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La '''viscoelasticità''' è un [[modello matematico]] che descrive un [[materiale]] che si comporta in modo intermedio tra un ''solido [[elasticità (meccanica)|elastico]]'' e un ''[[fluido]]''. Costituisce un modello ampiamente studiato in [[reologia]]. Uno dei modelli più semplici di materiale viscoelastico è il [[fluido alla Boger]], in cui la viscosità è costante.
{{T|inglese|fisica|gennaio 2009}}
{{C|La traduzione ha introdotto frasi poco chiare e termini scorretti|fisica|maggio 2009}}
{{Meccanica del continuo}}
L'individuazione del comportamento viscoelastico viene svolta misurando la variazione della [[viscosità]] η in funzione della velocità di deformazione <math>\dot \gamma</math>.
La '''viscoelasticità''' è la proprietà dei materiali che esibiscono delle caratteristiche sia [[plasticità (fisica)|plastiche]] che [[elasticità (meccanica)|elastiche]] quando vengono sottoposte a deformazione.
Nel caso di un fluido viscoelastico la viscosità dipende sia dalla temperatura che dalla velocità di deformazione, mentre per un fluido puramente viscoso la viscosità dipende esclusivamente dalla temperatura.
== Storia ==
I materiali [[viscosità|viscosi]] (come il [[miele]]) resistono agli [[azione esterna|sforzi]] tangenziali linearmente rispetto al [[tempo]], mentre i materiali elastici si deformano istantaneamente quando vengono sottoposti a delle sollecitazioni esterne e ritornano al loro stato originario quando queste sollecitazioni cessano. I materiali viscoelastici quindi hanno un comportamento intermedio tra quelli anzidetti.
Nel [[XIX secolo]], i fisici [[James Clerk Maxwell]], [[Ludwig Boltzmann]], [[Woldemar Voigt]] e [[William Thomson, I barone Kelvin|William Thomson Kelvin]] studiarono i fenomeni di [[scorrimento viscoso]] (anche detto ''"creep"'') e recupero di vari materiali, tra cui: [[vetro]], [[metallo|metalli]] e [[gomma|gomme]].<ref name="McCrum">McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.</ref>
Il modello della viscoelasticità fu ulteriormente elaborato alla fine del [[XX secolo]] in occasione della sintesi dei primi [[polimeri]] sintetici,<ref name="McCrum"/> che manifestano comportamento viscoelastico.
==Cenni storiciDefinizione ==
I materiali puramente viscosi rispondono ad una [[azione esterna|sollecitazione]] tangenziale manifestando un comportamento coerente con la [[Legge di Newton-Stokes|legge di Newton]], cioè originando al loro interno uno [[sforzo tangenziale]] pari al prodotto della [[velocità di deformazione]] e della viscosità; se sono invece sottoposti ad una sollecitazione normale non si oppongono in alcun modo.
I materiali elastici rispondono ad una sollecitazione normale manifestando un comportamento coerente con la [[legge di Hooke]], cioè originando al loro interno uno [[sforzo normale]] pari al prodotto del [[modulo di Young]] e della deformazione (espressa in termini di [[allungamento percentuale]]) e ritornando al loro stato originario quando queste sollecitazioni cessano; se sono invece sottoposti ad una sollecitazione tangenziale non si oppongono in alcun modo.
Nel [[diciannovesimo secolo]], i fisici [[James Clerk Maxwell]], [[Ludwig Boltzmann]] e [[William Thomson Kelvin]] effettuarono ricerche ed esperimenti riguardanti i fenomeni di [[scorrimento viscoso]] e recupero di vari materiali, tra cui: [[vetro]], [[metallo|metalli]] e [[gomma]]<ref name=McCrum>McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.</ref>. Il fenomeno della viscoelasticità fu ulteriormente indagato alla fine del [[ventesimo secolo]], durante il quale vennero creati i [[polimeri sintetici]], impiegati in molte applicazioni.<ref name=McCrum>McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.</ref>
I materiali viscoelastici si oppongono sia alle sollecitazioni tangenziali sia alle sollecitazioni normali, generando quindi al loro interno sia sforzi tangenziali sia sforzi normali.
==Definizioni==
=== Esempi di materiali viscoelastici ===
La determinazione della viscoelasticità dipende dalla [[viscosità]] η; la grandezza inversa ad η viene chiamata [[fluidità]] ''f''. La viscosità (e di conseguenza la fluidità) dipendono dalla [[temperatura]].<ref name=Meyers>Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 98-103.</ref><ref>http://pcfarina.eng.unipr.it/dispense00/gallinari110285/gallinari110285.htm</ref>
Sebbene alcuni materiali seguano abbastanza bene la legge di Newton oppure la legge di Hooke, tutti i materiali mostrano una deviazione più o meno marcata dal comportamento elastico e dal comportamento puramente viscoso, per cui dal punto di vista pratico tutti i materiali sono viscoelastici.
[[Image:Non-Newtonian fluid.PNG|thumb|300px|Rappresentazione in un diagramma sforzo (<math>\sigma</math>) - velocità di deformazione (d<math>\varepsilon</math>/dt) dei comportamenti che può assumere un fluido.]]
Il comportamento del fluido in termini [[reologia|reologici]] può essere messo in evidenza facendo uso di un diagramma [[sforzo tangenziale]]-velocità di deformazione.
Di solito i metalli e le leghe (quali ad esempio l'[[acciaio]] o l'[[alluminio]]) e il [[quarzo]] (a [[temperatura ambiente]] e per piccole deformazioni) hanno un comportamento pressoché elastico. I polimeri sintetici, il [[legno]], i tessuti umani e i metalli ad alta temperatura mostrano invece effetti viscoelastici significativi.
Si possono avere i seguenti casi:
Alcuni esempi di materiali viscoelastici includono: polimeri amorfi, polimeri semicristallini, biopolimeri, metalli ad elevate temperature, e materiali bituminosi.
* se la velocità di deformazione dipende in maniera lineare dallo sforzo di taglio applicato il fluido è detto "[[fluido newtoniano|newtoniano]]".<ref name=Meyers/>
* se la velocità di deformazione del fluido dipende in maniera non lineare dallo sforzo di taglio applicato, il fluido viene detto "[[fluido non newtoniano|non newtoniano]]".
* Inoltre se la viscosità decresce in modo tale che il tasso di tensione/taglio rimane costante si dice che il fluido è [[tixotropicità|tixotropico]]<ref name=Meyers/>.
* In aggiunta quando lo sforzo è indipendente dal tasso di tensione, il materiale mostra deformazione plastica.<ref name=Meyers/>
== Comportamento reologico dei materiali viscoelastici ==
Molti materiali viscoelastici mostrano una caratteristica simile alla [[gomma]], spiegata dalla [[teoria termodinamica dell'elasticità dei polimeri]].
Nel caso dei materiali viscoelastici, la viscosità, intesa come costante di proporzionalità tra sforzo e velocità di deformazione, dipende dalla velocità di deformazione e quindi dal tempo.
In realtà tutti i materiali deviano dalla [[legge di Hooke]] in vari modi, esibendo sia caratteristiche di viscosità che di elasticità. I materiali viscoelastici sono quelli per cui la relazione tra sforzo e tensione dipende dal tempo. I [[solido anelastico|solidi anelastici]] rappresentano un sottoinsieme dei materiali viscoelastici: essi hanno un unica configurazione di equilibrio che ricuperano completamente alla fine dopo aver rimosso o ridotto il carico.
La viscosità di un materiale viscoelastico è costituita da due contributi:
* la viscosità propriamente detta (in inglese ''shear viscosity''), che è il rapporto tra gli [[sforzi tangenziali]] e la velocità di deformazione;
* la [[viscosità elongazionale]] (in inglese ''extensional viscosity'' o ''elongational viscosity''), che è il rapporto tra gli [[sforzi normali]] e la velocità di deformazione.
Alcune proprietà dei materiali viscoelastici sono le seguenti:
* se lo sforzo si mantiene costante, la tensionedeformazione cresce con il tempo; tale fenomeno è detto "[[scorrimento viscoso]]" (stiraturao ''creep'');
* se si mantiene costante la tensionedeformazione, lo sforzo decresce con il tempo; (tale fenomeno è detto "[[rilassamento) degli sforzi]]";
* l'effettivala rigidità del materiale dipende daldalla tassovelocità di applicazione del carico;
* se viene applicato un carico ciclico, avviene un'[[isteresi]] (un ritardo periodico), con conseguente dissipazione (sotto forma di [[calore]]) di [[energia meccanica]]; rappresentando il ciclo di carico in un [[diagramma sforzo-deformazione]], la perdita di energia meccanica è pari all'area del percorso che rappresenta il ciclo di carico;<ref name=Meyers>Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 98-103.</ref> tale perdita di energia meccanica non avviene invece nei materiali elastici, i quali riassumono la loro forma originaria una volta che il carico è rimosso;<ref name=Meyers/>
* se è applicato un carico ciclico, avviene un isteresi (un ritardo periodico), conducendo ad una dissipazione di energia meccanica;
* {{chiarire|le onde acustiche (così come quelle vibrazionali) subiscono un'attenuazione, a causa della dissipazione di energia dovuta all'isteresi dei cicli di carico-scarico;}}
* le onde acustiche subiscono una attenuazione;
* illa velocità di rimbalzo di un oggetto susseguentein seguito ad un urto con un materiale viscoelastico è inferiore delalla 100%velocità dell'oggetto prima dell'urto;
* durante il rotolamento di un materiale viscoelastico, comparegli effetti dell'[[attrito volvente]] sono accompagnati da effetti di [[attrito radente]].
== Modulo di rilassamento ==
Tutti i materiali mostrano qualche proprietà viscoelastica. Di solito i metalli come l'acciaio e l'alluminio, allo stesso modo del quarzo, a temperatura ambiente ed a piccole trazioni, hanno un comportamento che non devia di molto dall'elasticità lineare. I polimeri sintetici, il legno e i tessuti umani come i metalli ad alta temperatura mostrano effetti viscoelastici significativi. Per essere completo, un analisi o un progetto che coinvolge questi materiali deve considerare anche la loro caratteristica viscoelastica.
{{vedi anche|Modulo di rilassamento}}
La conoscenza della caratteristica di viscoelasticità di un materiale è basata su misurazioni.
{{...|fisica}}
== Modulo dinamico ==
Alcuni esempi di materiali viscoelastici includono polimeri amorfi, polimeri semicristallini, biopolimeri, metalli ad elevate temperature, e materiali bituminosi. Si hanno delle rotture quando viene applicata una tensione rapida e al di fuori del limite elastico.
{{vedi anche|Modulo dinamico}}
La viscoelasticità viene studiata usando l'[[analisi meccanica dinamica]] (DMA), applicando una piccola deformazione oscillatoria e misurando la tensione risultante.
Un materiale '''viscoelastico''' ha le seguenti proprietà:
* [[isteresi]] si vede nel [[diagramma sforzo-deformazione]]
* [[rilassamento dello sforzo]] si osserva che applicando una tensione costante a gradini si ha decrescita dello stress
* [[stiramento]] si osserva: uno stress costante a gradino causa una crescita di tensione.
A seconda della natura del materiale, si possono avere i seguenti casi:
==Comportamento elastico contro comportamento viscoelastico==
* i materiali puramente elastici presentano sforzo e deformazione in fase, per cui la risposta al cambiamento di uno di questi parametri influenza in maniera immediata l'altro parametro;
* nei materiali puramente viscosi, la deformazione è ritardata rispetto allo sforzo di 90°.
* i materiali viscoelastici mostrano un comportamento intermedio tra il comportamento puramente elastico e quello puramente viscoso, mostrando un valore del ritardo della deformazione rispetto allo sforzo tra 0° e 90°.
Il [[modulo dinamico]] complesso ''G'' può essere usato per rappresentare le relazioni tra lo sforzo e la deformazione in una prova dinamica:
[[Image:Elastic_v._viscoelastic_2.JPG|frame|right|Stress-Strain Curves for a purely elastic material (a) and a viscoelastic material (b). The red area is a [[hysteresis]] loop and shows the amount of energy lost (as heat) in a loading and unloading cycle. It is equal to <math>\oint\sigma \, d \varepsilon </math>, where <math>\sigma</math> is stress and <math>\varepsilon</math> is strain. <ref name=Meyers/>]]
:''G = G' + iG"''
A differenza di sostanze puramente elastiche, una sostanza viscoelastica ha una componente elastica ed una componente viscosa. La [[viscosità]] di una sostanza viscoelastica da alla sostanza la parte di tensione dipendente dal tempo<ref name=Meyers/>. I materiali puramente elastici non dissipano energia (calore) quando gli viene applicato, e poi rimosso un carico<ref name=Meyers/>. Comunque, una sostanza viscoelastica perde energia quando gli viene applicato, e poi tolto un carico. Si osserva [[isteresi]] nella curva di stress-tensione, con l'area del ciclo uguale alla perdita di energia durante il ciclo di caricamento<ref name=Meyers/>. Poichè la viscosità è la resistenza alla deformazione plastica attivata termicamente, un materiale viscoso perderà energia dirante un ciclo di carico. Una deformazione plastica risulta in perdita di energia, reazione che non è caratteristica dei materiali puramente elastici durante un ciclo di carico<ref name=Meyers/>.
dove:
Più specificatamente, la viscoelasticità è un riarrangiamento molecolare. Quendo viene applicato uno stress ad un materiale viscoelastico come un [[polimero]], parti di una lunga catena del polimero cambiano posizione. Questo movimento o riarrangiamento è detto [[stiramento]]. I polimeri rimangono materiali solidi anche quando queste parti delle loro catene sono ricomposte al fine di sostenere lo stress, e se è necessario, creano uno stress posteriore nel materiale. Quando il retrostress è della stessa grandezza dello stress applicato, il materiare dopo un pò si stira. Quando lo sress originale è rimosso, il retrostress accumulato causerà il ritorno alla forma originale del polimero. il materiale si stira, e ciò da il prefisso visco- ed il materiale si restaura completamente, e da ciò il suffisso -elasticità<ref name=McCrum/>.
* <math>i^2 = -1</math>;
* <math>G'</math> rappresenta il contributo elastico, pari a:
:<math> G' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \cos \delta </math>
* ''G"'' rappresenta il contributo viscoso, pari a:
:<math> G'' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \sin \delta </math>
* <math>\sigma_0</math> è l'ampiezza dello stress;
* <math>\varepsilon_0</math> è l'ampiezza della deformazione;
* <math>\delta</math> è lo sfasamento tra stress e deformazione.
== Viscoelasticità lineare e non lineare ==
==Tipi di viscoelasticità==
La '''viscoelasticità lineare''' si ha quando la funzione è un'[[equazione differenziale ordinaria]] separabile nei confronti sia della risposta allo [[scorrimento viscoso]] sia del carico applicato. Tutti i modelli viscoelastici lineari possono essere rappresentati dall'[[equazione integrale|equazione di Volterra]], che lega lo sforzo e la deformazione:
:<math>\varepsilon(t)= \frac { \sigma(t) }{ E_\text{inst,creep} }+ \int_0^t K(t-t^\prime) \dot{\sigma}(t^\prime) d t^\prime</math>
La '''viscoelasticità lineare''' si ha quando la funzione è una[[equazione ordinaria differenziale separabile]] sia nel confronto della stiratura che del carico. Tutti i modelli viscoelastici lineari possono essere rappresentati da una [[equazione integrale|equazione di Volterra]] che unisce lo [[stress]] e la [[tensione]]:
oppure:
:<math>\epsilon(t)= \frac { \sigma(t) }{ E_\text{inst,creep} }+ \int_0^t K(t-t^\prime) \dot{\sigma}(t^\prime) d t^\prime</math>
oppure
:<math>\sigma(t)= E_\text{inst,relax}\epsilon(t)+ \int_0^t F(t-t^\prime) \dot{\epsilon}(t^\prime) d t^\prime</math>
dove
*''t'' è il [[tempo]]
*''<math>\sigma (t)</math>'' è lo [[stress]]
*''<math>\epsilon (t)</math>'' è la[[tensione]]
* ''<math>E_\text{inst,creep}</math>'' e ''<math>E_\text{inst,relax}</math>'' sono i [[Modulo di Young|moduli elastici]] per stiratura e rilassamento
* ''K(t)'' è la funzione di [[stiramento]]
* ''F(t)'' è la funzione di rilassamento.
:<math>\sigma(t)= E_\text{inst,relax}\varepsilon(t)+ \int_0^t F(t-t^\prime) \dot{\varepsilon}(t^\prime) d t^\prime</math>
La viscoelasticità lineare di solito è applicabile solo a piccole [[deformazioni]]
dove:
La '''viscoelasticità non lineare''' si ha quando la funzione non è separabile. di solito si ha quando le [[deformazioni]] sono grandi o se il materiale cambia le sue proprietà durante le deformazioni.
* ''t'' è il [[tempo]];
* ''<math>\sigma (t)</math>'' è lo [[Azione esterna|sforzo]];
* ''<math>\varepsilon (t)</math>'' è la deformazione;
* ''<math>E_\text{inst,creep}</math>'' è il [[Modulo di Young|modulo elastico]] istantaneo misurato nella prova di scorrimento viscoso;
* ''<math>E_\text{inst,relax}</math>'' è il modulo elastico istantaneo misurato nella prova di rilassamento degli sforzi;
* ''K(t)'' è la funzione di scorrimento viscoso;
* ''F(t)'' è la funzione di rilassamento degli sforzi.
La viscoelasticità lineare di solito è applicabile solo nel caso di piccole [[deformazione|deformazioni]].
Un materiale '''anelastico''' è un caso speciale di materiale viscoelastico: Un materiale anelastico recupererà completamente il suo stato originale quando verra rimmosso il carico.
La '''viscoelasticità non lineare''' si ha quando la funzione non è separabile; in genere ciò accade quando le [[deformazione|deformazioni]] sono grandi o se il materiale cambia le sue proprietà durante la deformazione.
==Modulo dinamico==
Valutando il modulo elastico durante un esperimento di stress relaxation, si noterà un valore costante al variare della deformazione iniziale applicata nel caso in cui ci si trovi in regime di viscoelasticità lineare, viceversa nel caso in cui il regime fosse di viscoelasticità non lineare si otterrebbero diversi valori del modulo elastico al variare della deformazione iniziale; un analogo discorso può essere condotto nel caso in cui ad essere valutato fosse il modulo di compliance J(t) durante un esperimento di creep in regime di viscoelasticità lineare.
{{main|Modulo dinamico}}
== Equazioni costitutive dei materiali viscoelastici ==
La viscoelasticità viene studiata usando l'[[analisi meccanica dinamica]]. quando noi applichiamo una piccola tensione oscillatoria e misuriamo lo stress risultante.
{{S sezione|fisica}}Detti <math>\sigma</math> lo sforzo, <math>\varepsilon</math> è la [[deformazione]], <math>E</math> è il [[Modulo di elasticità|modulo elasticità di Young]], <math>C</math> il modulo di cedevolezza e <math>t</math> il [[tempo]].
*I materiali puramente elastici hanno stress e tensione in fase, cosìcchè il comportamento dell'uno è causato dall'altro è immediatamente evidente
*Nei materiali puramente viscosi, la tensione ritarda lo stress di un ritardo di fase di 90 gradi.
* I materiali viscoelastici mostrano un comportamento in qualche modo intermedio tra questi due tipi di materiali, mostrando dei ritardi nella tensione.
=== Modelli a 2 elementi ===
Il [[modulo dinamico]] complesso G può essere usato per rappresentare le relazioni tra gli oscillanti stress e tensione:
:<math>G = G' + iG''</math>
dove <math>i^2 = -1</math>; <math>G'</math> è il ''modulo di carico'' e <math>G''</math> è il modulo di scarico:
:<math> G' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \cos \delta </math>
:<math> G'' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \sin \delta </math>
dove <math>\sigma_0</math> e <math>\varepsilon_0</math> sono le ampiezze dello stress e della tensione e <math>\delta</math> è lo sfasamento tra di loro.
==== Modello di Maxwell ====
== Modelli costitutivi della viscoelasticità lineare==
Il '''modello di Maxwell''' descrive bene i materiali viscoelastici che si comportano in modo elastico su intervalli di tempo brevi e in modo viscoso su intervalli di tempo lunghi. In genere il modello di Maxwell viene impiegato per prevedere il comportamento dei materiali viscoelastici liquidi.
[[File:Maxwell diagram.svg|thumb|Analogia meccanica del modello di Maxwell]]
I materiali viscoelastici, come i polimeri amorfi, i polimeri semicristallini ed i biopolimeri, possono essere modellati al fine di determinare le interazioni tra il loro stress e la loro tensione allo stesso modo come le loro dipendenze dal tempo. Questi modelli che includono il [[Materiale di Maxwell|Modello di Maxwell]], i. [[Materiale di Kelvin-Voight|Modello di Kelvin-Voigt]], e il [[Modello Lineare Solido Standard]], sono usati per determinare un comportamento del materiale sotto differenti condizioni di carico. Il comportamento viscoelastico è compreso tra le componenti elastiche e viscose modellati rispettivamente come combinazioni lineari di [[sorgenti]] e [[affossamenti]]. Ogni modello differisce nella disposizione di questi elementi, e tutti questi modelli viscoelastici possono essere equivalentemente modellati come circuiti elettrici. In un circuito elettrico equivalente, lo stress è rappresentato dal voltaggio, e la derivata della tensione (velocità) dalla corrente. il modulo elastico di una sorgente è l'analogo di un ''condensatore'' (immagazzina energia) e la viscosità di un affossamento è la ''resistenza'' del circuito (dissipa energia).
Tale modello è rappresentato da un [[dissipatore viscoso]] collegato in serie a una [[molla]]. Ad esso associata è la seguente equazione, che descrive il sistema sommando i due contributi:
Le componenti elastiche, come mensionato in precedenza, possono essere modellate come [[sorgenti]] della costante elastica E, data dalla formula:
:<math>\sigma = E \varepsilon</math>
dove s è lo stress, E è il modulo elastico del materiale, ed e è la tensione che si ottiene sotto lo stress dato, simile alla [[Legge di Hooke]].
:<math>\dot{\varepsilon}_{tot}= \dot{\varepsilon}_1 + \dot{\varepsilon}_2 = \frac {\sigma} {\eta} + \frac{\dot{\sigma}}{E}</math>
Le componenti viscose possono essere modellate come [[affossamenti]] in modo tale che il contrtibuto della relazione stress-tenzione può essere dato da
in cui:
:<math>\sigma = \eta \frac{d\varepsilon}{dt}</math>
*<math>\varepsilon_1</math> è la deformazione legata al contributo viscoso
dove s è lo stress, ? è la viscosità del materiale, e de/dt è la derivata della tensione.
*<math>\varepsilon_2</math> è la deformazione legata al contributo elastico
Imponendo come condizioni al contorno:
La relazione tra stress e tensione può essere semplificata per contributi specifici di stress. Per alti stati di stress applicati in brevi periodi di tempo, dominano le componenti derivate della relazione stress-tensione. Un affossamento resiste ai cambi di lunghezza, ed in alti stati di stress può essere approsimato ad un'asta rigida. Poichè un'asta rigida non può essere tesa oltre la sua lunghezza originale, non si aggiunge tensione al sistema<ref name=VanVliet>Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Mechanical Behavior of Materials", [http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html]</ref>
:<math>\begin{cases}
===Modello di Maxwell===
t_0=0\\
{{Main|Materiale di Maxwell}}
\varepsilon(t_0)=\varepsilon_0\\
\sigma(t_0)=\sigma_0=E\cdot\varepsilon_0
\end{cases}</math>
si ottiene
:<math>\sigma(t)=\sigma_0\exp\left(-\frac{t}{t_{ril}}\right)</math>, dove <math>t_{ril}=\frac{\eta}{E}</math>
[[Image:Maxwell diagram.svg|right|thumb|200px|Modello di Maxwell]]
Il modello di Maxwell può essere rappresentato da un un ammortizzatore puramente viscoso e da una sorgente puramente elastica connesse in serie, come mostrato nel diagramma. il modello può essere rappresentato dalla seguente equazione:
==== Modello di Kelvin-Voigt ====
:<math>\frac {d\epsilon_{Total}} {dt} = \frac {d\epsilon_{D}} {dt} + \frac {d\epsilon_{S}} {dt} = \frac {\sigma} {\eta} + \frac {1} {E} \frac {d\sigma} {dt}</math>.
In genere il '''modello di Kelvin-Voigt''' viene impiegato per prevedere il comportamento dei materiali viscoelastici solidi.
[[File:Kelvin Voigt diagram.svg|thumb|Analogia meccanica del modello di Kelvin-Voigt.|alt=|150x150px]]
Tramite questo modello, se il materiale è posto sotto una tensione costante, gli stress si [[Tempo di rilassamento|rilassano]] gradualmente, Quando il materiale è messo sotto uno stress costante, la tensione ha due componenti. La prima, una componente elastica, compare istantaneamente, corrisponde alla sorgente e si rilassa immediatamente dopo l'interruzione dello stress. la seconda è una componente viscosa che cresce con il tempo fino a quando viene applicato lo stress. Il mdello di Maxwell stabilisce che lo stress decade esponenzialmente con il tempo, cosa che è esatta per molti polimeri. Una limitazione a questo modello è che non indica precisamente la stiratura.
Il modello di Maxwell per la stiratura o le condizioni di stress costante postula che la tensione cresce con il tempo. Comunque, i polimeri, per la maggior parte mostrano che il tasso di tensione decresce con il tempo<ref name=McCrum/>.
Tale modello è rappresentato da un dissipatore viscoso collegato in parallelo a una molla e l'equazione costitutiva ad esso associata è la seguente:
L'applicazione a solidi soffici: polimeri termoplastici in vicinanza della loro temperatura di fusione, rinnova concretamente (cancella l'invecchiamento) di numerosi metalli a temperature vicine al loro punto di fusione.
:<math>\sigma_{tot}=\sigma_1+\sigma_2= E\cdot\varepsilon + \eta\cdot\dot{\varepsilon}</math>
===Modello di Kelvin-Voigt===
{{main|Materiale di Kelvin-Voight}}
[[Image:Kelvin Voigt diagram.svg|right|thumb|120px|Rappresentazione chematica di un modello di Kelvin-Voigt.]]
in cui:
Il modello di Kelvin-Voight, noto anche come modello di Voigt, consiste di un ammortizzatore Newtoniano e di una sorgente elastica Newtoniana connessi in parallelo, come mostrato in figura. è uato per spiegare le proprietà di stiratura dei polimeri.
*<math>\sigma_1</math> è lo sforzo legato al contributo elastico
La relazione costituita è espressa come un'equazione lineare differenziabile del primo ordine:
*<math>\sigma_2</math> è lo sforzo legato al contributo viscoso
Imponendo come condizioni al contorno:
:<math>\sigma (t) = E \epsilon(t) + \eta \frac {d\epsilon(t)} {dt}</math>
:<math>\begin{cases}
Questo modello rappresenta una tensione reversibile sotto forma solida e viscoelastica. Sotto l'applicazione di uno stress costante, il materiele si deforma ad un tasso decrescente, approssimandosi asintodicamente ad uno stato stabile di tensione. Quando è rimosso lo stress , il materiale si rilassa gradualmente fino al suo stato non deformato. Sotto stress costante (stiratura), il Modello è abbastanza realistico poichè indica che la tensione tende ad s/E
t_0=0\\
quando il tempo tende ad infinito. Come il modello di Maxwell, anche il modello di Kelvin-Voight ha delle limitazioni. Il modello è estremamente buono per modellare gli stiramenti nei materiali, ma per quanto riguarda il rilassamento è molto meno accurato.
\varepsilon(t_0)=0\\
\sigma(t_0)=\sigma_0
\end{cases}</math>
si ottiene
Applicazioni: polimeri organici, gomma, legno quando il carico non è troppo alto.
:<math>\varepsilon(t)=C\sigma_0\left[1-\exp\left(-\frac{t}{t_{rit}}\right)\right]</math>, dove <math>t_{rit}=\frac{\eta}{E}</math>
===Modello Linearmente Solido Standard===
=== Modelli a 3 elementi ===
{{Main|Modello Lineare Solido Standard}}
[[Image:SLS.svg|right|thumb|200px|Rappresentazione schematica del Modello Lineare Solido Standard.]]
==== Modello lineare standard di Zener====
Il Modello Lineare Solido Standard effettivamente combina il Modello di Maxwell e una sorgente Hookiana in parallelo: un materiale viscoso è modellato come una sorgente ed un affossamento in serie tra loro, ed entrambi in parallelo con la sorgente solitaria. Per questo modello , la relazione costitutiva governante è:
Il '''modello lineare standard''', proposto per la prima volta da [[Clarence Zener]], è un modello ideato per risolvere le problematiche dei modelli a due elementi. Può essere rappresentato da una molla collegata in parallelo ad un dissipatore viscoso e una molla collegati a loro volta in serie, secondo la rappresentazione di Maxwell, o da una molla in serie a un pistone e una molla posti in parallelo, secondo la rappresentazione di Kelvin-Voigt.
:<math> \frac {d\varepsilon} {dt} = \frac { \frac {E_2} {\eta} \left ( \frac {\eta} {E_2}\frac {d\sigma} {dt} + \sigma - E_1 \varepsilon \right )} {E_1 + E_2}</math>
{| class="wikitable"
Sotto uno stress costante, il materiale modellato si deformerà istantaneamente con qualche tensione, che è la parte elastica della tensione, e dopo questo continuerà a deformarsi asintodicamente avvicinandosi ad una condizione di staticità della tensione. Quest'ultima porzione è la parte viscosa della tensione. Sebbene il Modello Lineare Solido Standard è più accurato dei modelli di Maxwell e Kelvin-Voight nell'individuare proprietà dei materiali, matematicamente restituisce risultati inaccurati per la tensione sotto specifiche condizioni di carico e quindi assai difficile da calcolare.
!Rappresentazione di Maxwell
!Rappresentazione di Kelvin-Voigt
|-
|[[File:SLS.svg|alt=|centro|senza_cornice]]
|[[File:SLS2.svg|alt=|centro|senza_cornice|200x200px]]
|-
|<math> \sigma + \frac {\eta} {E_2} \dot {\sigma} = E_1 \varepsilon + \frac {\eta (E_1 + E_2)} {E_2} \dot {\varepsilon}</math>
|<math> \sigma + \frac{\eta}{E_1+E_2} \dot \sigma = \frac{E_1E_2}{E_1+E_2}\varepsilon + \frac{E_1\eta}{E_1+E_2} \dot \varepsilon</math>
|}
==== Modello di MaxwellJeffreys-Lethersich Generalizzato====
{| class="wikitable"
{{main|Modello di Maxwell Generalizzato}}
!Rappresentazione di Jeffreys
[[Image:Weichert.svg|right|thumb|300px|Schematica di un Modello Maxwell-Weichert]]
!Rappresentazione di Lethersich
Il Modello di Maxwell generalizzato noto anche come modello di Maxwell-Weicher (da [[James Clerk Maxwell]] e [[Dieter Weichert]]) è la forma più generale di modelli descritti in precedenza. Esso tiene conto del fatto che il rilassamento non avviene in una sola volta, ma in una distribuzione di intervalli di tempo. Dovuta a segmenti molecolari di lunghezze differenti contribuisce menocon quelli più corti che non con quelli più lungi, c'e una distribuzione variabile con il tempo. Il Modello di Weichert mostra questo con l'avere molte sorgenti e affossamenti elementi di Maxwell come sono necessari per rappresentare accuratamente la distribuzione. La figura a destra raffigura un possibile modello di Weicher<ref name=Roylance>Roylance, David (2001); "Engineering Viscoelasticity", 14-15</ref>.
|-
Applicazioni: metalli e alloidi a temperature inferiori ad un quarto della loro temperatura di fusione assolute (espressa in K)
|[[File:Jeffreys rheological model.svg|centro|senza_cornice|205x205px]]
|[[File:Letherisch-rheological-model.svg|centro|senza_cornice|270x270px]]
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|<math> \sigma+\frac{\eta_1+\eta_2}{E}\dot\sigma=\eta_2\cdot\dot\varepsilon+\frac{\eta_1\eta_2}{E}\ddot\varepsilon</math>
|<math> \sigma+\frac{\eta_1}{E}\dot\sigma=(\eta_1+\eta_2)\dot\varepsilon+\frac{\eta_1\eta_2}{E}\ddot\varepsilon</math>
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=== Modello a 4 elementi di Alfrey-Burgers ===
== Effetti della temperatura sulle proprietà viscoelastiche==
{{...|fisica}}
=== Modelli Multi-elemento ===
I legami secondari di un polimero si rompono e si riformano costantemente a causa del moto termico. Le applicazioni dello stress favoriscono alcune conformazioni rispetto altre, così le molecole del polimero con il tempo ''scivoleranno'' gradualmente nella conformazione favorita<ref> S.A. Baeurle, A. Hotta, A.A. Gusev, Polymer '''47''', 6243-6253 (2006).</ref>. perciò il moto ermico è uno dei fattori cje contribuisce alla deformazione dei polimeri, le proprietà viscoelatiche cambiano con il crescere o il decrescere della temperatura. Nella maggioranza dei casi il modulo di stiratura, definita come il rapporto dello stress applicato con la tensione dipendente dal tempo, decresce con il crescere della temperatura. Parlando in generale, una crescita della temperatura è correlata ad una decrescita logaritmica nel tempo richiesta per spartire una tensione uguale sossto uno stress costante. in altre parole, occorre meno lavoro per allungare un materiale per una lunghezza uguale alle alte temperature che alle basse.
==== Modello di Maxwell-Weichert ====
==Stiramento viscoelastico==
[[File:Weichert.svg|thumb|Analogia meccanica del modello di Maxwell-Weichert.]]
{{main|Stiramento(deformazione)}}
Il '''modello di Maxwell-Weichert''' è rappresentato da una molla collegata in parallelo a più dissipatori viscosi e molle collegate a loro volta in serie. Il '''modello di Maxwell generalizzato''' è rappresentato da più elementi disposti in parallelo, ciascuno a sua volta costituito da una molla e da un dissipatore viscoso disposti in serie.
[[Image:Creep2.JPG|right|thumb|300px|Applied stress (a) and induced strain (b) as functions of time for a viscoelastic material.]]
==== Modello di Kelvin-Voigt-Weichert ====
Quando sono soggetti a uno stress costante a tratti, I materiali viscoelastici subiscono un'amento della tensione dipendente dal tempo. Questo fenomeno è noto come stiramento viscoelastico.
Il '''modello di Kelvin-Voigt generalizzato''' è rappresentato da più elementi disposti in serie, ciascuno a sua volta costituito da una molla e da un dissipatore viscoso disposti in parallelo.
Il modello di Kelvin-Voigt generalizzato coincide con il modello di Maxwell generalizzato nel caso in cui il numero di elementi tende ad infinito.
Al tempo <math>t_0</math>, , un materiale viscoelastico è caricato con uno stress costante che è mantenuto per un periodo sufficientemente lungo. Il materiale risponde allo stress con una tensione che aumenta fino a che alla fine il materiale si rompe. quando lo stress è applicato per un periodo di tempo inferiore, il materiale è sottoposto ad una tensione iniziale fino al tempo <math>t_1</math>, dopo il quale la tensione decresce immediatamente (discontinuità) dopo nei tempi <math>t > t_1</math> decresce gradualmente ad una tensione residua. I dati dello stiramento viscoelastico possono essere presentati scrivendo il modulo di stiramento (stress costante applicato diviso per la tensione totale in un particolare momento) come una funzione del tempo<ref name=Rosato>Rosato, et. al (2001): "Plastics Design Handbook," 63-64.</ref>. al di sotto del suo stress critico, il modulo di stiramento viscoelastico è indipendente dallo stress applicato. Una famiglia di curve che descrive la tensione rispetto alla situazione nel tempo con vari stress applicati può essere rappresentata da un singolo modulo di stiramento viscoelastico rispetto ad una curva temporale se gli stress applicati sono al di sotto del valore critico di stress del materiale.
== Rilassamento viscoelastico ==
Lo stiramento viscoelastico è importante quando si considerano disegni strutturali a lungo termine. Date le condizioni di temperatura, di carico, i designers possono scegliere i materiali che favoriscono meglio la durata dei componenti.
{{vedi anche|Rilassamento degli sforzi}}
In materiali come i [[polimeri termoplastici]] si osserva un [[Rilassamento degli sforzi|rilassamento delle tensioni]], detto anche '''rilassamento viscoelastico''', portate a seguito di una certa deformazione imposta, il fenomeno si spiega con lo sgrovigliamento delle catene macromolecolari, sgrovigliamento che necessita di un certo tempo per compiersi.
==Misurazioni della viscoelasticità==
Sebene ci sono molti strumenti che testano le proprietà meccaniche e viscoelastiche dei materiali, lo [[spettroscopio viscoelastico a banda larga]](BVS) e lo [[spettroscopio a risonanza ultrasonica]] (RUS) sono i più comunemente usati per testare le caratteristiche viscoelastiche poichè possono essere usati sia a temperature superiori che a quelle inferiori della temperatura ambiente e sono i più specifici per testare la viscoelasticità. Questi due strumenti utilizzano un meccanismo di pressione a varie frequenze e range temporali indipendenti dalle sovrapposizioni temperatura-tempo<ref name=Lakes>Rod Lakes (1998): ''Viscoelastic solids'', CRC Press.</ref>. L'uso del BVS o del RUS per studiare le proprietà meccaniche dei materiali è importante per capire come si comporterà un materiale rispetto alla viscoelasticità<ref name=Lakes/>.
== Rilassamento viscoelastico ==
In materiali come i [[polimeri termoplastici]] si osserva un rilassamento delle tensioni, detto '''rilassamento viscoelastico''', portate a seguito di una certa deformazione imposta, il fenomeno si spiega con lo sgrovigliamento delle catene macromolecolari, sgrovigliamento che necessita di un certo tempo per compiersi.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* Silbey and Alberty (2001): ''Physical Chemistry'', 857. John Wiley & Sons, Inc.
* Allen and Thomas (1999): "The Structure of Materials," 51.
* Crandal et al. (1999): "An Introduction to the Mechanics of Solids" 348
* J. Lemaitre and J.L. Chaboche (1994)" Mechanics of solid materials"
* {{cita libro | cognome= Callister | nome= William D. | titolo= Material Science and Engineering: An Introduction | editore= John Wiley & Sons Inc |ed= 5 | anno= 1999 |lingua= inglese |isbn= 0-471-35243-8 |cid= Callister |url= http://books.google.it/books?id=hFoEAAAACAAJ&source=gbs_navlinks_s|pp= 464-467 }}
== Voci correlate ==
* [[Polimero]]
* [[Viscosità]]
* [[IsteresiReologia]]
* [[BiomaterialeFluido alla Boger]]
*[[Biomeccanica]]
*[[Reologia]]
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