Successione di Cauchy: differenze tra le versioni

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[[File:Augustin_Cauchy.jpg|miniatura|destra|Augustin-Louis Cauchy]]

In [[matematica]], una '''successione di Cauchy''' o '''successione fondamentale''' è una [[Successione (matematica)|successione]] tale perche, cuicomunque visi sonofissi infinitiuna elementi[[distanza la(matematica)|distanza]] cuiarbitrariamente distanzapiccola reciproca<math>\varepsilon è>0</math>, inferioreda aun unacerto punto in poi tutti gli elementi della successione hanno [[distanza]] datareciproca arbitrariamenteinferiore ad <math>\varepsilon</math> piccola. Ogni successione [[Convergenza|convergente]] è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere [[Augustin -Louis Cauchy]].

==Definizione==

Si definisce successione di Cauchy una [[Successione (matematica)|successione]] <math> \{x_n \}_{n \in \mathbb N}</math> a valori in uno [[spazio metrico]] <math> (X,d) </math> tale che per ogni <math>\varepsilon >0 </math> esiste <math>N(\varepsilon) = N</math> tale che per tutti gli <math>m,n \geq N </math> si verifica:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 5|reed}}.</ref>

:<math>d(x_n, x_m ) <\varepsilon </math>

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio <math>X</math> tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione [[ConvergenzaLimite di una successione|convergente]] in <math>X</math> è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente <math> \{x_n \}_{n \in \mathbb N} \to x</math>. EsistePoiché essa converge, per ogni <math>\varepsilon >0 </math> alloraesiste un indice <math>N</math> tale per cui:

:<math>d(x_n, x ) <\frac {\varepsilon}{2} \qquad \forall n > N</math>

Considerando allora <math>nm</math> e <math>mn</math> maggiori di <math>N</math> si ha di conseguenza:

:<math>d(x_n, x_m ) <\frac {\varepsilon}{2} +\frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'[[Limite di una successione|elemento al quale converge]] appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentalidi Cauchy dello spazio metrico <math>(X,d)</math> hanno un limite in <math>X</math>, allora <math>(X,d)</math> viene chiamato [[spazio metrico completo]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 6|reed}}.</ref>

Dato uno spazio metrico, è sempre possibile [[Spazio_metrico_completo#Completamento_di_uno_spazio_metrico|"estendere" lo spazio in modo da renderlo completo]].

Uno [[spazio normato]] completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece [[spazio di Banach]].

Ogni successione di Cauchy è limitata,; e ogni [[sottosuccessione]] dise una successione di Cauchy che tende a un limite <math>L</math> ogni sua [[sottosuccessione]] tende a <math>L</math>.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico <math>(X,d)</math> hanno un limite in <math>X</math>, allora <math>(X,d)</math> viene chiamato [[spazio completo]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 6|reed}}</ref>

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni [[sottosuccessione]] di una successione di Cauchy che tende a un limite <math>L</math> tende a <math>L</math>.

==Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy==

Line 34 ⟶ 36:

===Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy===

Sia <math>\{x_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>(X,d)</math>. Allora <math>\{x_n\}</math> è [[Funzione limitata|limitata]] in <math>X</math>.

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni <math>\varepsilon >0</math> esiste <math>N(\varepsilon) = N </math> tale che:

Line 46 ⟶ 48:

da cui:

:<math>d(x_n,x_{N_*}) < 1 \qquad \forall n >\geq N_*</math>

Sia:

In più, esiste <math>r > 0 </math> tale per cui:

:<math>r = \max\{d(p_1,p_2)1, d(p_1x_1,p_3x_{N_*}), \dots , d(p_1x_2,p_N),d(p_2,p_3x_{N_*}), \dots ,d(p_2,p_N), \dots ,d(p_x_{NN_* -1},p_Nx_{N_*})\} </math>

Allora:

Dunque:

:<math> d(p_nx_n,p_mx_m) < 1\leq d(x_n,x_{N*})+d(x_m,x_{N*}) \leq r+r=2r \qquad \forall m,n,m </math>

ePerciò la<math>\{ successionex_n \}</math> è limitata.

===Teorema dell'implicazione dalla convergenza===

Line 74 ⟶ 76:

Sia <math>(X,d)</math>, con <math>X</math> [[Spazio compatto|compatto]] e <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy in <math>X</math>. Allora <math>\{p_n\}</math> converge a qualche punto di <math>X</math>.

Infatti, sia, come da enunciato, <math>\{p_n\}</math> una successione di Cauchy. Per ogni <math>N</math> [[numero naturale]], si costruisca <math>E_N</math> nel seguente modo:

:<math>E_N \,:= \, \{p_N,p_{N+1},p_{N+2}, \dots \} </math>

Line 80 ⟶ 82:

:<math> \overline{E}_N \subset X \qquad \forall \, N</math>

dove <math> \overline{E} </math> è la chiusura di <math>E</math> (unione dell'insieme con i suoi [[punto di accumulazione|punti di accumulazione]]). Trattandosi di [[Insieme chiuso|insiemi chiusi]] in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

:<math>\lim_{N \to \infty} \! \mbox{diam } \overline{E}_N = 0 </math>

Line 111 ⟶ 113:

Infatti, presa una successione di Cauchy <math> \{\mathbf{x}_n\} </math> a valori in <math> \mathbb{R}^k </math>, sia come per il teorema precedente:

:<math> E_N \,:= \{, \mathbf{x}_N : x_N,x_{N = +1},x_{N+2}, \dots \} </math>

Allora è possibile costruire per qualche <math>N</math> un <math>E_N</math> tale che <math> \mbox{diam} \, E_n < 1 </math>. Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un [[insieme finito]], quello dell'insieme <math> \{\mathbf{x}_1x_1,...,\mathbfx_{xN-1}_N\} \,</math>, e dall'altra c'è <math>E_N</math>. Per il [[teorema di Heine-Borel]] un sottoinsieme limitato in <math>\mathbb{R}^k</math> ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di <math> \mathbb{R}^k </math>.

== Numeri razionali e numeri reali ==

Line 121 ⟶ 123:

:<math>x_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>

dove <math>F_n</math> sono i numeri della [[numerisuccessione di Fibonacci]], è di Cauchy e tende a un numero che verifica <math>x^2=x+1</math>, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei [[numero reale|numeri reali]] a partire dai razionali.

== Note ==

Line 127 ⟶ 129:

==Bibliografia==

* {{citaCita libro | cognomecognome1= Reed | nomenome1= Michael |coautoricognome2=Simon|nome2=Barry|wkautore2= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2nd ed.| editore= [[Academic press inc.Press]]<!--|ed = riveduta-->| città= [[San Diego]], [[California]]| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed|lingua=en }}

*[[ {{cita libro|nome=Walter|cognome=Rudin|wkautore=Walter Rudin]], ''|titolo=Principles of mathematical analysis'', (1953), |editore=McGraw-Hill, Inc.|città=New York|anno=1953|ISBN =88-386-0647-1|lingua=en}}

==Voci correlate==

Line 136 ⟶ 138:

* [[Limite di una successione]]

* [[Sottosuccessione]]

* [[Spazio metrico completo]]

* [[Successione (matematica)]]

==Altri progetti==

{{Interprogetto|preposizione=sulla|v=Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|Cauchy sequence|Cauchy sequence}}

* {{en}} [https://algebrica.org/cauchy-sequence/ ''Caucy sequence''], su Algebrica.org | A Math Knowledge Base

{{analisi matematica}}

{{Serie (matematica)}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Successioni]]