Meccanica razionale: differenze tra le versioni

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[[File:Carl Jacobi.jpg|thumb|[[Carl Jacobi|Carl Gustav Jacobi]]]]

La '''meccanica razionale''' (o '''meccanica analitica'''), nella [[fisica classica]], è la [[branca]] della [[fisica matematica]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] e l'[[Equilibrio meccanico|equilibrio]] dei sistemi meccanici con un numero finito di [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. Essa rappresenta una formulazione della [[meccanica classica]] alternativa a [[Meccanica newtoniana|quella newtoniana]]. Il principio fondamentale che, assieme al [[principio di relatività galileiana]], sta alla base della meccanica analitica è il [[principio di minima azione]]. La meccanica razionale si è sviluppata tra la seconda metà del [[XVIII secolo]] e la fine del [[XIX secolo]], grazie al contributo di scienziati come [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]], [[Carl Jacobi]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Jacques Charles François Sturm]], [[Joseph Liouville]], [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre-Louis de Maupertuis]], [[Emmy Noether]] e [[Siméon-Denis Poisson]].

== Descrizione ==

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All'interno della meccanica razionale è possibile distinguere due differenti formulazioni: la [[meccanica lagrangiana]] e la [[meccanica hamiltoniana]]. La principale distinzione tra di esse è rappresentata da una diversa scelta operata nel selezionare le [[Coordinate lagrangiane|coordinate]] usate per generare lo [[spazio delle fasi]]. In particolare, tramite la formulazione hamiltoniana si arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

La ''meccanica lagrangiana'' è una formulazione della [[meccanica (fisica)|meccanicanewtoniana]] introdotta nel [[XVIII secolo]] da [[Joseph-Louis Lagrange]] come riformulazione della [[meccanica newtoniana]]. Si tratta di un formalismo in cui le [[equazione del moto|equazioni del moto]] sono descritte tramite dellele cosiddette [[equazioni variazionali di Eulero-Lagrange]], dovein cui la [[funzione scalare]] argomento è la [[lagrangiana di Newton]], la differenza tra energia cinetica e potenziale.<ref>{{Cita libro|cognome=Goldstein|nome= H. |titolo=Classical Mechanics|edizione=3rd|p=35 |editore=Addison-Wesley|anno= 2001}}</ref> In questo modo, non è necessario utilizzare [[campi vettoriali]] come nel caso invece delle [[equazioni di Newton]] o delle [[equazioni di Navier-Stokes]].

In questo modo, non è necessario utilizzare [[campi vettoriali]] come nel caso invece delle [[equazioni di Newton]] o delle [[equazioni di Navier]].

La ''meccanica hamiltoniana'', nellaè fisica e matematica e in particolare nella meccanica razionale e nellun'analisi dei [[sistemi dinamici]], è unaaltra riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da [[William Rowan Hamilton]]. aIn partirequesta dallatrattazione meccanicala lagrangianagrandezza di riferimento è la hamiltoniana, descrittaovvero inizialmentela dasomma di energia cinetica e energia potenziale. Le equazioni che essa deve soddisfare sono le [[Josephequazioni di Hamilton-Louis LagrangeJacobi]] nel 1788.

=== Caratteristiche ===

[[File:Joseph liouville.jpeg|thumb|[[Joseph Liouville]]]]

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]], come lo [[spazio tridimensionale]], sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]] ([[Curva (matematica)|curve]] o [[Superficie|superfici]]). Dal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse.

La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]], come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]], che ne rendono finito il numero di gradi di libertà. Un altro importante campo di applicazione della meccanica razionale è rappresentato dalla teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]]. Tuttavia, va sottolineato che l'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate da questi modelli, come ad esempio il [[calcolo delle variazioni]].

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*[[Horace Lamb]] ''[https://www.archive.org/details/highermechanics00lambuoft Higher mechanics]'' Cambridge University Press, 1920;

* Alexander Ziwet e P. Field ''[https://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics]'' MacMillan, 1921;

* {{cita libro|autore=Paul Appell|url=httphttps://gallicabooks.bnfgoogle.frit/noticebooks/about/Trait%C3%A9_de_m%C3%A9canique_rationnelle.html?Nid=lEWf0AEACAAJ&redir_esc=FRBNF35484834y|titolo= Traité de Mécanique Rationnelle|urlmorto=sìno|editore=Gauthier-Villars|anno=1921|lingua=fr}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Cinematica: principi e statica|url=http://mathematica.sns.it/opere/306/|anno=1938|volume=1}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Dinamica: cenni di meccanica dei sistemi continui|url=http://mathematica.sns.it/opere/307/|anno=1938|volume=2}}

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* [[Coordinate generalizzate]]

* [[Azione (fisica)]]

* [[Hamiltoniana (funzione)|Hamiltoniana]]

* [[Lagrangiana]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|b|preposizione=sulla|wikt=meccanica razionale}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{Treccani|meccanica-razionale_(Enciclopedia-della-Matematica)}}

* {{cita web |autore=Raffaele Esposito| 1 = http://people.disim.univaq.it/~serva/teaching/Esposito.pdf | 2 = Appunti di Meccanica Razionale a cura di Raffaele Esposito|editore=Universit`a degli Studi de L’Aquila| accesso = 22 febbraio 2023 }}