Teorema spettrale: differenze tra le versioni

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In [[algebra lineare]] e [[analisi funzionale]] il '''teorema spettrale''' si riferisce a una serie di risultati relativi agli [[operatore lineare|operatori lineari]] oppure alle [[matrice (matematica)|matrici]]. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere [[diagonalizzazione|diagonalizzati]], cioè rappresentati da una [[matrice diagonale]] in una [[base (algebra lineare)|base]].

In [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita, il teorema spettrale asserisce che per ogni [[endomorfismo simmetrico]] di uno [[spazio vettoriale reale]] dotato di un [[prodotto scalare]] hasi può trovare una [[base ortonormale]] formata da [[autovettore|autovettori]]. Equivalentemente, ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrici simili|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].

In dimensione infinita esistono diverse formulazioni. Quella che utilizza gli operatori di moltiplicazione stabilisce che ogni operatore di moltiplicazione è un [[operatore autoaggiunto]] (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è [[EquivalenzaOperatore unitarialineare continuo|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione.<ref>{{springerEOM|titolo=Unitarily-equivalent operators|autore= V.I. Sobolev }}</ref>

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata '''decomposizione spettrale''' o '''decomposizione agli autovalori'''.

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==== Caso reale ====

Sia <math>T</math> un [[endomorfismo]] su uno [[spazio vettoriale reale]] <math>V</math> di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'', dotato di un [[prodotto scalare]] [[definito positivo]]. Allora <math>T</math> è [[Operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] [[se e solo se]] esiste una [[base ortonormale]] di <math>V</math> fatta di [[autovettore|autovettori]] per <math>T</math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 245|lang}}.</ref> (In tal caso, <math>T</math> si dice "ortogonalmente diagonalizzabile" ed è in particolare [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]]).

Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, afferma che ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 248|lang}}.</ref>

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:<math> [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad </math>

il cui dominio è lo spazio delle funzioni <math>\psi</math> per le quali il membro di destra della precedente relazione è in <math>L^2</math>. Il teorema stabilisce allora che ogni operatore autoaggiunto è [[EquivalenzaOperatore unitarialineare continuo|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione. In particolare, un [[operatore unitario]] <math>U</math> è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>.

Nel caso generale, che comprende anche operatori non limitati, per ogni operatore autoaggiunto <math>T</math> agente sullo spazio di Hilbert <math>H</math> esiste un operatore unitario che costruisce una mappa [[isometria|isometricamente]] [[isomorfismo|isomorfa]] di <math>H</math> nello spazio <math>L^2(M,\mu)</math>, dove <math>T</math> è rappresentato come un operatore di moltiplicazione.

Riga 118:

:<math>U:H \to L^2(M,d\mu)</math>

ed esiste una funzione <math>f:M \to \R</math> misurabile [[quasi ovunque]] tali che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 261|reed}}.</ref>

* <math>\psi \in D(A)</math> se e solo se:

Riga 147:

:<math>\sum_{j\in A} P_j = \textrm{id}_V </math>

con <math> A </math> [[insieme numerabile]], l'insieme dei proiettori <math> \{P_j\}_{j \in A} </math> è ortogonale e completo. La decomposizione spettrale è un caso particolare della [[decomposizione di Schur]]. È anche un caso particolare della [[decomposizione ai valori singolari]].

===Caso infinito-dimensionale===

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* [[Teoria spettrale]]

* [[Trasformazione lineare]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra lineare}}