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{{nota disambigua}}

Il '''flusso''' di un [[campo vettoriale]] attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] orientata, in [[matematica]] e [[fisica]], è l'[[integrale di superficie]] del [[prodotto scalare]] deltra il campo convettoriale e il [[versore]] normale dellaalla superficie, esteso su tutta la superficie stessa.

Una qualsiasi superficie ''S'' nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo ada ogni elemento di superficie infinitesimo <math>\mbox{d}S</math> un versore <math>\hat{\mathbf n}</math> ada esso perpendicolare, secondo la [[regola della mano destra|convenzione della mano destra]]; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata:

:<math>\mbox{d}\mathbf{S}=\hat{\mathbf n} \mbox{d}S.</math>

Il termine ''"flusso''" deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata|portata volumetrica]], tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]].

== Definizione ==

[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione]]

Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un [[Dominio e codominio#Topologia|dominio connesso]], <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> campo vettoriale di giacitura tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare data dall'[[integrale di superficie]]

:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf S.</math>

[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione.]]

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\mathrm d\Phi</math> è nullo se in quel punto il campo e la normale alla superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un dominio connesso, <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> un campo vettoriale tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare

:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \operatorname d \mathbf S</math>,

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\operatorname d F</math>è nullo se in quel punto il campo e la superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

== Grandezze correlate ==

=== Densità di flusso ===

In [[fisica]], la '''densità di flusso''', o '''densità di unacorrente''', dataè una [[grandezza fisicavettoriale]], è usata in presenza dio [[fenomeni di trasportoTensore|tensoriale]], e rappresentarappresentante la quantità delladi una certa [[grandezza fisica|grandezza]] che attraversa nell'unità di tempo una data superficie. Essaed vieneè definitausata comeper ladescrivere i [[portata]]fenomeni di unatrasporto]] datache grandezza,coinvolgono perla esempiosuddetta il [[calore]]<ref>{{en}} [http://goldbookquantità.iupac.org/H02755.html IUPACEssa Goldviene Book,definita "heat flux"]</ref> ocome la [[Massa (fisica)|massaportata]], diviso l'area della superficie perpendicolare alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezzasuddetta quantità.<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

SiGli possonoesempi incontraredi grandezzedensità di questoflusso tiposono molteplici, di [[trasportoseguito dine materia]],vengono perriportati ilalcuni qualecon le densitàrispettive [[unità di flusso possono essere espressemisura]] nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionaleinternazionale]] dalle seguenti [[unità di misura]] :

{| class="wikitable" style="text-align:center;"

!Densità di flusso

* densità di flusso di massa: <math>[kg \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}]</math>

!Simbolo

* densità di flusso di quantità di materia: <math>[mol \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}]</math>

!Unità di misura

!Grandezza trasportata

Il concetto di densità di flusso molare viene utilizzato ad esempio dalle [[Leggi di Fick]] sulla [[diffusione di materia]].

!Simbolo

!Unità di misura

|-

|style="text-align:left;"|[[Velocità]]

|<math>\mathbf v</math>

|<math>[\mathrm{m \cdot s^{-1}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Volume]]

|<math>V</math>

|<math>[\mathrm{m^3}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Legge di Newton (fluidodinamica)|Sforzo]]

|<math>\underline\underline\boldsymbol\tau</math>

|<math>[\mathrm{Pa}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Quantità di moto]]

|<math>\mathbf p</math>

|<math>[\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Legge di Fourier|Densità di corrente termica]]<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref>

|<math>\mathbf q</math>

|<math>[\mathrm{W \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Calore]]

|<math>Q</math>

|<math>[\mathrm{J}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di massa]]

|<math>\mathbf J_m</math>

|<math>[\mathrm{kg \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Massa (fisica)|Massa]]

|<math>m</math>

|<math>[\mathrm{kg}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di quantità di materia]]

|<math>\mathbf J_n</math>

|<math>[\mathrm{mol \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Quantità di materia]]

|<math>n</math>

|<math>[\mathrm{mol}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Densità di corrente elettrica]]

|<math>\mathbf J_e</math>

|<math>[\mathrm{A \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Carica elettrica]]

|<math>q</math>

|<math>[\mathrm{C}]</math>

|}

=== Fluenza ===

Si definisce '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodointervallo di tempo:

:<math>\vec boldsymbol\Phi_t=\int_t \mathbf F\, \operatornamemathrm d tdt.</math>,

== Applicazioni ==

Spesso gli integrali di flusso trovano impiego in molti importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso ne permettono il calcolo senza doverlo svolgere esplicitamente.

Alcune [[Grandezza vettoriale|grandezze vettoriali]] delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] e il [[campo elettrico]]. Il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura.

Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

=== Trasporto di quantità di moto ===

Alcune [[Grandezza vettoriale|grandezze vettoriali]] delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] ed il [[campo elettrico]]. Il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura.

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]]. Prendiamo una superficie infinitesima <math>\mathrm dS</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>\mathrm dV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>\mathrm dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>\mathrm dV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\mathrm d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v\, \mathrm dt</math> come altezza, cioè

:<math>\mathrm dV = \mathrm d \mathbf S \cdot \mathbf v\, \mathrm dt</math>

=== Trasporto di materia ===

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]]. Prendiamo una superficie infinitesima <math>d S</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>dV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>dV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\operatorname d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v dt</math> come altezza, cioè

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>\mathrm dS</math> è nullo, come è logico aspettarsi.

:<math>\operatorname dV = \operatorname d \mathbf S \cdot \mathbf v \mbox{d}t</math>

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>d S</math> è nullo, come è logico aspettarsi.

In idrodinamica il flusso della velocità del fluido prende il nome di [[Portata|portata volumetrica]], che rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo, inoltre la corrispondente densità di flusso volumetrico coincide con la velocità stessa.

Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>\mathrm dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:

:<math>\dot V = \int_S \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S.</math>

=== Elettrodinamica ===

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, si avrà che l'intensità della corrente elettrica sarà esattamente uguale al flusso della densità di corrente:

:<math>i=\int_A \mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, la ''carica'' che attraversa la superficie infinitesima in <math>dt</math>, su unità di tempo, sarà

\int_A \rho_e \mathbf u_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

\rho_e \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}</math>

dove <math>\mathbf J_e</math> è la [[densità di corrente elettrica]] e <math>\mathbf u_e</math> [[velocità di deriva]] delle cariche.

:<math>\rho_e \frac{\operatorname dV}{\operatorname dt}</math>

cioè <math>\mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S</math>, dove <math>\mathbf J_e = \rho_e \mathbf v</math> è la [[densità di corrente]] elettrica.

Un altro importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

: <math> P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s,</math>,

la cui [[trasformata di Fourier]] è la [[potenza complessa]].

: <math> P(\omega)=\int_S \mathbf E(\omega) \times \mathbf H^*(\omega) \cdot \operatorname d \mathbf s.</math>,

=== Termodinamica ===

Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]], ricavata a partire dalla [[legge di Fourier]]:

:<math>\dot Q = - \int_S \mathbf{q} \cdot \mathrm d\mathbf S = - \int_S (\mathbf{k}_{ij}\, \mathbf \nabla T) \cdot \mathrm d\mathbf S,</math>

Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]]: in base alla [[legge di Fourier]]:

dove <math>\mathbf{q}</math> rappresenta la densità di [[corrente termica]], <math>\mathbf{k}_{ij}</math> il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.

: <math>\dot Q= - \int_S \mathbf{k_{\mu\nu}} \cdot \mathbf \nabla T \cdot \operatorname d \mathbf s</math>

dove <math>\mathbf{k_{\mu\nu}}</math> rappresenta il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.

=== Astronomia ===

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta <math>P </math> alla [[luminosità apparente]] <math>I </math>. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \mathrm dS = 4 \pi r^2 I.</math>

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta ''P'' alla [[luminosità apparente]] ''I''.

La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \operatorname dS = 4 \pi r^2 I </math>

[[File:flusso1.png|upright=1.3|thumb|Irradianza di [[fotoni]] da una sorgente stellare]]

laLa luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì ede in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza ''<math>d''</math>, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac {1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di [[NASA]] Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di Radiazione[[radiazione Solaresolare]]) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:

:<math>I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2},</math>

quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[Yottayotta]][[watt]]Watt:

:<math>P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW.</math>

In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'[[Eccentricità orbitale|eccentricità]] dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa <math>\pm 3,3\%</math>. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'[[attività solare]], quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.

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==Bibliografia==

* {{Cita libro | titolo=An Etymological Dictionary of Modern English | url=https://archive.org/details/etymologicaldict00week | nome=Ernest | cognome=Weekley | editore=Courier Dover Publications | anno=1967 | pagine=581 | postscript=<!--None--> | isbn=0-486-21873-2 | lingua=en }}

* {{Cita libro | nome=R. Byron | cognome=Bird |coautori=Stewart, Warren E., and Lightfoot, Edwin N.| anno=1960 | titolo=Transport Phenomena | url=https://archive.org/details/transportphenome0000bird | editore=Wiley | isbn=0-471-07392-X | lingua=en }}

* {{Cita libro|titolo=Essential Principles of Physics|url=https://archive.org/details/essentialprincip0000patr|autore=P.M. Whelan, M.J. Hodgeson|edizione=2nd|anno=1978|editore=John Murray|isbn=0-7195-3382-1|lingua=en}}

* {{Cita libro | cognome=Carslaw | nome=H.S. | coautori=and Jaeger, J.C. | titolo=Conduction of Heat in Solids | url=https://archive.org/details/conductionofheat0000hsca | edizione=Second | anno=1959 | editore=Oxford University Press | isbn=0-19-853303-9 | lingua=en }}

* {{Cita libro | cognome=Welty | coautori=Wicks, Wilson and Rorrer | anno=2001 | titolo=Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer | url=https://archive.org/details/fundamentalsofmo0000unse_k6w1 | edizione=4th | editore=Wiley | isbn=0-471-38149-7 | lingua=en }}

* {{Cita libro | cognome=Maxwell | nome=James Clerk| anno=1892 | titolo=Treatise on Electricity and Magnetism | isbn=0-486-60636-8| lingua=en}}

* {{Cita libro|titolo=Quantum Mechanics Demystified|url=https://archive.org/details/isbn_9780071471411|autore=D. McMahon|serie=Demystified|editore=Mc Graw Hill|anno=2006|isbn=0-07-145546-9|lingua=en}}

* {{Cita libro | autore=Sakurai, J. J. | titolo=Advanced Quantum Mechanics | editore=Addison Wesley | anno=1967 | isbn=0-201-06710-2 | lingua=en }}

== Voci correlate ==

* [[IntegraleCorrente materiale]]

*[[Fenomeni di trasporto]]

* [[Superficie (matematica)]]

*[[Integrale]]

*[[Superficie (matematica)|Superficie]]

* [[Teorema del flusso]]

* [[Teorema della divergenza]]

* [[Teorema del rotore]]

* [[Corrente materiale]]

== Altri progetti ==