Flusso: differenze tra le versioni

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Una qualsiasi superficie ''S'' nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo a ogni elemento di superficie infinitesimo <math>\mbox{d}S</math> un versore <math>\hat{\mathbf n}</math> a esso perpendicolare, secondo la [[regola della mano destra|convenzione della mano destra]]; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata:

:<math>\mbox{d}\mathbf{S}=\hat{\mathbf n} \mbox{d}S.</math>

Il termine ''"flusso''" deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata|portata volumetrica]], tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]].

== Definizione ==

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Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un [[Dominio e codominio#Topologia|dominio connesso]], <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> campo vettoriale di giacitura tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare data dall'[[integrale di superficie]]

:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf S.</math>

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\mathrm d\Phi</math> è nullo se in quel punto il campo e la normale alla superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

== Grandezze correlate ==

=== Densità di flusso ===

In [[fisica]], la '''densità di flusso''', o '''densità di corrente''', è una [[grandezza vettoriale]], o [[Tensore|tensoriale]], rappresentante la quantità di una certa [[grandezza fisica|grandezza]] che attraversa nell'unità di tempo una data superficie ed è usata per descrivere i [[fenomeni di trasporto]] che coinvolgono la suddetta quantità. Essa viene definita come la [[portata]] diviso l'area della superficie perpendicolare alla direzione in cui avviene il trasporto della suddetta quantità.<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

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Si definisce '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un intervallo di tempo:

:<math>\boldsymbol\Phi_t=\int_t \mathbf F\, \mathrm dt.</math>

== Applicazioni ==

Spesso gli integrali di flusso trovano impiego in molti importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso ne permettono il calcolo senza doverlo svolgere esplicitamente.

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Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>\mathrm dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:

:<math>\dot V = \int_S \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S.</math>

=== Elettrodinamica ===

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, si avrà che l'intensità della corrente elettrica sarà esattamente pariuguale al flusso della densità di corrente:

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, si avrà che l'intensità della corrente elettrica sarà esattamente pari al flusso della densità di corrente:

:<math>i=\int_A \mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

\int_A \rho_e \mathbf v_du_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

\rho_e \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}</math>

dove <math>\mathbf J_e</math> è la [[densità di corrente elettrica]] e <math>\mathbf v_du_e</math> [[velocità di deriva]] delle cariche.

Un altro importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

: <math> P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s,</math>,

la cui [[trasformata di Fourier]] è la [[potenza complessa]].

: <math> P(\omega)=\int_S \mathbf E(\omega) \times \mathbf H^*(\omega) \cdot \operatorname d \mathbf s.</math>,

=== Termodinamica ===

Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]], ricavata a partire dalla [[legge di Fourier]]:

:<math>\dot Q = - \int_S \mathbf{q} \cdot \mathrm d\mathbf S = - \int_S (\mathbf{k}_{ij}\, \mathbf \nabla T) \cdot \mathrm d\mathbf S,</math>

dove <math>\mathbf{q}</math> rappresenta la densità di [[corrente termica]], <math>\mathbf{k}_{ij}</math> il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.

=== Astronomia ===

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta <math>P </math> alla [[luminosità apparente]] <math>I </math>. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \mathrm dS = 4 \pi r^2 I .</math>

laLa luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì e in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza <math>d </math>, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac {1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di [[NASA]] Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di [[radiazione solare]]) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:

:<math>I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2},</math>

quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[yotta]][[watt]]:

:<math>P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW.</math>

In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'[[Eccentricità orbitale|eccentricità]] dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa <math>\pm 3,3\%</math>. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'[[attività solare]], quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.