Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2013}}

Il '''coefficiente multinomiale''' è un'estensione del [[coefficiente binomiale]]. Siano <math>k_1,\ldots,k_r</math> dei numeri interi positivi con <math>k_1+\ldots+k_r = n</math>. Il coefficiente multinomiale è definito come

Per un numero intero non negativo <math>n,</math> e un [[vettore (matematica)|vettore]] intero non negativo <math>\mathbf k</math> di [[norma (matematica)|norma]] uno (<math>\|\mathbf k\|_1</math>) pari a n, il coefficiente multinomiale è definito come

:<math>{n \choose k_1,\mathbf kldots,k_r} := \frac{n!}{\prod_{i=1}^{r} k_i!} ,</math>

</math>

dove <math>\prod_{i=1}^r</math> è il simbolo della [[produttoria]]. Il coefficiente multinomiale è sempre un [[numero naturale]].<ref>{{Cita libro|autore=Martin Aigner|titolo=Combinatorial Theory|collana=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234|anno=1979|editore=Springer}}</ref>

ed è sempre un [[numero naturale]].

==Teorema multinomiale==

Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto teorema multinomiale:

:<math>(x_1+\ldots+x_r)^n =\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}.,</math>

ossia

ovvero

:<math>\bigg(\sum_{i=1}^r x_i \bigg)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{x_i^{k_i}}{k_i!}},</math>

dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili erruple<math>r</math>-ple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a <math>n</math>.

In particolare, per <math>x_1=\ldots=x_r=1</math> si ottiene:

:<math>p(\mathbf xr^n=\mathbf k) sum_{k_1+\;ldots+k_r=\; n}{n \choose \mathbf k}!\cdot \prod_{i=1}^r p_i^\frac{1}{k_i!}}.</math>

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della [[notazione multi-indice]] e della [[contrazione tensoriale]]:

:<math> x^n= \sum_{k=n} n! \frac{\mathbf x^{\mathbf k}}{\mathbf k!} \, </math>

con le [[norma (matematica)|norme unitarie]]:

:<math>k = \sum_{i=1}^r k_i= \left \| \mathbf k \right \|_1</math>

:<math>x = \sum_{i=1}^r x_i= \left \| \mathbf x \right \|_1</math>

e:

:<math>\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots x_{r}^{k_{r}}) \in \mathbb{R}^r</math>

:<math>k = \sum_{i=1}^r k_i= \left \| \mathbf k \right \|_1,</math>

== Applicazioni ==

:<math>x = \sum_{i=1}^r x_i= \left \| \mathbf x \right \|_1,</math>

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi <math>n</math> oggetti in <math>r</math> scatole, tali che <math>k_1</math> oggetti stiano nella prima scatola, <math>k_2</math> nella seconda, e così via.

e:

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> oggetti, di cui <math>k_1</math> uguali tra loro, <math>k_2</math> uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi <math>k_i</math> essere uguale a 1, e avendosi così <math>\sum_{i=1}^r k_i=n</math>.

:<math>\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots, x_{r}^{k_{r}}) \in \mathbb{R}^r.</math>

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

== Applicazioni ==

:<math>p(\mathbf x=\mathbf k) \;=\; {n \choose \mathbf k}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i}</math>

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi <math>n</math> oggetti in <math>r</math> scatole distinte, tali che <math>k_1</math> oggetti stiano nella prima scatola, <math>k_2</math> nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> oggetti, di cui <math>k_1</math> uguali tra loro, <math>k_2</math> uguali tra loro e così via, potendodove uni qualsiasivalori <math>k_i</math> esseresono ugualenumeri naturali uguali o maggiori a <math>1,</math> eche avendosisoddisfano cosìquindi <math>\sum_{i=1}^r k_i=n</math>.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]], una [[variabile casuale discreta]], generalizzazione della variabile casuale [[Distribuzione binomiale|binomiale]]. Notiamo <math>X = (X_1,\ldots,X_r)</math> una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri <math>\left( (p_1,\ldots,p_r),n \right)</math>, dove i valori <math>p_i</math> sono dei numeri positivi tali che <math>p_1+\ldots+p_r=1</math>. Immaginamo di lanciare <math>n</math> volte un dado a <math>r</math> facce distinte, di cui la <math>i</math>-esima faccia ha probabilità <math>p_i</math> di apparire, allora <math>X_i</math> è il numero di volte che la <math>i</math>-esima faccia è apparsa (per ogni <math>i \in \{1,\ldots,r\}</math>). In particolare <math>X</math> prende i valori <math>(k_1,\ldots,k_r)</math> con probabilità

:<math>\mathbb{P}\left(X= (k_1,\ldots,k_r) \right)={n \choose k_1,\ldots,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i}.</math>

una [[variabile casuale discreta]].

== Esempio ==

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco [[Skat (gioco di carte)|skat]]). Quanti sono questi modi?

Quanti sono questi modi?

:<math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.5042753294408504640.640</math>

</math>

== Note ==

<references/>

==Voci correlate==

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*[[Teorema binomiale]]

*[[Variabile casuale multinomiale]]

== Collegamenti esterni ==

{{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Combinatoria]]