Notazione di Einstein: differenze tra le versioni
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In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[Tensore|tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.
Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[
▲In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.
▲Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spazio di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La [[notazione astratta degli indici]] è uno sviluppo della notazione di Einstein.
La convenzione è stata introdotta dallo stesso [[Albert Einstein]] per rendere più concise alcune equazioni di [[geometria differenziale]] utili a formulare la [[relatività generale]]. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.
== Definizione ==
Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie''),<ref name="articolo-rel-tedesco">
{{
La convenzione è quindi la seguente:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Quando un indice si presenta due volte in un termine di
</div>
== Esempi ==
Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di [[tensore|tensori]]. Gli esempi qui proposti
=== Prodotto scalare ===
Il [[prodotto scalare]] di due vettori <math>\mathbf x</math> e <math>\mathbf y</math> dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è definito come
:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. </math>
Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come
:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = x_iy^i. </math>
Infatti il termine <math>x_iy^i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, una volta come covariante
=== Prodotto vettoriale ===
Il [[prodotto vettoriale]] di due vettori <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math> in <math>\R^3</math> è definito come
:<math>(\mathbf u\times \mathbf v)_i = \varepsilon_{ijk} u^j v^k\,\! </math>
Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici <math>j</math> e <math>k</math> poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo <math>\varepsilon_{ijk}</math> dipendente da 3 indici è il [[simbolo di Levi-Civita]]. L'espressione però ''non'' è sommata sull'indice <math>i</math>, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni <math>i</math> l'<math>i</math>-esima componente del prodotto vettoriale fra <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math>.
Indicando con
:<math> \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 </math>
la [[base canonica]] di <math>\R^3</math>, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo
:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \varepsilon_{ijk} u^j v^k \mathbf e^i
Qui la somma è effettuata su tutti gli indici <math>i,j,k</math>. In altre parole,
:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \sum_{i
== Indici muti e liberi ==
In
:<math>v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h</math>
gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:
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== Notazione astratta degli indici ==
La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i [[tensore|tensori]]) valgano ''componente per componente'' o se siano ''equazioni tensoriali'', indipendenti dalla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]]. Per questo motivo [[Roger Penrose]] e altri<ref name="Wald">
<ul>
<li> Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere latine'', del tipo
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indica un numero, componente del tensore <math>T</math> dipendente dai numeri <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>.
Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno [[spaziotempo]] a 4 dimensioni,<ref name=Wald
:<math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math>
dove abbiamo usato la metrica
:<math>g_{\mu \nu} = \operatorname{diag}(-1, +1, +1, +1)
e <math>x^0 = ct</math>, invece
:<math>x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2.</math>
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:<math>||\hat{x}||^2</math>
è la [[Norma (matematica)|norma]] quadra di <math>\hat{x}</math>.
== Note ==
<references />▼
== Voci correlate ==
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* [[Notazione bra-ket]]
==
* {{Collegamenti esterni}}
▲<references />
{{Portale|matematica}}
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[[Categoria:Notazioni matematiche]]
[[Categoria:Tensori]]
▲[[id:Notasi Einstein]]
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