Flusso: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua}}
Il '''flusso''' di un [[campo vettoriale]] attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] orientata, in [[matematica]] e [[fisica]], è l'[[integrale di superficie]] del [[prodotto scalare]] tra il campo vettoriale e il [[versore]] normale alla superficie, esteso su tutta la superficie stessa.
Una qualsiasi superficie ''S'' nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo
:
Il termine "flusso" deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata|portata volumetrica]], tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]].
==
[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione]]
Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un [[Dominio e codominio#Topologia|dominio connesso]], <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> campo vettoriale di giacitura tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare data dall'[[integrale di superficie]]
:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf S.</math>
Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\mathrm d\Phi</math> è nullo se in quel punto il campo e la normale alla superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.
== Grandezze correlate ==
=== Densità di flusso ===
In [[fisica]], la '''densità di flusso''', o '''densità di corrente''', è una [[grandezza vettoriale]], o [[Tensore|tensoriale]], rappresentante la quantità di una certa [[grandezza fisica|grandezza]] che attraversa nell'unità di tempo una data superficie ed è usata per descrivere i [[fenomeni di trasporto]] che coinvolgono la suddetta quantità. Essa viene definita come la [[portata]] diviso l'area della superficie perpendicolare alla direzione in cui avviene il trasporto della suddetta quantità.<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>
Gli esempi di densità di flusso sono molteplici, di seguito ne vengono riportati alcuni con le rispettive [[unità di misura]] nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Densità di flusso
!Simbolo
!Unità di misura
!Grandezza trasportata
!Simbolo
!Unità di misura
|-
|style="text-align:left;"|[[Velocità]]
|<math>\mathbf v</math>
|<math>[\mathrm{m \cdot s^{-1}}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Volume]]
|<math>V</math>
|<math>[\mathrm{m^3}]</math>
|-
|style="text-align:left;"|[[Legge di Newton (fluidodinamica)|Sforzo]]
|<math>\underline\underline\boldsymbol\tau</math>
|<math>[\mathrm{Pa}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Quantità di moto]]
|<math>\mathbf p</math>
|<math>[\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}]</math>
|-
|style="text-align:left;"|[[Legge di Fourier|Densità di corrente termica]]<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref>
|<math>\mathbf q</math>
|<math>[\mathrm{W \cdot m^{-2}}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Calore]]
|<math>Q</math>
|<math>[\mathrm{J}]</math>
|-
|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di massa]]
|<math>\mathbf J_m</math>
|<math>[\mathrm{kg \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Massa (fisica)|Massa]]
|<math>m</math>
|<math>[\mathrm{kg}]</math>
|-
|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di quantità di materia]]
|<math>\mathbf J_n</math>
|<math>[\mathrm{mol \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Quantità di materia]]
|<math>n</math>
|<math>[\mathrm{mol}]</math>
|-
|style="text-align:left;"|[[Densità di corrente elettrica]]
|<math>\mathbf J_e</math>
|<math>[\mathrm{A \cdot m^{-2}}]</math>
|style="text-align:left;"|[[Carica elettrica]]
|<math>q</math>
|<math>[\mathrm{C}]</math>
|}
=== Fluenza ===
Si definisce '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un intervallo di tempo:
:<math>\boldsymbol\Phi_t=\int_t \mathbf F\, \mathrm dt.</math>
== Applicazioni ==
Spesso gli integrali di flusso trovano impiego in molti importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso ne permettono il calcolo senza doverlo svolgere esplicitamente.
Alcune [[Grandezza vettoriale|grandezze vettoriali]] delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] e il [[campo elettrico]]. Il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura.
=== Trasporto di quantità di moto ===
Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]]. Prendiamo una superficie infinitesima <math>\mathrm dS</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>\mathrm dV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>\mathrm dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>\mathrm dV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\mathrm d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v\, \mathrm dt</math> come altezza, cioè
:<math>\mathrm dV = \mathrm d \mathbf S \cdot \mathbf v\, \mathrm dt</math>
esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>\mathrm dS</math> è nullo, come è logico aspettarsi.
In idrodinamica il flusso della velocità del fluido prende il nome di [[Portata|portata volumetrica]], che rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo, inoltre la corrispondente densità di flusso volumetrico coincide con la velocità stessa.
Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>\mathrm dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:
:<math>\dot V = \int_S \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S.</math>
=== Elettrodinamica ===
Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, si avrà che l'intensità della corrente elettrica sarà esattamente uguale al flusso della densità di corrente:
:<math>i=\int_A \mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S =
\int_A \rho_e \mathbf u_e \cdot \operatorname d \mathbf S =
\rho_e \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}</math>
dove <math>\mathbf J_e</math> è la [[densità di corrente elettrica]] e <math>\mathbf u_e</math> [[velocità di deriva]] delle cariche.
Un altro importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:
:<math>P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s,</math>
la cui [[trasformata di Fourier]] è la [[potenza complessa]].
:
===
Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]], ricavata a partire dalla [[legge di Fourier]]:
:<math>\dot Q = - \int_S \mathbf{q} \cdot \mathrm d\mathbf S = - \int_S (\mathbf{k}_{ij}\, \mathbf \nabla T) \cdot \mathrm d\mathbf S,</math>
dove <math>\mathbf{q}</math> rappresenta la densità di [[corrente termica]], <math>\mathbf{k}_{ij}</math> il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.
=== Astronomia ===
Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta <math>P </math> alla [[luminosità apparente]] <math>I </math>. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:
:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \mathrm dS = 4 \pi r^2 I.</math>
La luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì e in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza <math>d</math>, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.
Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di [[NASA]] Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di [[radiazione solare]]) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:
:<math>I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2},</math>
quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[yotta]][[watt]]:
:<math>P = 4\pi d^2 I(
In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'[[Eccentricità orbitale|eccentricità]] dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa <math>\pm 3,3\%</math>. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'[[attività solare]], quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.
==Note==
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==Bibliografia==
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== Voci correlate ==
*
*[[Fenomeni di trasporto]]
*[[Integrale]]
*[[Superficie (matematica)|Superficie]]
* [[Teorema del flusso]]
* [[Teorema della divergenza]]
* [[Teorema del rotore]]
== Altri progetti ==
{{Interprogetto|etichetta=flusso|wikt}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|fisica|matematica}}
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