccoli spostamenti'' viene in genere definita ''ipotesi delle piccole perturbazioni''. A partire alle ipotesi si possono ottenere delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali lineari]]; per questo motivo la teoria esaminata è nota anche come ''teoria dell'elasticità lineare''.

Il nome ''Teoria dell'elasticità'' è comunemente sinonimo di ''teoria classica dell'elasticità'', che si limita a considerare piccoli spostamenti e piccole deformazioni di solidi di materiale elasto-lineare il cui legame costitutivo è riconducibile alla [[legge di Hooke]]: ad essa pertanto ci si riferisce anche come ''teoria lineare dell'elasticità''. Dalla teoria classica dell'elasticità resta pertanto escluso non solo lo studio dei corpi anelastici (elasto-plastici, materiali fragili, etc), ma anche lo studio dei corpi elastici in condizioni di grandi spostamenti e/o grandi deformazioni. Mentre il primo campo è oggetto di teorie specifiche ([[teoria della plasticità]], [[meccanica della frattura]], etc), il secondo campo rientra negli interessi della [[teoria delle grandi deformazioni|teoria nonlineare dell'elasticità]] e comprende sia gli studi di [[Stabilità delle strutture|teoria della stabilità]] dell'equilibrio elastico, che gli studi sul comportamento di materiali iperelastici non lineari, come le gomme, caratterizzate da deformazioni elevate pur in presenza di sollecitazioni modeste.

==Definizioni Storia ==

;Corpo (o mezzo) continuo: Si suppone che lo spazio in cui viviamo sia matematicamente rappresentabile come uno ''[[spazio euclideo]]'' a 3 [[dimensione|dimensioni]].

La teoria lineare dell'elasticità dei solidi continui tridimensionali nasce attorno al [[1820]] con il lavoro di [[Cauchy]] sui corpi continui tridimensionali. Contemporaneamente, [[Claude-Louis Navier|Navier]] sviluppò una diversa formulazione della teoria sulla base di una rappresentazione non continua ma corpuscolare della materia. Nei successivi anni, sempre ad opera di Cauchy, Navier e [[Siméon-Denis Poisson|Poisson]], le due diverse formulazioni si confrontarono in accese discussioni scientifiche (la controversia sul numero di moduli elastici indipendenti per un materiale [[isotropia|isotropo]]) che gradualmente portarono a evidenziare i limiti del modello corpuscolare. I successivi sviluppi della teoria dell'elasticità furono pertanto nel quadro del modello continuo. La controversia concernente il massimo numero possibile di moduli costitutivi elastici indipendenti per materiali [[anisotropia|anisotropi]] fu chiusa definitivamente dal matematico inglese [[George Green]] nel [[1837]], dimostrando che l'esistenza di una [[energia di deformazione]] richiede che, delle 36 costanti elastiche di legame costitutivo (tra le 6 componenti indipendenti di [[Tensione (meccanica)|tensione]] e le 6 componenti indipendenti di [[deformazione]]), solo 21 debbano essere indipendenti.

:Sia <math>\Omega</math> una porzione di tale spazio. Si dice allora che <math>\Omega</math> è occupato da un ''mezzo continuo'' se ad ogni suo punto possono essere associate delle grandezze fisiche relative al materiale di cui è costituito il mezzo. Tali grandezze fisiche possono essere rappresentate matematicamente da:

:* campi scalari su <math>\Omega</math> (temperatura, densità, ecc.);

:* campi vettoriali su <math>\Omega</math> (velocità, accelerazione, ecc.);

:* campi tensoriali su <math>\Omega</math> (tensore degli sforzi, tensore delle deformazioni).

Il [[XIX secolo]] segna non solo la nascita della teoria dell'elasticità, ma anche la derivazione di molte delle principali soluzioni elastiche associate ad importanti fenomeni fisici. Nel [[1850]] il matematico e ingegnere francese [[Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant|Barré de Saint-Venant]] sviluppò la soluzione della [[torsione]] per cilindri di sezione non circolare, evidenziando la necessità dell'ingobbimento della sezione con spostamenti fuori dal suo piano, e la soluzione della [[Flessione (meccanica)|flessione]] di travi soggette a carichi trasversali, chiarendo definitivamente il significato della [[teoria della trave]] di [[Jakob Bernoulli II|Jakob Bernoulli]], [[Eulero]] e [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] che permette di esprimere i principali problemi inerenti all'equilibrio elastico delle travi, degli archi e delle travature. Nella seconda metà del secolo, soluzioni in termini di tensioni e spostamenti indotte da forze concentrate furono conseguite da [[Lord Kelvin]] nel caso di forze concentrate su un punto interno di uno spazio infinito, dal matematico francese [[Joseph Boussinesq]] e dal matematico italiano [[Valentino Cerruti]] nel caso di forze concentrate su un punto della superficie di un semispazio.

:Si suppone inoltre che tali campi siano differenzibili in tutti i punti di <math>\Omega</math>.

Il matematico prussiano [[Leo August Pochhammer]] analizzò le [[vibrazione|vibrazioni]] di un cilindro elastico, mentre il matematico inglese [[Horace Lamb]] ed il fisico prussiano [[Paul Jaerisch]] ottennero nel [[1880]] l'equazione generale per il problema delle vibrazioni di un corpo sferico, soluzione che successivamente produsse, nel [[1900]] ad opera dei [[sismologia|sismologi]], il modello di rappresentazione delle vibrazioni della [[terra]]. Nel [[1863]] Kelvin ottenne la forma base della soluzione del problema dell'equilibrio elasto-statico di un solido sferico, che permetterà negli anni seguenti di rappresentare la deformazione della terra indotta dal suo moto di rotazione.

;Corpo elastico: Un corpo (o mezzo) continuo si definisce ''elastico'' se soddisfa le seguenti proprietà:

# per esso esiste uno stato particolare, detto ''di riposo'', in cui gli sforzi interni sono nulli e la temperatura è quella di riferimento;

# gli sforzi all'interno del corpo dipendono solamente dalla deformazione che il corpo ha subito, ''misurata a partire dalla condizione di riposo''.

==Formulazione matematica==

:Occorre precisare che a queste due condizioni si può aggiungere anche quella inerente la ''[[reversibilità|completa reversibilità]]'' della deformazione, cioè che il materiale non [[dissipazione|dissipa]] l'energia della deformazione: se il materiale soddisfa tale ulteriore ipotesi, esso viene definito ''iperelastico''.

{{Approfondimento

|titolo=Notazione e simbologia

|contenuto=

*<math>{\mathcal B}</math>: dominio occupato dalla configurazione iniziale del corpo,

*<math>{\mathcal C}_f</math>: parte libera del contorno di <math>{\mathcal B}</math>,

*<math>{\mathcal C}_u</math>: parte vincolata del contorno di <math>{\mathcal B}</math>,

*<math>\mathbf{N}</math>: normale uscente al punto del contorno,

*<math>\boldsymbol{\sigma}</math>: tensore simmetrico delle tensioni di Cauchy,

*<math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>: tensore simmetrico delle deformazioni infinitesime,

*<math>\mathbf{u}</math>: vettore degli spostamenti,

*<math>\bar{\mathbf{u}}</math>: vettore dei cedimenti assegnati,

*<math>\mathsf{C}</math>: tensore di quarto ordine dei coefficienti elastici,

*<math>\lambda, \mu</math>: costanti elastiche di Lamé per materiali isotropi,

*<math>\mathbf{b}</math>: forza per unita di volume,

*<math>\mathbf{f}</math>: forza per unità di superficie,

*<math>\rho</math>: densità di massa,

Operatori su vettori, tensori/matrici:

;Piccole deformazioni: Si definisce ''piccola deformazione'' una deformazione per cui la ''variazione'' delle mutue distanze tra i punti del corpo che si deforma è piccola se raffrontata alle distanze stesse.

*<math>\dot{(\bullet)}</math>: derivata prima rispetto al parametro temporale t.

*<math>\ddot{(\bullet)}</math>: derivata seconda rispetto al parametro temporale t.

*<math>\boldsymbol{\nabla}(\bullet)</math>: operatore [[gradiente]]

*<math>(\bullet)^T</math>: operatore [[trasposto]],

*<math>\mathbf{div}(\bullet)</math>: operatore di [[divergenza]],

*<math>\boldsymbol{\nabla}^2(\bullet)</math>: operatore [[laplaciano]],

*<math>\mathbf{rot}(\bullet)</math>: operatore di [[Rotore (matematica)|rotore]],

}}

Il problema fondamentale della teoria dell'elasticità è quello di determinare il moto e la deformazione che un dato corpo elastico subisce sotto l'azione di assegnate forze esterne, nel rispetto delle relazioni di bilancio (equilibrio), congruenza [[cinematica]] e di legame costitutivo elasto-lineari. La teoria fa riferimento al modello [[continuo di Cauchy]], nell'ipotesi di piccoli spostamenti (tale da poter confondere, ai fini dell'equilibrio, configurazione deformata e configurazione iniziale indeformata) e piccole deformazioni, assumendo un legame elastico lineare ricondicibile alla [[legge di Hooke|legge di Hooke generalizzata]], nel seguito particolarizzati per il solo caso di materiali isotropi. Nel dominio <math>{\mathcal B}</math> occupato dalla configurazione iniziale del corpo, tale problema è espresso da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, rappresentate nella [[tensore|notazione tensoriale]] classica della [[meccanica del continuo]] da

==Equazioni fondamentali della teoria dell'elasticità==

===Tensore di deformazione===

Se sottoposti a forze, i corpi solidi si deformano, cioè cambiano di forma e volume. Per affrontare la descrizione matematica della deformazione di un corpo, è utile disporre di un metodo per identificare i punti appartenenti al corpo stesso. A tal fine, per ogni punto appartenente al corpo, si introduce un ''raggio vettore'' '''<math>r</math>''' (di componenti <math>x_1=x</math>, <math>x_2=y</math> e <math>x_3=z</math>) che congiunge l'origine del sistema di [[coordinate]] con il punto stesso.

:* ''Equazione del moto'', che esprime la [[Continuo di Cauchy#Leggi di Eulero, teorema di Cauchy ed equazioni del moto|prima legge di bilancio di Eulero]]:

Nel corso del processo di deformazione, tutti i punti del corpo possono subire uno spostamento. Si consideri un punto qualunque; se '''<math>r</math>''' è il raggio vettore associato a tale punto prima della deformazione, a seguito di quest'ultima esso si trasformerà in '''<math>r'</math>''' (di componenti <math>x_i'</math>). Allora, lo spostamento del punto preso in esame è definito dal vettore '''<math>r-r'</math>''', designato con '''<math>u</math>''':

::<math>\mathbf{div}\,\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b} = \rho~\ddot{\mathbf{u}} </math>

<div style="text-align:center;"><math>u_i=x_i'-x_i</math></div>.

:* Equazione di congruenza cinematica:

::<math>\boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]</math>

:* Le relazioni costituitive per materiali elastici-lineare (legge di Hooke generalizzata <math> \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon}

</math>) che per materiali isotropi è espressa dalla:

::<math>

{\boldsymbol \sigma} = \lambda~\text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\mu~\boldsymbol{\varepsilon}

</math>

con le possibili condizioni al contorno

:* ''naturali'', di equilibrio tra tensioni interne e sforzi superficiali esterni sulla parte libera <math>{\mathcal C}_f</math> del contorno di <math>{\mathcal B}</math>

::<math>\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n} = \mathbf{f} </math>

:* ''essenziali'', di congruenza cinematica tra spostamento e cedimenti sulla parte vincolata <math>{\mathcal C}_u</math> del contorno di <math>{\mathcal B}</math>:

::<math>\mathbf{u}=\bar{\mathbf{u}}</math>

e condizioni iniziali

::<math>\mathbf{u}(\cdot)|_{t=0}=\mathbf{u}^o\;,\;\dot{\mathbf{u}}(\cdot)|_{t=0}=\dot{\mathbf{u}}^o </math>

{{Approfondimento

Il vettore appena definito prende il nome di ''vettore di deformazione'' (o di ''spostamento''). Esso è evidentemente funzione delle coordinate <math>x_i</math>.

|titolo=Rappresentazione in componenti scalari cartesiane

|contenuto=

Fissato un sistema di [[coordinate cartesiane]] <math>(X_1,X_2,X_3)</math> si indichi con la seguente notazione compatta l'operazione di derivata parziale

:<math>(\bullet),_i \equiv \frac{\partial}{\partial X_i}(\bullet)</math>

e si faccia uso della [[notazione di Einstein]] sugli indici ripetuti

:<math>(\bullet)_{kk} \equiv \sum_{k=1}^3 (\bullet)_{kk}</math>

Le principali relazioni scalari in componenti scalari cartesiani hanno allora la seguente rappresentazione:

Nel corso della deformazione, variano anche le mutue distanze tra i punti di un corpo. Si considerino due punti infinitamente vicini: Se con <math>dx_i</math> si indicano le componenti del vettore differenza tra i rispettivi raggi vettori prima della deformazione, queste si trasformano in <math>dx_i'=dx_i+du_i</math>. La distanza tra i due punti prima della deformazione è

*equazioni di campo

<div style="text-align:center;"><math>dl=\sqrt{dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2}</math></div>

::<math>\sigma_{ij,j} + \rho~{b}_i = \rho~\ddot{u}_i </math>

::<math>\varepsilon_{ij} =\tfrac{1}{2} \left[{u}_i,_j+{u}_j,_i\right]</math>

::<math>

\sigma_{ij} = \lambda~\varepsilon_{kk} ~\delta_{ij}+2~\mu~\boldsymbol{\varepsilon}_{ij}

</math>

*condizioni al contorno

::<math>{\sigma}_{ij} \,{N}_j = {f}_i </math>

::<math>{u}_i=\bar{u}_i</math>

*condizioni iniziali

::<math>{u}_i(\cdot)|_{t=0}={u}_i^o\;,\;\dot{{u}}_i(\cdot)|_{t=0}=\dot{{u}}_i^o </math>

}}

Nel caso di forze esterne in equilibrio e in assenza di effetti dinamici, la soluzione del problema è indipendente dal parametro temporale e si parla di problema '''''elastostatico'''''. In tale caso scompaiono le condizioni iniziali e l'equazione del moto è trasformata nella seguente equazione di equilibrio

e diventa

<div style="text-align:center;"><math>dl'=\sqrt{dx_1'^2+dx_2'^2+dx_3'^2}</math></div>

::<math>\mathbf{div}\,\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b} = \mathbf{0} </math>

Introducendo la [[convenzione di Einstein]] per la sommatoria, si ha che

===Formulazione agli spostamenti (equazioni di Cauchy)===

<div style="text-align:center;"><math>\begin{matrix} dl^2=dx_i^2,\qquad & dl'^2=dx_i'^2=(dx_i+du_i)^2. \end{matrix}</math></div>

Nella scrittura del problema differenziale, le forze e i cedimenti risultano i dati del problema, mentre le incognite sono rappresentate da tensioni, deformazioni e spostamenti (<math>\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{\varepsilon}, \mathbf{u}</math>): il problema si dice pertanto formulato in forma mista. È possibile ottenere una formulazione del problema nei soli spostamenti. In tale approccio, le deformazioni e le tensioni sono eliminate dalla formulazione, lasciando solo gli spostamenti come incognite rispetto a cui risolvere le equazioni del problema. Per le equazioni di campo, ciò è conseguito a partire dalle equazioni di equilibrio, facendo uso del legame costitutivo per sostituire le variabili tensionali in termini dei parametri deformativi,

::<math>\mathbf{div} \bigl(\lambda~\text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\mu~\boldsymbol{\varepsilon} \bigr) + \mathbf{b} = \rho~\ddot{\mathbf{u}} </math>

e successivamente facendo uso del legame di congruenza cinematica per sostituire questi ultimi in termini dei parametri di spostamento.

::<math>\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{u} + (\lambda+\mu)\, \boldsymbol{\nabla} \bigl( \mathbf{div} \mathbf{u} \bigr) + \mathbf{b} = \rho~\ddot{\mathbf{u}} </math>

Analoga trasformazione è operata per le [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]] naturali mentre quelle essenziali risultano già direttamente espresse nelle sole componenti di spostamento.

Nel caso elasto-statico (<math>\ddot{\mathbf{u}}=\mathbf{0} </math>), le equazioni così ottenute sono dette di Cauchy.

Sostituendo <math>du_i=\frac{\partial u_i}{\partial x_k}dx_k</math>, <math>dl'^2</math> può essere riscritto

{{Approfondimento

|titolo=Equazioni di Cauchy in componenti scalari

|contenuto=

:<math>\mu\, u_{i,jj}+(\mu+\lambda)\,u_{j,ij}+ b_i=0 </math>

}}

{{vedi anche|Metodo degli spostamenti}}

<div style="text-align:center;"><math>dl'^2=dl^2+2\frac{\partial u_i}{\partial x_k}dx_i dx_k+\frac{\partial u_i}{\partial x_k}\frac{\partial u_i}{\partial x_l}dx_k dx_l</math>.</div>

Nel caso elasto-dinamico, dalle equazioni ottenute è possibile ricavare l'[[equazione delle onde]], che nella sua forma più semplice è rappresentata dalla

Poiché ''i'' e ''k'' sono [[indici muti]], nel secondo termine a destra dell'uguaglianza si ha

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u, </math>

dove <math> u </math> è un campo di spostamento scalare e ''c'' è una fissata costante pari alla velocità di propagazione dell'onda.

<div style="text-align:center;"><math>\frac{\partial u_i}{\partial x_k}dx_i dx_k=\frac{\partial u_k}{\partial x_i}dx_i dx_k</math>.</div>

===Formulazione alle tensioni (equazioni di Beltrami-Michell)===

Scambiando nel terzo termine gli indici ''i'' ed ''l'', segue:

{{vedi anche|Equazioni di Beltrami}}

{{Approfondimento

|titolo=Equazioni di S. Venant in componenti scalari

|contenuto=

In termini scalari, le equazioni di S. Venant

:<math>\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0</math>

sono rappresentate da 81 relazioni scalari di cui solo le 6, qui di seguito riportate per esteso, sono indipendenti

:<math>

\begin{align}

{\varepsilon}_{11},_{22}+{\varepsilon}_{22},_{11}&=2{\varepsilon}_{12},_{12} \\

{\varepsilon}_{11},_{33}+{\varepsilon}_{33},_{11}&=2{\varepsilon}_{13},_{13} \\

{\varepsilon}_{22},_{33}+{\varepsilon}_{33},_{22}&=2{\varepsilon}_{23},_{23} \\

{\varepsilon}_{12},_{33}+{\varepsilon}_{33},_{12}&={\varepsilon}_{13},_{23}+{\varepsilon}_{23},_{13} \\

{\varepsilon}_{13},_{22}+{\varepsilon}_{22},_{13}&={\varepsilon}_{12},_{23}+{\varepsilon}_{23},_{12} \\

{\varepsilon}_{23},_{11}+{\varepsilon}_{11},_{23}&={\varepsilon}_{12},_{13}+{\varepsilon}_{13},_{12} \\

\end{align}

</math>

}}

Una formulazione del problema nelle sole variabili tensionali è ottenibili nel caso statico e con condizioni al contorno solo di tipo naturale, assegnando lo sforzo su ogni punto della frontiera del dominio. In un tale approccio, le deformazioni e gli spostamenti sono eliminate dalla formulazione, lasciando solo le tensioni come incognite rispetto a cui risolvere le equazioni del problema. Una volta determinate le tensioni incognite, sono calcolate le deformazioni mediante il legame costitutivo, e gli spostamenti integrando le equazioni di congruenza cinematica.

<div style="text-align:center;"><math>{dl'}^2=dl^2+2u_{ik} dx_i dx_k</math>,</div>

Le equazioni di equilibrio (tre equazioni scalari)

ove il tensore <math>u_{ik}</math> è definito da

:<math>\mathbf{div}\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b} = \mathbf{0} </math>

risultano già direttamente espresse nelle incognite tensioni (sei componenti scalari indipendenti), ma esse sono insufficienti da sole a costituire in modo completo le equazioni di campo del problema. Le rimanenti equazioni devono essere ricavate dalle relazioni di congruenza e dalle relazioni costitutive. A tal fine conviene fare riferimento alle [[Deformazione#Equazioni esplicite di congruenza di S. Venant|Equazioni esplicite di congruenza di S. Venant]], ed espresse in termini tensoriali dalla

<div style="text-align:center;"><math>u_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i}\frac{\partial u_l}{\partial x_k})</math>.</div>

A partire dalle equazioni del S. Venant, riscritte in termini delle variabili tensione facendo uso del legame costitutivo, si ottengono le relazioni che completano il quadro delle equazioni di campo della formulazione tensionale del problema elasto-statico. Le equazioni ottenute sono dette ''equazioni di compatibilità Beltrami-Michell''

Queste espressioni determinano la variazione dell'elemento di lunghezza a seguito della deformazione del corpo. Ad <math>u_{ik}</math> si dà il nome di ''tensore di deformazione''; esso è evidentemente un [[tensore simmetrico]]:

:<math>\mathbf{rot}\,\mathbf{rot}\bigl(\tfrac{1}{2\mu}\,\boldsymbol{\sigma}-\tfrac{3\lambda+2\mu}{2\mu} \,\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})\, \boldsymbol{\mathit{1}}\bigr)=\mathbf{0}</math>

Queste sono espresse in componenti scalari, nel caso di forze di massa costante, dalle seguenti relazioni

:<math>\sigma_{ij,kk}+\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij}=0</math>

== Formulazioni integrali ==

<div style="text-align:center;"><math>u_{ik}=u_{ki}</math>.</div>

Quella data è la formulazione differenziale del problema elastico. Altre formulazioni sono possibili sulla base di una diversa scrittura delle equazioni del problema.

A tale scopo, risulta utile il [[Teorema dei lavori virtuali#Principio dei lavori virtuali|principio dei lavori virtuali]].

Si fa riferimento nel seguito al solo caso elasto-statico.

''Il principio si basa'' sull'equazione dei lavori virtuali, cioè sull'uguaglianza tra lavoro virtuale interno ed esterno,

Siffatto tensore è stato ottenuto in quanto in <math>dl'^2</math> il termine <math>2\frac{\partial u_i}{\partial x_k}dx_i dx_k</math> è stato riscritto nella forma simmetrica <math>(\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i})dx_i dx_k</math>.

:<math> \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\sigma}_1^t \boldsymbol{\varepsilon}_2 \,dv=

\int_{\mathcal B} {\mathbf q}_1^t {\mathbf u}_2 \,dv+\int_{{\mathcal C}_f} {\mathbf f}_1^t {\mathbf u}_2 \,ds

+\int_{{\mathcal C}_u} (\boldsymbol{\sigma}_1 {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u}_2 \,ds

</math>

in corrispondenza

*di un generico sistema di tensioni <math>\boldsymbol{\sigma}_1</math> in equilibrio con un generico sistema di carichi <math>(\mathbf{q}_1,\mathbf{f}_1)</math>

*di un generico sistema di spostamenti <math>{\mathbf u}_2</math> congruente con deformazioni interne <math>\boldsymbol{\varepsilon}_2</math> e con un sistema di cedimenti <math>\bar{\mathbf u}_2</math>

dove

Come ogni tensore simmetrico, <math>u_{ik}</math> può essere ''diagonalizzato'', ovvero ricondotto ai suoi [[assi principali]]. Ciò vuol dire che è possibile, per ogni punto, scegliere un sistema di coordinate tale che le uniche componenti non nulle del tensore delle deformazioni siano le <math>u_{ii}</math> (cioè gli elementi della diagonale principale: <math>u_{11}=u_1, u_{22}=u_2, u_{33}=u_3</math>).

:<math>\int_{\mathcal B} \boldsymbol{\sigma}_1^t \boldsymbol{\varepsilon}_2 \,dv</math> è il lavoro virtuale interno compiuto dalle tensioni <math>\boldsymbol{\sigma}_1</math> per le deformazioni <math>\boldsymbol{\varepsilon}_2</math>;

:<math>\int_{\mathcal B} {\mathbf q}_1^t {\mathbf u}_2 \,dv+\int_{{\mathcal C}_f} {\mathbf f}_1^t {\mathbf u}_2 \,ds</math> è il lavoro virtuale esterno compiuto dalle forze <math>({\mathbf q}_1,{\mathbf f}_1)</math> per gli spostamenti <math>{\mathbf u}_2</math>;

:<math>\int_{{\mathcal C}_u} (\boldsymbol{\sigma}_1 {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u}_2 \,ds</math> è il lavoro virtuale esterno compiuto dalle reazioni vincolari <math>(\boldsymbol{\sigma}_1 {\mathbf n})</math> per i cedimenti <math>\bar{\mathbf u}_2</math>.

Il principio dei lavori virtuali permette di esprimere in forma integrale sia le condizioni di equilibrio che di congruenza di un sistema meccanico.

Si supponga che in certo punto il tensore sia stato ridotto alla sua forma diagonale; in questo caso, nell'intorno di detto punto, l'elemento di lunghezza <math>dl'^2</math> avrà l'espressione

;Equilibrio (principio degli spostamenti virtuali):

* Scritta per ogni variazione possibile del campo di spostamenti <math>\delta{\mathbf u}</math> (il sistema virtuale), congruente con variazioni di deformazioni interne <math>\delta \boldsymbol{\varepsilon}</math> e nel rispetto delle condizioni di vincolo cinematico sulla parte <math>{\mathcal C}_u</math> della frontiera

* l'equazione dei lavori virtuali nella forma degli spostamenti virtuali

:<math> \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\sigma}^t \delta \boldsymbol{\varepsilon} \,dv=

\int_{\mathcal B} {\mathbf q}^t \delta {\mathbf u} \,dv+\int_{{\mathcal C}_f} {\mathbf f}^t \delta {\mathbf u} \,ds

\;,\;\;\forall \delta {\mathbf u}

</math>

* impone l'equilibrio tra il campo delle tensioni interne <math>\boldsymbol{\sigma}</math> e il sistema delle forze esterne <math>\{{\mathbf q},{\mathbf f}\}</math> applicate.

;Congruenza (principio delle forze virtuali):

<div style="text-align:center;"><math>dl'^2=(\delta_{ik}+2u_{ik})dx_i dx_k=(1+2u_1)dx_1^2+(1+2u_2)dx_2^2+(1+2u_3)dx_3^2</math>.</div>

*Scritta per ogni variazione possibile del campo tensionale <math>\delta \boldsymbol{\sigma}</math> (il sistema virtuale), nel rispetto delle condizioni di equilibrio

*l'equazione dei lavori virtuali nella forma complementare o delle forze virtuali

:<math> \int_{\mathcal B} \delta \boldsymbol{\sigma}^t \boldsymbol{\varepsilon} \,dv=

\int_{{\mathcal C}_u} (\delta \boldsymbol{\sigma} {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u} \,ds

\;,\;\;\forall \delta \boldsymbol{\sigma}

</math>

*impone la congruenza tra spostamenti, cedimenti e deformazioni <math>({\mathbf u},\bar{\mathbf u},\boldsymbol{\varepsilon})</math> che descrivono l'effettiva cinematica del sistema.

==Formulazioni variazionali==

Si osservi che l'espressione è formata da tre addendi indipendenti; questo comporta che, in ogni elemento di volume del corpo, la deformazione può essere rappresentata per mezzo di tre deformazioni indipendenti lungo tre direzioni ortogonali, che sono le direzioni individuate dagli assi principali del tensore di deformazione.

A partire dalle formulazioni integrali delle equazioni (di equilibrio o di congruenza) del sistema definite dal principio dei lavori virtuali, è possibile generare una vasta gamma di possibili formulazioni del problema elasto-statico. Richiameremo nel seguito le due formulazioni variazionali basate sul '''''Principio di minimo dell'energia potenziale totale''''' e sul '''''Principio di minimo dell'energia complementare totale'''''.

===Principio di stazionarietà (minimo) dell'energia potenziale totale===

Le grandezze <math>\sqrt{1+2u_i}-1</math> rappresentano allora le dilatazioni relative <math>\frac{dx_i'-dx_i}{dx_i}</math> lungo tali assi.

Tale formulazione fa riferimento ad una scrittura del problema nelle sole variabili cinematiche di spostamento e nel caso di carichi conservativi, ricercando la soluzione elastica fra tutti i campi di spostamento compatibili, che cioè verifichino a priori le condizioni di compatibilità cinematica.

: ''Tra tutti i campi di spostamenti <math>{\mathbf u}</math> compatibili con i vincoli cinematici, la soluzione del problema elastico (che, nel rispetto del legame costitutivo, realizza anche le relazioni di equilibrio) è quella che rende stazionario il funzionale dell'energia potenziale totale del sistema''

::<math>\Pi[{\mathbf u}]= \tfrac{1}{2} \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\varepsilon}^t[{\mathbf u}]\, \mathsf{C}\, \boldsymbol{\varepsilon}[{\mathbf u}] \,dv-

\int_{\mathcal B} {\mathbf q}^t {\mathbf u} \,dv-\int_{{\mathcal C}_f} {\mathbf f}^t {\mathbf u} \,ds=\mbox{min}_u</math>

dove

Nella quasi totalità dei casi pratici che si prendono in considerazione, le deformazioni cui i corpi sono soggetti sono piccole. In altre parole, le dilatazioni ad esse relative sono infinitesimi di ordine superiore. Se un corpo subisce una deformazione piccola, tutte le componenti del tensore di deformazione sono anch'esse piccole. Occorre però precisare che il ''vettore di deformazione'' <math>u_i</math>, può essere ugualmente grande anche per piccole deformazioni.

*<math>\Phi[{\mathbf u}]= \tfrac{1}{2} \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\varepsilon}^t[{\mathbf u}]\, \mathsf{C}\, \boldsymbol{\varepsilon}[{\mathbf u}] \,dv

</math> indica l''''''energia di deformazione''''' del sistema (cioè l'energia accumulata internamente dal sistema durante il processo deformativo),

*<math>-\int_{\mathcal B} {\mathbf q}^t {\mathbf u} \,dv-\int_{{\mathcal C}_f} {\mathbf f}^t {\mathbf u} \,ds

</math> è l'energia potenziale dei carichi esterni.

La condizione di stazionarietà risulta anche di minimo per il funzionale se l'energia di deformazione si ammette definita positiva. Tale condizione fa parte della fisica del problema, misurando l'energia di deformazione il necessario lavoro positivo speso dalle forze esterne per deformare, in un percorso quasi—statico, un sistema elastico.

===Tensore degli sforzi===

===Principio di stazionarietà (minimo) dell'energia complementare totale===

In un corpo non deformato la configurazione delle molecole corrisponde allo stato di equilibrio termico, mentre tutte le sue parti si trovano in equilibrio meccanico. Ciò vuol dire che, se si considera un volume arbitrario del corpo, la risultante di tutte le forze che le altre parti del corpo esercitano sul volume considerato è nulla.

Tale formulazione variazionale fa riferimento ad una scrittura del problema elasto-statico nelle sole variabili statiche interne, ricercando la soluzione elastica fra tutti i campi di tensione <math>\boldsymbol{\sigma}</math> che verifichino a priori le condizioni di equilibrio con i carichi esterni.

: ''Tra tutti i campi di tensione equilibrati con i carichi, la soluzione del problema elastico (che, nel rispetto del legame costitutivo, realizza anche le relazioni cinematiche) è quella che minimizza il funzionale dell'energia complementare totale del sistema''

::<math> \Pi_c[\boldsymbol{\sigma}]=\tfrac{1}{2} \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\sigma}^t \,\mathsf{C}^{-1}\, \boldsymbol{\sigma}\, dv - \int_{C_u} (\boldsymbol{\sigma} {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u} \,ds=\mbox{min}_{\sigma}

</math>

dove

===Legge di Hooke===

*<math>\Phi[\boldsymbol{\sigma}]= \int_{\mathcal B} \boldsymbol{\sigma}^t \,\mathsf{C}^{-1}\, \boldsymbol{\sigma}\, dv

</math> indica l''''''energia di deformazione''''' del sistema in forma complementare,

*<math>\int_{C_u} (\boldsymbol{\sigma} {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u} \,ds

</math> è il lavoro compliuto dalle reazioni vincolari sui cedimenti assegnati.

La condizione di stazionarietà risulta anche di minimo per il funzionale ammettendo la positività dell'energia di deformazione.

==Proprietà della soluzione==

La sinteticità della formulazione variazionale rispetto a quella differenziale del problema elasto-lineare permette di indagare in maniera relativamente agevole alcuni caratteri qualitativi della soluzione.

;Esistenza della soluzione: Sulla base di alcune restrizioni sulle proprietà elastiche del sistema, si dimostra, anche se in modo non proprio immediato, l'esistenza della soluzione del problema elasto-statico.

;Unicità della soluzione: Teorema di [[Gustav Kirchhoff|Kirchhoff]] di unicità della soluzione elastica: se il tensore elastico è definito positivo allora esiste un'unica soluzione del problema elastico.

;Principio di sovrapposizione degli effetti: Data la linearità delle relazioni del problema, si determina una diretta proporzionalità (linearità) tra le cause (forze e i cedimenti) e gli effetti (spostamenti, deformazioni e tensioni). Conseguenza di tale linearità è il principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale la soluzione corrispondente ad una somma di cause è pari alla somma delle soluzioni corrispondenti ad ognuna delle cause agenti singolarmente.

==Ricerca della soluzione==

Precisati gli aspetti qualitativi del problema elasto-lineare, rimane il non semplice problema di ricercarne la soluzione. Se affrontato nella sua generalità, per generiche geometrie, carichi, ecc., tale problema presenta difficoltà insuperabili. Sono infatti disponibili soluzioni per un numero molto limitato di casi.

{{vedi anche|Problema di Saint Venant}}

I vantaggi della formulazione variazionale rispetto alla formulazione differenziale sono evidenti, in termini operativi, soprattutto quando si è interessati non alla soluzione esatta del problema elastico-lineare, ma alla generazione di una soluzione approssimata dello stesso, per esempio mediante [[metodo agli elementi finiti|tecniche di discretizzazione ad elementi finiti]]. Tale obiettivo risulta ottenibile in modo relativamente agevole sia sulla base del minimo dell'energia potenziale totale, sia sulla base del minimo dell'energia complementare totale.

Ancora, l'approccio variazionale si dimostra estremamente potente nella generazione dei modelli approssimati di corpi alla base della [[meccanica delle strutture]].

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore1=Lev D. Landau|autore2=Evgenij M. Lifshitz|wkautore1=Lev Davidovič Landau|wkautore2=Evgenij Michajlovič Lifšic|titolo=Teoria dell'elasticità|edizione=2|editore=Editori riuniti|città=Roma|anno=1999|ISBN=88-35-94758-8}}

* {{cita libro|autore1=Stephen P. Timoshenko|autore2=James N. Goodier|wkautore1=Stepan Prokof'evič Timošenko|titolo=Theory of Elasticity|url=https://archive.org/details/theoryofelastici0000step|edizione=3|editore=McGraw Hill|anno=1970|ISBN=978-00-70-64270-6|lingua=en}}

*{{cita libro|nome=Morton E.|cognome=Gurtin|titolo=An Introduction to Continuum Mechanics|editore=Academic Press|città=New York|anno=1981|ISBN=0-12-309750-9|lingua=en}}

* {{cita libro|nome=Riccardo|cognome=Baldacci|titolo=Scienza delle Costruzioni, vol I|editore=Utet|città=Torino|anno=1984|ISBN=88-02-03837-6}}

* {{cita libro|nome=Ernesto|cognome=Cesaro|wkautore=Ernesto Cesaro|titolo=Introduzione alla teoria matematica dell'elasticità|editore=Fratelli Bocca|città=Torino|anno=1894}} ''[https://www.archive.org/details/introduzioneall00cesgoog Introduzione alla teoria matematica dell'elasticità]''

* {{cita libro|nome=Roberto|cognome=Marcolongo|wkautore=Roberto Marcolongo|titolo=Teoria matematica dello equilibrio dei corpi elastici|url=https://archive.org/details/teoriamatematic00marcgoog|editore=Hoepli|città=Milano|anno=1904}} ''[https://www.archive.org/details/teoriamatematic00marcgoog Teoria matematica dello equilibrio dei corpi elastici]''

* {{cita libro|nome=Paolo|cognome=Podio-Guidugli|titolo=A Primer in Elasticity|editore=Kluwer Academic Press|città=Londra|anno=2000|ISBN=0-7923-6642-5|lingua=en}}

==Voci correlate==

*[[Continuo di Cauchy]]

*[[Deformazione]]

*[[Tensione interna]]

*[[Legge di Hooke]]

*[[Metodo degli spostamenti]]

*[[Equazioni di Beltrami]]

*[[Problema di Saint Venant]]

==Altri progetti==

{{Interprogetto|v=I teoremi sull'elasticità lineare}}

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[[Categoria:Scienza delle costruzioni]]

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