Gruppo di Galois assoluto: differenze tra le versioni

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{{CancellazioneS|arg=matematica}}

Il '''gruppo di Galois assoluto''' di un campo <math>K</math> è per definizione il [[gruppo di Galois]] di <math>K_s</math> su <math>K</math>, dove <math>K_s</math> denota la [[chiusura separabile]] di <math>K</math>. In alternativa può essere definito come il [[gruppo (matematica)|gruppo]] di tutti gli [[automorfismo|automorfismi]] di <math>K_s</math> che fissano <math>K</math>. Si noti che se <math>K</math> è un [[campo perfetto]] (come nel caso in cui <math>K</math> ha [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] zero o è un [[campo finito]]), allora <math>K_s</math> coincide con la [[chiusura algebrica]] <math>\bar{K}</math> di <math>K</math>.

{{A|Solo una definizione|matematica|ottobre 2019}}

Il '''gruppo di Galois assoluto''' di un campo <math>K</math> è per definizione il [[gruppo di Galois]] di <math>\bar{K}</math> su <math>K</math>, dove <math>\bar{K}</math> denota la [[chiusura algebrica]] di <math>K</math>.

== Esempi ==

* Il gruppo di Galois assoluto di un [[campo algebricamente chiuso]] è banale.

* Il gruppo di Galois assoluto del campo dei [[numeri reali]] è un [[gruppo ciclico]] di due elementi (il [[Complesso coniugato|coniugio complesso]] e l'identità), poiché <math>\Complex</math> è la [[chiusura separabile]] di <math>\R</math> e <math>[\Complex:\R]=2.</math>

* Il gruppo di Galois assoluto di un [[campo finito]] <math>K</math> è isomorfo al gruppo

::<math> \hat{\mathbf{Z}} = \varprojlim \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}. </math>

:(Per la notazione vedere [[limite inverso]].)

:L'[[automorfismo di Frobenius]] <math>\mathrm{Fr}</math> è un generatore (topologico) canonico di <math>G_K</math> (si ricordi che <math>\mathrm{Fr}(x)=x^q</math> per ogni <math>x\in K^{alg}</math>, dove <math>q</math> è il numero di elementi di <math>K</math>).

* Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un [[gruppo profinito]]). Questo risultato è dovuto a [[Adrien Douady]] e ha le sue origini nel [[teorema di esistenza di Riemann]].<ref>{{cita|Douady, 1964}}.</ref>

* Più in generale, sia <math>C</math> un campo algebricamente chiuso e <math>x</math> una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di <math>K=C(x)</math> è libero di rango uguale alla [[cardinalità]] di <math>C.</math> Questo risultato è dovuto a [[David Harbater]] e [[Florian Pop]], e fu dimostrato nuovamente in seguito da [[Dan Haran]] e [[Moshe Jarden]] usando metodi algebrici.<ref>{{cita|Harbater, 1995}}.</ref><ref>{{cita|Pop, 1995}}.</ref><ref>{{cita|Haran Jarden, 2000}}.</ref>

* Sia <math>K</math> un'estensione finita del campo dei [[numeri p-adici]] <math>\Q_p.</math> Per <math>p \ne 2,</math> il suo gruppo di Galois assoluto è generato da <math>[K:\Q_p]+3</math> elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg.<ref>{{cita|Jannsen Wingberg, 1982}}.</ref><ref>{{cita|Neukirch Schmidt Wingberg, 2000|loc=theorem 7.5.10}}</ref> Alcuni risultati sono noti per il caso <math>p=2,</math> ma la struttura per <math>\Q_2</math> non è nota.<ref>{{cita|Neukirch Schmidt Wingberg, 2000|loc=§VII.5}}</ref>

* Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei [[numeri algebrici]].<ref>{{Cita web|url=http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf |titolo=qtr |formato=PDF |data= |accesso=4 settembre 2019}}</ref>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{Cita libro| autore = [[Jürgen Neukirch]], Alexander Schmidt e Kay Wingberg |titolo= Cohomology of Number Fields |anno= 2008 |editore=Springer-Verlag | ed=2|lingua=inglese|url=https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~schmidt/NSW2e/|isbn=3-540-37888-X|cid=Neukirch Schmidt Wingberg, 2000}}

*{{Cita pubblicazione|cognome=Douady|nome=Adrien|titolo=Détermination d'un groupe de Galois|anno=1964|rivista=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris|volume=258|pp=5305-5308|cid=Douady, 1964}}

* {{Cita pubblicazione|cognome1=Fried |nome1=Michael D. |cognome2=Jarden |nome2=Moshe |titolo=Field arithmetic |edizione=3rd |serie=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge |volume=11 |editore=[[Springer-Verlag]] |anno=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 }}

*{{Cita pubblicazione|cognome=Haran|nome=Dan|cognome2=Jarden|nome2=Moshe|titolo=The absolute Galois group of ''C''(''x'')|rivista=Pacific Journal of Mathematics|anno=2000|volume=196|numero=2|pp=445-459| doi=10.2140/pjm.2000.196.445|cid=Haran Jarden, 2000}}

*{{Cita pubblicazione|cognome=Harbater|nome=David|wkautore=David Harbater|contributo=Fundamental groups and embedding problems in characteristic ''p''|pp=353-369|titolo=Recent developments in the inverse Galois problem|editore=[[American Mathematical Society]]|città=[[Providence, RI]]|serie=Contemporary Mathematics|volume=186|cid=Harbater, 1995}}

*{{Cita pubblicazione|cognome=Jannsen|nome=Uwe|cognome2=Wingberg|nome2=Kay|titolo=Die Struktur der absoluten Galoisgruppe <math>\mathfrak{p}</math>-adischer Zahlkörper |rivista=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=70|anno=1982|pp=71–78

| doi=10.1007/bf01393199| bibcode=1982InMat..70...71J

|cid=Jansen Wingberg, 1982}}

*{{Cita pubblicazione|cognome=Pop|nome=Florian|wkautore=Florian Pop|titolo=Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture|url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1995-06_120_3/page/555|rivista=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=120|numero=3|anno=1995|pp=555-578| doi=10.1007/bf01241142| bibcode=1995InMat.120..555P|cid=Pop, 1995}}

== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/absolute+Galois+group|titolo=Absolute Galois Group|sito = nLab|accesso=28 novembre 2019|lingua=en}}

* {{Treccani|Rappresentazione-galoisiana_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica)|rappresentazione galoisiana}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria di Galois]]