Problemi irrisolti in matematica: differenze tra le versioni
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La [[storia della matematica|storia della '''matematica''']] è stata sempre costellata dalla questione dei '''problemi irrisolti''', vale a dire quelle [[congetture]] e domande delle quali non solo non si conosce la risposta, ma che sembrano sfide inattaccabili con i mezzi dell'indagine matematica dell'epoca in cui sono proposte. La loro soluzione, avvenuta a volte a distanza di secoli, si è spesso dimostrata in grado di schiudere nuovi orizzonti allo sviluppo del pensiero matematico, richiedendo, a volte, l'inquadramento del problema in un contesto matematico diverso da quello della formulazione originaria.
== Storia ==
I ''[[Problema aperto|problemi aperti]]'' hanno sempre rivestito una grande importanza in matematica, contribuendo a segnarne la storia, dal momento che le domande poste in questa categoria di problemi "a volte [...] illuminano sviluppi futuri di questa disciplina"<ref name="C. Procesi"/>. Ma l'efficacia di questa precognizione prospettica è spesso contraddetta da una constatazione che proviene proprio da considerazioni storiche e retrospettive: la [[storia della matematica]], infatti, insegna come la soluzione di problemi aperti sia avvenuta, molto spesso, attraverso approcci e sviluppi inattesi e imprevedibili all'epoca della loro formulazione, o, a volte (come nel caso dell'[[ultimo teorema di Fermat]], nato in un contesto che si potrebbe definire di [[aritmetica]] "[[Eulero|euleriana]]"), attraverso collocazione in un diverso ambito specialistico<ref name="C. Procesi"/>.
Sono numerosi gli esempi di questa inefficacia predittiva sulle future strade intraprese dai progressi del sapere matematico: tra questi, vi sono le soluzioni delle note questioni sulla [[duplicazione del cubo]] e sulla [[trisezione dell'angolo]] con [[riga e compasso]], problemi che hanno resistito per millenni prima che si avesse familiarità con nuove tecniche e prima che si individuasse il giusto contesto matematico in cui andava collocata la ricerca della loro soluzione (risolta con un'impossibilità). Quest'ultimo, infatti, risulta essere spesso molto diverso da quello in cui il problema si collocava in origine<ref name="C. Procesi">{{Treccani |matematica-problemi-aperti_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica) |autore = [[Claudio Procesi]]|titolo = Matematica: problemi aperti|anno = 2007}}</ref>.
Molto feconda si è mostrata, poi, in alcuni casi, una soluzione di tipo "negativo", attraverso la dimostrazione dell'impossibilità del risultato prospettato dal quesito. Ne sono esempi notevoli i due grandi problemi aperti lasciati in eredità dalla [[matematica greca]]: la [[duplicazione del cubo]] e l'indipendenza del [[quinto postulato di Euclide]] (il cosiddetto "[[assioma]] delle parallele") nell'ambito dello [[Postulati di Euclide|schema di postulati geometrici sistematizzati]] negli ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]'' di [[Euclide]]<ref name="C. Procesi"/>. La soluzione di quest'ultimo ha richiesto la scoperta che esistono le cosiddette [[geometrie non euclidee]], nel quale il quinto postulato non è soddisfatto, che hanno aperto nuove strade allo studio e alla comprensione della matematica, con lo studio delle geometrie in base al loro [[gruppo di simmetria|gruppo di simmetrie]]<ref name="C. Procesi"/>.
Lo studio della [[quadratura del cerchio]], invece, ha portato alla distinzione tra [[numeri algebrici]] e [[numeri trascendenti]], che investe sia l'[[algebra astratta]] sia l'[[analisi matematica]], visto che la dimostrazione della trascendenza di [[pi greco]] ha richiesto strumenti e metodi del [[calcolo infinitesimale]]<ref name="C. Procesi"/>.
A dispetto della profondità delle questioni soggiacenti, e delle tecniche matematiche che ne permettono la "trattabilità", molti problemi aperti ammettono una formulazione in termini assai elementari e di estrema semplicità, accessibile anche alla comprensione di un profano della materia: esempi di queste formulazioni elementari sono i già citati problemi di costruzione con riga e compasso, a cui si possono aggiungere altri, come la [[congettura di Goldbach]], concernente forme di regolarità nella [[distribuzione dei numeri primi]], oppure il [[teorema dei quattro colori]], o il celebre [[ultimo teorema di Fermat]].
=== Problemi proposti per il XX secolo ===
Proprio per gli effetti che tali problemi possono avere sullo sviluppo futuro dello studio della matematica, a volte si è ritenuta utile la compilazione di liste per individuare questioni giudicate molto significative. Un esempio celebre è quello dei [[problemi di Hilbert]], una lista di 23 questioni irrisolte compilata da [[David Hilbert]] e proposta, nell'estate del [[1900]], alla [[Unione matematica internazionale|comunità matematica internazionale]] riunitasi in occasione del [[Congresso internazionale dei matematici]] di [[Parigi]]. La presenza dei problemi di Hilbert si è riverberata sulla storia della matematica fin oltre il secolo XX.
Altro esempio novecentesco è costituito dai [[Problemi di Landau]] proposti nel 1912 da [[Edmund Landau]]. Celebri sono poi i problemi del cosiddetto ''[[Libro scozzese]]'', una raccolta di questioni matematiche e problemi matematici irrisolti (soprattutto nel campo dell'[[analisi funzionale]]) compilata negli [[anni 1930|anni trenta]] del [[Novecento]] durante riunioni conviviali di professori e studenti della celebre [[Scuola matematica di Leopoli]], in [[Polonia]], un cenacolo culturale che annoverava figure di eminenti matematici, come [[Stefan Banach]], [[Stanisław Ulam]], [[Alfred Tarski]], [[Hugo Steinhaus]], [[Stanisław Mazur]], [[Juliusz Paweł Schauder]] e numerosi altri<ref name="B. Myciek, 113">Bożena Myciek, ''Il viaggio sentimentale dei polacchi a Leopopli'', in M. G. Bartolini, G. Brogi Bercoff (a cura di), ''Kiev e Leopoli. Il testo culturale'', 2007, p. 113.</ref>.
=== XXI secolo ===
La sfida si è ripetuta all'approssimarsi dell'inizio del [[XXI secolo]], quando, anche su impulso dell'[[Unione matematica internazionale]], per il tramite di [[Vladimir Igorevič Arnol'd]], è stata suggerita la redazione di liste analoghe a quella di Hilbert, da sottoporre all'attenzione del Congresso internazionale di matematica dell'anno [[2000]], dichiarato dall'[[ONU]] [[anno internazionale della matematica]].
Tra le liste prodotte per il XXI secolo vi sono i [[problemi di Smale]], proposti da [[Stephen Smale]], [[medaglia Fields]] e [[premio Wolf per la matematica]]. Altro esempio famoso è la lista dei [[problemi per il millennio]] formulata dall'[[Istituto matematico Clay]], alla soluzione di ognuno dei quali è legato un munifico premio (1 milione di dollari statunitensi) promesso dalla stessa [[Istituto matematico Clay|Fondazione Clay]]<ref name="C. Procesi"/>.
== Esempi notevoli ==
Questa sezione contiene alcuni tra i più significativi problemi che sono stati proposti come sfida alla comunità matematica, e sono stati classificati, per un tempo più o meno lungo, o lo sono tuttora, tra le questioni irrisolte della [[storia della matematica]].
=== Problemi di Hilbert ===
{{vedi anche|Problemi di Hilbert}}
I [[Problemi di Hilbert]] costituiscono uno degli esempi più celebri: è una lista di 23 problemi [[matematica|matematici]], stilata da [[David Hilbert]], dieci dei quali furono presentati l'8 agosto [[1900]] nel corso della conferenza da lui tenuta al [[Congresso internazionale dei matematici]] svoltasi a [[Parigi]].
Alcuni dei problemi di Hilbert trovarono soluzione negli anni successivi, spesso dopo aver resistito a lungo agli attacchi dei matematici: la ricerca di soluzioni a questi problemi ha avuto un notevole impatto sullo sviluppo della matematica tra XX e XXI secolo.
=== I problemi della scuola matematica di Leopoli ===
{{vedi anche|Libro scozzese}}
[[File:MazurGes.jpg|thumb|upright=1.4|[[Per Enflo]] (a destra) riceve un'[[oca]] viva da [[Stanisław Mazur]], nel [[1972]], premio promesso negli [[anni 1930|anni trenta]] per la soluzione del problema 153 del ''[[Libro scozzese]]''.]]
I problemi del cosiddetto ''Libro scozzese'' ebbero origine nell'ambito della celebre [[Scuola matematica di Leopoli]], in [[Polonia]], a cui si devono fondamentali sviluppi nell'[[analisi funzionale]] attraverso eminenti figure di matematici, come [[Stefan Banach]], [[Stanisław Ulam]], [[Alfred Tarski]], [[Hugo Steinhaus]], [[Stanisław Mazur]], [[Juliusz Paweł Schauder]], e numerosi altri. Il nome della raccolta deriva da quello del [[Caffè scozzese]], il locale che fu sede delle riunioni informali di studenti e professori che animarono il celebre sodalizio scientifico.
=== I problemi per il millennio ===
{{vedi anche|Problemi per il millennio}}
I [[sette]] [[problemi per il millennio]], indicati nel [[2000]] dall'[[Istituto matematico Clay]], sono:
* [[Classi di complessità P e NP|P contro NP]]
* [[Congettura di Hodge]]
* [[Congettura di Poincaré]] (risolta negli anni '60 per dimensioni superiori a 4; 1982 per il caso quadridimensionale; [[2002]] per il caso in tre dimensioni)
* [[Ipotesi di Riemann]]
* [[Teoria di Yang-Mills]]
* [[
* [[Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
* [[Congettura dei numeri primi gemelli]]
* Determinazione del numero di [[quadrato magico|quadrati magici]] di ordine <math>n</math>
* [[Congettura di Gilbreath]]
* [[Congettura di Goldbach]]
* I valori di <math>g(k)</math> e <math>G(k)</math> nel [[problema di Waring]]
* [[Congettura di Erdős sulle progressioni aritmetiche]]
* [[Congettura di Erdős-Gyárfás]]
* [[
* [[Congettura di Toeplitz]]
* Cuboide perfetto
* [[Sedicesimo problema di Hilbert]]
* [[Problemi di Landau]]
* [[Problema di Brocard]]
* [[Problema di Galois inverso]]
* [[Problema di Burnside|Problema limitato di Burnside]]
* [[Problema del divano]]
* [[Congettura di Polignac]]
* Problema generalizzato dell'[[altezza star]]
* [[Congettura di Collatz]]
* [[Congettura di Schanuel]]
* [[Congettura abc]]
* Trovare una formula per la [[probabilità]] che due elementi scelti [[Aleatorietà|casualmente]] generino il [[gruppo simmetrico]] <math>S_n</math>
* Dimostrazione dell'infinità dei [[numeri primi di Mersenne]] ([[congettura di Lenstra-Pomerance-Wagstaff]]) o, in modo equivalente, dimostrazione dell'infinità dei [[Numero perfetto|numeri perfetti]]
* Esistenza di infiniti [[numero primo regolare|primi regolari]]
* I [[numero primo regolare|numeri primi regolari]] sono circa <math>e^{-\frac{1}{2}}</math> di tutti i [[numero primo|numeri primi]] (percentuale pari a circa il 61%)
*
* Dimostrazione dell'infinità dei [[Primo palindromo|primi palindromi]] in [[base 10]]
* Esistenza di [[numero perfetto|numeri perfetti]] dispari
* Esistenza di [[numero fatidico|numeri fatidici]] dispari
* Esistenza dei [[Numero lievemente abbondante|numeri lievemente abbondanti]]
* Esistenza di infinite [[quadrupla di primi|quadruple di primi]]
* Esistenza di un [[Numero lievemente abbondante|numero quasi perfetto]]
* Esistenza di infiniti [[Numero primo di Sophie Germain|numeri primi di Sophie Germain]]
* Esistenza di un [[numero di Wall-Sun-Sun]]
* Modellizzazione dei ''mergers'' dei [[buco nero|buchi neri]]
* Qual è il più piccolo [[numero di Riesel]]?
* Qual è il più piccolo [[numero di Sierpiński]]?
* Ogni [[
* La [[costante di Eulero-Mascheroni]] è [[Numero irrazionale|irrazionale]]?
* Ogni [[gruppo di torsione]] a [[presentazione di un gruppo|presentazione finita]] è [[Gruppo finito|finito]]?
=== Problemi risolti di recente ===
Quelli che seguono sono esempi di "[[Problema aperto|problemi aperti]]" che hanno resistito a lungo alla ricerca di soluzione, prima che venissero risolti a partire dagli ultimi decenni del XX secolo:
* [[Teorema di Green-Tao]], [[2004]]
* [[Congettura di Poincaré]] (anni '60 per dimensioni superiori a 4; 1982 per il caso quadridimensionale; [[2002]] per il caso in tre dimensioni)
* [[Teorema di Mihăilescu]], [[2002]]
* [[Teorema di Taniyama-Shimura]], [[1999]]
* [[Congettura di Keplero]], [[1998]]
* [[Ultimo teorema di Fermat]], [[1994]]
* [[Teorema di de Branges]], [[1984]]
* [[Teorema dei quattro colori]], [[1977]]
*[[Congettura debole di Goldbach]], [[2010]]
<references/>
== Bibliografia ==
* [[Claudio Procesi]], [http://www.treccani.it/enciclopedia/matematica-problemi-aperti_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/ ''Matematica: problemi aperti''], ''Enciclopedia della Scienza e della Tecnica'' (2007), [[Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani]].
* Fan Chung, Ron Graham (1999): ''Erdos on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems'', AK Peters, ISBN 156881111X
* Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, [[Richard K. Guy]] (1994): ''Unsolved Problems in Geometry'', Springer, ISBN 0387975063
* [[Richard K. Guy]] (2004): ''Unsolved Problems in Number Theory'', Springer, ISBN 0387208607
* Victor Klee, Stan Wagon (1996): ''Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory'', The Mathematical Association of America, ISBN 0883853159
* Florentin Smarandache (2000): ''Definitions, Solved and Unsolved Problems, Conjectures, and Theorems in Number Theory and Geometry'', Amer Research, ISBN 187958574X
* Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava (2018): ''Facile, anzi...difficilissimo!'', Hoepli - Milano, ISBN 978-88-203-8556-9
== Voci correlate ==
*[[Congettura]]
*[[Congetture matematiche]]
*[[Cronologia della matematica]]
*[[Libro scozzese]]
*[[Problema aperto]]
*[[Problemi di Hilbert]]
*[[Problemi per il millennio]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{en}} Winkelmann, Jörg, "''[https://web.archive.org/web/20050721074634/http://www.math.unibas.ch/~winkel/problem.html Some Mathematical Problems]''". Feb 3, 2004.
* {{en}} {{cita web|url=http://www.geocities.com/ednitou/|titolo=Lista di link a problemi di matematica irrisolti, premi e studi.|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20010428044725/http://www.geocities.com/ednitou/|accesso=21 novembre 2005|dataarchivio=28 aprile 2001}}
{{Portale|matematica|storia}}
[[Categoria:Liste di matematica]]
[[Categoria:Problemi matematici aperti| ]]
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