Notazione di Einstein: differenze tra le versioni
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In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[Tensore|tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.
Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spaziotempo di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.
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== Definizione ==
Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie''),<ref name="articolo-rel-tedesco">{{Cita pubblicazione|autore=Albert Einstein|titolo=Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie|lingua=de|url=http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|accesso=15 ottobre 2017|dataarchivio=4 febbraio 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120204075246/http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|urlmorto=sì}}</ref> dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:
{{Citazione|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: "quando un indice si presenta due volte in un termine di un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}
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== Esempi ==
Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di [[tensore|tensori]]. Gli esempi qui proposti
=== Prodotto scalare ===
Il [[prodotto scalare]] di due vettori <math>\mathbf x</math> e <math>\mathbf y</math> dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è definito come
:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. </math>
Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come
:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = x_iy^i. </math>
Infatti il termine <math>x_iy^i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, una volta come covariante e una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di <math>i</math> può essere sottintesa.
=== Prodotto vettoriale ===
Il [[prodotto vettoriale]] di due vettori <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math> in <math>\R^3</math> è definito come
:<math>(\mathbf u\times \mathbf v)_i = \varepsilon_{ijk} u^j v^k\,\! </math>
Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici <math>j</math> e <math>k</math> poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo <math>\varepsilon_{ijk}</math> dipendente da 3 indici è il [[simbolo di Levi-Civita]]. L'espressione però ''non'' è sommata sull'indice <math>i</math>, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni <math>i</math> l'<math>i</math>-esima componente del prodotto vettoriale fra <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math>.
Indicando con
:<math> \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 </math>
la [[base canonica]] di <math>\R^3</math>, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo
:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \varepsilon_{ijk} u^j v^k \mathbf e^i</math>
Qui la somma è effettuata su tutti gli indici <math>i,j,k</math>. In altre parole,
:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \sum_{i= 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>
== Indici muti e liberi ==
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== Notazione astratta degli indici ==
La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i [[tensore|tensori]]) valgano ''componente per componente'' o se siano ''equazioni tensoriali'', indipendenti dalla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]]. Per questo motivo [[Roger Penrose]] e altri<ref name="Wald">{{cita libro|autore=Robert M. Wald|titolo=General Relativity|url=https://archive.org/details/generalrelativit0000wald|edizione=1|anno=1984|editore=University of Chicago Press|lingua=en|citazione=In questo libro sono riportati due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici.|isbn=0-226-87033-2}}</ref> hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di
<ul>
<li> Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere latine'', del tipo
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indica un numero, componente del tensore <math>T</math> dipendente dai numeri <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>.
Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno [[spaziotempo]] a 4 dimensioni,<ref name=Wald
:<math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math>
dove abbiamo usato la metrica
Riga 78:
* [[Tensore]]
* [[Notazione bra-ket]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
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