Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

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In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[Tensore|tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.

{{C|la notazione di Einstein vale solo nel caso in cui in un termine ci sia un indice che si presenta in posizione covariante e controvariante (ovvero uno volta in basso ed una in alto)|matematica|agosto 2010}}

Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spaziospaziotempo di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La [[notazione astratta degli indici]] è uno sviluppo della notazione di Einstein.

In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.

Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spazio di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La [[notazione astratta degli indici]] è uno sviluppo della notazione di Einstein.

La convenzione è stata introdotta dallo stesso [[Albert Einstein]] per rendere più concise alcune equazioni di [[geometria differenziale]] utili a formulare la [[relatività generale]]. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.

== Definizione ==

Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie''),<ref name="articolo-rel-tedesco">[{{Cita pubblicazione|autore=Albert Einstein|titolo=Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie|lingua=de|url=http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|accesso=15 Dieottobre Grundlage2017|dataarchivio=4 der allgemeinen Relativitätstheorie], Articolo originale della teoria della relatività generale (tedesco),febbraio 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120204075246/http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|urlmorto=sì}}</ref>, dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:

{{Citazione|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'unadi un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi- Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}

La convenzione è quindi la seguente:

<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Quando un indice si presenta due volte in un termine di una un'espressione occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.

</div>

== Esempi ==

Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di [[tensore|tensori]]. Gli esempi qui proposti sonoriguardano tutti tensori.

=== Prodotto scalare ===

Il [[prodotto scalare]] di due vettori <math>\mathbf x</math> e <math>\mathbf y</math> dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è definito come

:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. </math>

Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

:<math> \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = x_iy^i. </math>

Infatti il termine <math>x_iy^i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, una volta come covariante ede una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di <math>i</math> può essere sottintesa.

=== Prodotto vettoriale ===

Il [[prodotto vettoriale]] di due vettori <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math> in <math>\R^3</math> è definito come

:<math>(\mathbf u\times \mathbf v)_i = \varepsilon_{ijk} u^j v^k\,\! </math>

Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici <math>j</math> e <math>k</math> poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo <math>\varepsilon_{ijk}</math> dipendente da 3 indici è il [[simbolo di Levi-Civita]]. L'espressione però ''non'' è sommata sull'indice <math>i</math>, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni <math>i</math> l'<math>i</math>-esima componente del prodotto vettoriale fra <math>\mathbf u</math> e <math>\mathbf v</math>.

Indicando con

:<math> \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 </math>

la [[base canonica]] di <math>\R^3</math>, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo

:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \varepsilon_{ijk} u^j v^k \mathbf e^i</math>

Qui la somma è effettuata su tutti gli indici <math>i,j,k</math>. In altre parole,

:<math>\mathbf u\times \mathbf v = \sum_{i= 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>

== Indici muti e liberi ==

In una un'espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano ''muti'' e gli altri sono ''liberi''. Ad esempio, nell'espressione

:<math>v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h</math>

gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:

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== Notazione astratta degli indici ==

La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i [[tensore|tensori]]) valgano ''componente per componente'' o se siano ''equazioni tensoriali'', indipendenti dalla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]]. Per questo motivo [[Roger Penrose]] e altri<ref name="Wald">in {{en}} {{cita libro | cognome=Wald| nomeautore=Robert M. Wald| anno=1984 | titolo=General Relativity | url=https://archive.org/details/generalrelativit0000wald|edizione=1^a edizione | anno=1984|editore=University of Chicago Press | isbnlingua=0-226-87033-2en|citazione=In }}questo silibro riportanosono riportati due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici.|isbn=0-226-87033-2}}</ref> hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di EinstenEinstein:

<ul>

<li> Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere latine'', del tipo

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indica un numero, componente del tensore <math>T</math> dipendente dai numeri <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>.

Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno [[spaziotempo]] a 4 dimensioni,<ref name=Wald>< /ref>, tuttavia ancora diffuso,<ref>{{cita libro | cognome=Prosperi| nome=Gian Maria| anno=2004 | titolo=Elementi di teoria della relatività ristretta | editore=Cusl | isbn=88-8132-505-5}}</ref>, secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio,

:<math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math>

dove abbiamo usato la metrica

:<math>g_{\mu \nu} = \operatorname{diag}(-1, +1, +1, +1) \ </math>

e <math>x^0 = ct</math>, invece

:<math>x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2.</math>

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:<math>||\hat{x}||^2</math>

è la [[Norma (matematica)|norma]] quadra di <math>\hat{x}</math>.

== Note ==

<references />

== Voci correlate ==

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* [[Notazione bra-ket]]

== NoteCollegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

<references />

{{Portale|matematica}}

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[[Categoria:Notazioni matematiche]]

[[Categoria:Tensori]]

[[Categoria:Albert Einstein]]