Algoritmo di Metropolis-Hastings: differenze tra le versioni

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Riga 47:

## ''positivamente ricorrente'' - il numero atteso di passi per tornare nello stesso stato è finito.

L'algoritmo di Metropolis–Hastings consiste nel progettare un processo di Markov (costruendo le [[probabilità di transizione]]) che soddisfi le due condizioni sopra, in modo che la sua distribuzione stazionaria <math>\pi(x)</math> sia esattamente <math>P(x)</math>. La derivazione dell'algoritmo parte dalla condizione di bilanciamento dettagliato:

:<math>\piP(x)P(x'\mid x)=\piP(x')P(x\mid x')</math>

che può essere riscritta come:

Riga 73:

* Muoversi verso zone di più alta densità di probabilità aumenta la probabilità di accettazione, infatti in tal caso <math>\frac{P(x')}{P(x)} > 1</math>.

* Il termine <math>\frac{g(x \mid x')}{g(x' \mid x)}</math> corregge l'eventuale asimmetraiasimmetria della probabilità di transiozionetransizione, così da rispettare il bilancio dettagliato, infatti, consideriamo il caso in cui <math>P(x)g(x'\mid x) > P(x')g(x\mid x')</math>, cioè è più probabile andare da <math>x</math> in <math>x'</math> piuttosto che da <math>x'</math> in <math>x</math>, allora <math>A(x',x) < 1</math> mentre <math>A(x, x')=1</math> e quindi

::<math>P(x)P(x' \mid x) = P(x)g(x'\mid x)A(x', x) = \underbrace{P(x')g(x\mid x')\underbrace{A(x, x')}_{=1} = P(x')P(x\mid x').</math>

:Quindi <math>P(x)</math> è effettivamente la distribuzione limitre della catena di Markov.

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## calcoliamo la probabilità di accettazione <math>A(x', x_t)</math>.

# Accettazione o rifiuto

## generiamo un [[numero casuale]] uniforme <math>u \in [0, 1]</math>;

## se <math>u \le A(x' , x_t)</math>, allora accettiamo il candidato e assegnamo: <math>x_{t+1} = x'</math>;

## se <math>u > A(x' , x_t)</math>, allora rifiutiamo il candidato e assegnamo: <math>x_{t+1} = x_t</math>.