Successione di Cauchy: differenze tra le versioni

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[[File:Augustin_Cauchy.jpg|miniatura|destra|Augustin-Louis Cauchy]]

In [[matematica]], una '''successione di Cauchy''' o '''successione fondamentale''' è una [[Successione (matematica)|successione]] tale per cui, data una [[Distanza (matematica)|distanza]] definita positiva, vi sono infiniti elementi la cui distanza reciproca è inferiore a una distanza data arbitrariamente piccola. Ogni successione [[Convergenza|convergente]] è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico [[Augustin Louis Cauchy]].

In [[matematica]], una '''successione di Cauchy''' o '''successione fondamentale''' è una [[Successione (matematica)|successione]] tale che, comunque si fissi una [[distanza (matematica)|distanza]] arbitrariamente piccola <math>\varepsilon >0</math>, da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad <math>\varepsilon</math> . Ogni successione [[Convergenza|convergente]] è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere [[Augustin-Louis Cauchy]].

==Definizione==

Si definisce successione di Cauchy una [[Successione (matematica)|successione]] <math> \{x_n \}_{n \in \mathbb N}</math> a valori in uno [[spazio metrico]] <math> (X,d) </math> tale che per ogni <math>\varepsilon >0 </math> esiste <math>N(\varepsilon) = N</math> tale che per tutti gli <math>m,n \geq N </math> si verifica:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 5|reed}}.</ref>

:<math>\forall \, \varepsilon >0 \; \exist \, N(\varepsilon) = N : \forall \, m,n \geq N \quad d(x_n, x_m ) <\varepsilon </math>

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio <math>X</math> tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione [[ConvergenzaLimite di una successione|convergente]] in <math>X</math> è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente <math> \{x_n \}_{n \in \mathbb N} \to x</math>. EsistePoiché alloraessa converge, per ogni <math>\varepsilon >0 </math> esiste un indice ''<math>N''</math> tale per cui:

:<math>d(x_n, x ) <\frac {\varepsilon}{2} \quadqquad \forall n > N</math>

Considerando allora ''n''<math>m</math> e ''m''<math>n</math> maggiori di ''<math>N'',</math> si ha di conseguenza:

:<math>d(x_n, x_m ) <\frac {\varepsilon}{2} +\frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'[[Limite di una successione|elemento al quale converge]] appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico <math>(X,d)</math> hanno un limite in <math>X</math>, allora <math>(X,d)</math> viene chiamato [[spazio metrico completo]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 6|reed}}.</ref>

Dato uno spazio metrico, è sempre possibile [[Spazio_metrico_completo#Completamento_di_uno_spazio_metrico|"estendere" lo spazio in modo da renderlo completo]].

Uno [[spazio normato]] completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece [[spazio di Banach]].

Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite <math>L</math> ogni sua [[sottosuccessione]] tende a <math>L</math>.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico <math>(X,d)</math> hanno un limite in <math>X</math>, allora <math>(X,d)</math> viene chiamato [[spazio completo]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 6|reed}}</ref>

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni [[sottosuccessione]] di una successione di Cauchy che tende a un limite ''L'' tende a ''L''.

==Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy==

Si dice ''diametro'' di un certo insieme <math>E</math> in uno spazio metrico <math>(X,d)</math> l'[[estremo superiore]]:

:<math> \sup_{p,q \in E} \, d(p,q) </math>

Prima di enunciare e dimostrare i teoremi, è bene introdurre la definizione di diametro di un insieme.

e si indica con:

Si dice ''diametro'' di un certo insieme <math>E</math> in uno spazio metrico <math>(X,d)</math> l'[[estremo superiore]]

:<math> \sup_mbox{p,qdiam \in} E} \, d(p,q) \ </math>

in analogia con il diametro del [[cerchio]], in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

e si indica con

===Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy===

:<math> \mbox{diam } E \ </math>

Sia <math>\{x_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>(X,d)</math>. Allora <math>\{x_n\}</math> è [[Funzione limitata|limitata]] in <math>X</math>.

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni <math>\varepsilon >0</math> esiste <math>N(\varepsilon) = N </math> tale che:

in analogia con il diametro del [[cerchio]]: comunque presi due punti appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore, al più uguale al diametro del cerchio stesso.

:<math> d(x_n, x_m ) <\varepsilon \qquad \forall \, m,n \geq N </math>

===Teorema della limitatezza delle successioni Cauchy===

e dunque esiste <math>N_*</math> che soddisfa:

Sia <math>\{x_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>(X,d)</math>. Allora <math>\{x_n\}</math> è limitata in <math>X</math>.

:<math>d(x_n, x_m ) < 1 \qquad \forall \, m,n \geq N_*</math>

Infatti, per definizione di successione di Cauchy,

da cui:

:<math>\forall\, \varepsilon >0 \; \exist\, N(\varepsilon) = N : \forall \, m,n \geq N \quad d(x_n, x_m ) <\varepsilon</math>

:<math>d(x_n,x_{N_*}) < 1 \qquad \forall n \geq N_*</math>

dunque a maggior ragione

Sia:

:<math>\exist\, \varepsilon = 1 : \exist N_* : \forall \, m,n \geq N_* \quad d(x_n, x_m ) < 1\,,</math>

:<math>r = \max\{1, d(x_1,x_{N_*}), d(x_2,x_{N_*}), \dots , d(x_{N_* -1},x_{N_*})\} </math>

da cui

Allora:

:<math> \forall \, n \quad d(x_n,x_{N_*}) < 1 \, .</math>

:<math> d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x_{N*})+d(x_m,x_{N*}) \leq r+r=2r \qquad \forall n,m </math>

In più

Perciò <math>\{ x_n \}</math> è limitata.

:<math>\exist \, r > 0 : r = \max\{d(p_1,p_2),d(p_1,p_3),...,d(p_1,p_N),d(p_2,p_3),...,d(p_2,p_N),...,d(p_{N-1},p_N)\}\,.</math>

Dunque

:<math> \forall \, m,n \; d(p_n,p_m) < 1 + r </math>

e la successione è limitata.

===Teorema dell'implicazione dalla convergenza===

Sia <math>\{p_n\}</math> convergente. Allora <math>\{p_n\}</math> è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni <math>\varepsilon > 0</math> si può trovare <math>N(\varepsilon) = N</math> tale che esiste <math>p</math> che soddisfa:

:<math> \forall \d(p_n,p) < \varepsilon > 0 \; \exist \, N(\varepsilon) = N :qquad \forall \, n \geq N \; \exist \, p : d(p_n,p) < \varepsilon \,.</math>

Dunque esiste un indice di successione <math>m \geq n</math> per cui, applicando la [[disuguaglianza triangolare]], si ha

:<math> d(p_n,p_m) \leq d(p_m,p) + d(p,p_n) < 2 \, \varepsilon \,. </math>

Per cui il teorema è dimostrato.

===Teorema della convergenza in spazi metrici===

Sia <math>(X,d)</math>, con <math>X</math> [[Spazio compatto|compatto]] e <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>X</math>. Allora <math>\{p_n\}</math> converge a qualche punto di <math>X</math>.

SiaInfatti, <math>(X,d)</math>sia, concome <math>X</math>da [[insieme compatto|compatto]] eenunciato, <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy. inPer <math>X</math>. Alloraogni <math>\{p_n\}N</math> converge[[numero anaturale]], qualchesi punto dicostruisca <math>XE_N</math>. nel seguente modo:

:<math>E_N \,:= \, \{p_N,p_{N+1},p_{N+2}, \dots \} </math>

Infatti, sia, come da enunciato, <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy. Per ogni <math>N</math> numero naturale, si costruisca <math>E_N</math> nel seguente modo:

:<math>E_N \,:=overline{E}_N \,subset X \{p_N,p_{N+1},p_{N+2},...qquad \}forall \,. N</math>

dove <math> \overline{E} </math> è la chiusura di <math>E</math> (unione dell'insieme con i suoi [[punto di accumulazione|punti di accumulazione]]). Trattandosi di [[Insieme chiuso|insiemi chiusi]] in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

:<math> \forall \, N, \, \overline{E}_N \subset X</math>

:<math>\lim_{N \to \infty} \! \mbox{diam } \overline{E}_N = 0 </math>

dove <math> \overline{E} </math> è la chiusura di <math>E</math> (unione dell'insieme con i suoi [[punto di accumulazione|punti di accumulazione]]): trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui

Inoltre:

:<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \! \mbox{diam } \overline{E}_N = 0 \,.</math>

:<math>E_N \supset E_{N+1} </math>

Inoltre

che implica:

:<math>E_N \supset E_{N+1} \Rightarrow \overline{E}_{N} \supset \overline{E}_{N+1} \Rightarrow \exist ! \, p : \forall \, N \; p \in X \,.</math>

:<math>\overline{E}_{N} \supset \overline{E}_{N+1} </math>

A questo punto,

e quindi esiste un unico <math>p</math> tale che <math>p \in X</math> per ogni <math> N </math>. A questo punto, per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste <math>\tilde{N}</math> tale per cui:

:<math> \forall \, \varepsilon > 0 \; \exist \, \tilde{N} : \forall \, N \geq \tilde{N}, \; \mbox{diam}\,\overline{E}_N<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \, q \in \overline{E}_N, \; d(p,q) < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \, n \geq \tilde{N}, \; d(p,p_n) < \varepsilon </math>

:<math>\mbox{diam}\,\overline{E}_N<\varepsilon \qquad \forall \, N \geq \tilde{N}</math>

il che implica <math> p_n \rightarrow p </math>, ovvero la successione converge.

da cui:

===Teorema della completezza di R^''k''===

Uno spazio metrico si dice [[insieme completo|completo]] quando la condizione di Cauchy per le successioni è sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in <math>\mathbb{R}^k</math>, ogni successione di Cauchy converge.

:<math> d(p,q) < \varepsilon \qquad \forall \, q \in \overline{E}_N </math>

Infatti, presa una successione di Cauchy <math> \{\mathbf{x}_n\} </math> a valori in <math> \mathbb{R}^k </math> sia come per il teorema precedente

che implica:

:<math> E_N := \{\mathbf{x}_N : N = 1,2,...\} \,.</math>

:<math>d(p,p_n) < \varepsilon \qquad \forall n \geq \tilde{N}</math>

Allora è possibile costruire per qualche <math>N</math> un <math> E_n : n \geq N </math> tale che <math> \mbox{diam} \, E_n < 1 \,.</math> Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito: quello dell'insieme <math> \{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_N\} </math>; dall'altra c'è <math>E_N</math>. Per il [[teorema di Heine-Borel]] un sottoinsieme limitato in <math>\mathbb{R}^k</math> ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente.

Questoil dimostrache la completezza disignifica <math> p_n \mathbb{R}^kto p </math>, ovvero la successione converge.

===Teorema della completezza di R^''k''===

Uno [[spazio metrico]] si dice [[Spazio metrico completo|completo]] quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in <math>\mathbb{R}^k</math> ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy <math> \{\mathbf{x}_n\} </math> a valori in <math> \mathbb{R}^k </math>, sia come per il teorema precedente:

:<math> E_N \,:= \, \{x_N,x_{N+1},x_{N+2}, \dots \} </math>

Allora è possibile costruire per qualche <math>N</math> un <math>E_N</math> tale che <math> \mbox{diam} \, E_n < 1 </math>. Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un [[insieme finito]], quello dell'insieme <math> \{x_1,...,x_{N-1}\} \,</math>, e dall'altra c'è <math>E_N</math>. Per il [[teorema di Heine-Borel]] un sottoinsieme limitato in <math>\mathbb{R}^k</math> ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di <math> \mathbb{R}^k </math>.

== Numeri razionali e numeri reali ==

Line 117 ⟶ 123:

:<math>x_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>

dove <math>F_n</math> sono i numeri della [[numerisuccessione di Fibonacci]], è di Cauchy e tende a un numero che verifica <math>x^2=x+1</math>, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei [[numero reale|numeri reali]] a partire dai razionali.

== Note ==

Line 123 ⟶ 129:

==Bibliografia==

* {{citaCita libro | cognomecognome1= Reed | nomenome1= Michael |coautoricognome2=Simon|nome2=Barry|wkautore2= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2nd ed.| editore= [[Academic press inc.Press]]<!--|ed = riveduta-->| città= [[San Diego]], [[California]]| anno= 1980|ed=2|idisbn= ISBN 01258505060-12-585050-6|cid =reed|lingua=en }}

*[[ {{cita libro|nome=Walter|cognome=Rudin|wkautore=Walter Rudin]], ''|titolo=Principles of mathematical analysis'', (1953), |editore=McGraw-Hill, Inc.|città=New York|anno=1953|ISBN =88-386-0647-1|lingua=en}}

==Voci correlate==

Line 132 ⟶ 138:

* [[Limite di una successione]]

* [[Sottosuccessione]]

* [[Spazio metrico completo]]

* [[Successione (matematica)|Successione]]

==Altri progetti==

{{Interprogetto|preposizione=sulla|v=Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|Cauchy sequence|Cauchy sequence}}

* {{en}} [https://algebrica.org/cauchy-sequence/ ''Caucy sequence''], su Algebrica.org | A Math Knowledge Base

{{analisi matematica}}

{{Serie (matematica)}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Successioni]]

[[Categoria:Successioni]]

[[ar:متتالية كوشي]]

[[bg:Редица на Коши]]

[[ca:Successió de Cauchy]]

[[cs:Cauchyovská posloupnost]]

[[da:Cauchyfølge]]

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