Flusso: differenze tra le versioni

Versione delle 01:55, 14 nov 2014

Versione attuale delle 17:43, 6 mag 2025

(42 versioni intermedie di 23 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{nota disambigua}}

In [[matematica]], il '''flusso''' di un [[campo vettoriale]] attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] orientata è definito come l'[[integrale di superficie]] del [[prodotto scalare]] del campo con il [[versore]] normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa.

Il '''flusso''' di un [[campo vettoriale]] attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] orientata, in [[matematica]] e [[fisica]], è l'[[integrale di superficie]] del [[prodotto scalare]] tra il campo vettoriale e il [[versore]] normale alla superficie, esteso su tutta la superficie stessa.

Una qualsiasi superficie ''S'' nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo ada ogni elemento di superficie infinitesimo <math>\mbox{d''}S''</math> un versore <math>\hat{\mathbf n}</math> ada esso perpendicolare, secondo la [[regola della mano destra|convenzione della mano destra]]; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata:

: <math>\mathbf{\mbox{d}\mathbf{S}=\hat{\mathbf n} \mbox{d}S.</math>

Il termine "flusso" deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata|portata volumetrica]], tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]].

In [[fisica]] il '''flusso '''di una data [[grandezza fisica]] è usato in presenza di [[fenomeni di trasporto]] (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il [[calore]]<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref> o la [[Massa (fisica)|massa]]) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata.<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

== DefinizioniDefinizione ==

[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione]]

Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un [[Dominio e codominio#Topologia|dominio connesso]], <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> campo vettoriale di giacitura tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare data dall'[[integrale di superficie]]

:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf S.</math>

[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione.]]

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\mathrm d\Phi</math> è nullo se in quel punto il campo e la normale alla superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

In [[algebra lineare]] quando un ''campo scalare'' <math>\Phi_S</math> e un ''campo vettoriale'' (non necessariamente tridimensionale) '''<math>\vec \phi (\vec r, t) </math>''' stanno fra loro nella relazione:

== Grandezze correlate ==

:<math>\Phi_S=\int_S \vec \phi \cdot \operatorname d \vec s</math>,

=== Densità di flusso ===

In [[fisica]], la '''densità di flusso''', o '''densità di corrente''', è una [[grandezza vettoriale]], o [[Tensore|tensoriale]], rappresentante la quantità di una certa [[grandezza fisica|grandezza]] che attraversa nell'unità di tempo una data superficie ed è usata per descrivere i [[fenomeni di trasporto]] che coinvolgono la suddetta quantità. Essa viene definita come la [[portata]] diviso l'area della superficie perpendicolare alla direzione in cui avviene il trasporto della suddetta quantità.<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

Gli esempi di densità di flusso sono molteplici, di seguito ne vengono riportati alcuni con le rispettive [[unità di misura]] nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]:

con S una qualsiasi [[ipersuperficie|superficie nello spazio di riferimento]]; <math>\Phi_S</math> viene definito ''flusso'' di '''<math>\vec \phi</math>''', e viceversa '''<math>\vec \phi</math>''' viene definito '''campo''' di <math>\Phi_S</math>:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"

!Densità di flusso

!Simbolo

!Unità di misura

!Grandezza trasportata

!Simbolo

!Unità di misura

|-

|style="text-align:left;"|[[Velocità]]

|<math>\mathbf v</math>

|<math>[\mathrm{m \cdot s^{-1}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Volume]]

|<math>V</math>

|<math>[\mathrm{m^3}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Legge di Newton (fluidodinamica)|Sforzo]]

|<math>\underline\underline\boldsymbol\tau</math>

|<math>[\mathrm{Pa}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Quantità di moto]]

|<math>\mathbf p</math>

|<math>[\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Legge di Fourier|Densità di corrente termica]]<ref>{{en}}[http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref>

|<math>\mathbf q</math>

|<math>[\mathrm{W \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Calore]]

|<math>Q</math>

|<math>[\mathrm{J}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di massa]]

|<math>\mathbf J_m</math>

|<math>[\mathrm{kg \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Massa (fisica)|Massa]]

|<math>m</math>

|<math>[\mathrm{kg}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Leggi di Fick|Densità di flusso di quantità di materia]]

|<math>\mathbf J_n</math>

|<math>[\mathrm{mol \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Quantità di materia]]

|<math>n</math>

|<math>[\mathrm{mol}]</math>

|-

|style="text-align:left;"|[[Densità di corrente elettrica]]

|<math>\mathbf J_e</math>

|<math>[\mathrm{A \cdot m^{-2}}]</math>

|style="text-align:left;"|[[Carica elettrica]]

|<math>q</math>

|<math>[\mathrm{C}]</math>

|}

=== Fluenza ===

:<math>\vec \phi = \frac {\partial \Phi_S}{\partial \vec S}</math>,

Si definisce '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un intervallo di tempo:

:<math>\boldsymbol\Phi_t=\int_t \mathbf F\, \mathrm dt.</math>

Esplicitando il [[prodotto scalare]] appare chiaro che il flusso elementare dΦ è nullo se il campo '''φ''' in quel punto e la superficie elementare <math>\operatorname d \mathbf S</math> sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

Si definisce invece ''fluenza'' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodo di tempo:

:<math>\vec \Phi_T=\int_T \vec \phi \operatorname d t</math>,

== Applicazioni ==

Spesso gli integrali di flusso trovano impiego in molti importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso ne permettono il calcolo senza doverlo svolgere esplicitamente.

Alcune [[Grandezza vettoriale|grandezze vettoriali]] delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] e il [[campo elettrico]]. Il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura.

Il termine ''flusso'' deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata]]; tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[materia]]. Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

=== Trasporto di quantità di moto ===

Alcune [[Grandezza fisica|grandezze fisiche]] (necessariamente [[grandezza vettoriale|vettoriali]]) delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] ed il [[campo elettrico]]: il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura. Nel caso del [[campo magnetico]] il flusso attraverso una superficie chiusa è identicamente nullo (si dice che il campo magnetico è [[campo vettoriale solenoidale|solenoidale]]).

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]]. Prendiamo una superficie infinitesima <math>\mathrm dS</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>\mathrm dV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>\mathrm dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>\mathrm dV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\mathrm d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v\, \mathrm dt</math> come altezza, cioè

:<math>\mathrm dV = \mathrm d \mathbf S \cdot \mathbf v\, \mathrm dt</math>

=== Trasporto di materia ===

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>\mathrm dS</math> è nullo, come è logico aspettarsi.

Nel caso di [[trasporto di materia]], il flusso può essere espresso dalle seguenti [[unità di misura]] nel [[Sistema internazionale delle unità di misura]]:

* flusso in massa: kg/m²·s

* flusso in moli: mol/m²·s

In idrodinamica il flusso della velocità del fluido prende il nome di [[Portata|portata volumetrica]], che rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo, inoltre la corrispondente densità di flusso volumetrico coincide con la velocità stessa.

Il concetto di flusso molare viene utilizzato ad esempio dalle [[Leggi di Fick]] sulla [[diffusione di materia]].

Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>\mathrm dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:

=== Trasporto di carica ===

:<math>\dot V = \int_S \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S.</math>

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]] (ad esempio, liquidi e gas). Prendiamo una superficie infinitesima <math>d S</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>dv</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat n</math>, nel tempo <math>dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>dv</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\operatorname d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v dt</math> come altezza, cioè

=== Elettrodinamica ===

: <math>\operatorname dv = \operatorname d \mathbf S \cdot \mathbf v \mbox{d}t</math>

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, si avrà che l'intensità della corrente elettrica sarà esattamente uguale al flusso della densità di corrente:

:<math>i=\int_A \mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat n</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>d S</math> è nullo, come è logico aspettarsi. Se si assegna al fluido, ad esempio, una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math>, la ''carica'' che attraversa la superficie infinitesima in <math>dt</math>, su unità di tempo, sarà

\int_A \rho_e \mathbf u_e \cdot \operatorname d \mathbf S =

\rho_e \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}</math>

dove <math>\mathbf J_e</math> è la [[densità di corrente elettrica]] e <math>\mathbf u_e</math> [[velocità di deriva]] delle cariche.

: <math>\rho_e \frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}</math>

Un altro importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

cioè <math>\mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S</math>, dove <math>\mathbf J_e = \rho_e \mathbf v</math> è la [[densità di corrente]] elettrica.

:<math>P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s,</math>

Un discorso simile vale per la massa, o per altre grandezze simili; in idrodinamica addirittura la densità di corrente, riferendosi al volume fisico di liquido che scorre attraverso una data sezione, coincide con la velocità e prende il nome di [[portata]] volumetrica (rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo). La quantità di carica, di massa etc. che attraversa una qualunque superficie finita nel tempo <math>dt</math> (sempre su unità di tempo), si ottiene sommando i singoli contributi, cioè facendo il flusso della densità di corrente su quella superficie: ad esempio, sempre in fluidodinamica, la portata di massa, cioè la massa di fluido che transita attraverso la ''S'' superficie nell'unità di tempo, è data da:

: <math>I_m = \int_S \rho \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S</math>

dove &rho; rappresenta la [[densità]] del fluido. Si nota che se quest'ultima è in ogni punto costante nel tempo, per la [[legge della conservazione della massa (fisica)|legge di conservazione della massa]] la portata attraverso una qualunque sezione del tubo è costante: ciò implica che il flusso di <math>\rho \mathbf v</math> attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo.

=== Elettrodinamica ===

Un importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

: <math> P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s</math>,

la cui [[trasformata di Fourier]] è la [[potenza complessa]].

: <math> P(\omega)=\int_S \mathbf E(\omega) \times \mathbf H^*(\omega) \cdot \operatorname d \mathbf s.</math>,

=== Termodinamica ===

Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]], ricavata a partire dalla [[legge di Fourier]]:

:<math>\dot Q = - \int_S \mathbf{q} \cdot \mathrm d\mathbf S = - \int_S (\mathbf{k}_{ij}\, \mathbf \nabla T) \cdot \mathrm d\mathbf S,</math>

Un altro importante esempio di flusso è la [[corrente termica]] di [[conduzione termica|conduzione]]: in base alla [[legge di Fourier]]:

dove <math>\mathbf{q}</math> rappresenta la densità di [[corrente termica]], <math>\mathbf{k}_{ij}</math> il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.

: <math>\dot Q= - \int_S \mathbf{k_{\mu\nu}} \cdot \mathbf \nabla T \cdot \operatorname d \mathbf s</math>

dove <math>\mathbf{k_{\mu\nu}}</math> rappresenta il [[tensore]] [[conducibilità termica]] e <math>\mathbf \nabla T</math> è il [[gradiente]] della [[temperatura]] in funzione della posizione.

=== Astronomia ===

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta <math>P </math> alla [[luminosità apparente]] <math>I </math>. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \mathrm dS = 4 \pi r^2 I.</math>

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta ''P'' alla [[luminosità apparente]] ''I''.

La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

La luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì e in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza <math>d</math>, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \operatorname dS = 4 \pi r^2 I </math>

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di [[NASA]] Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di [[radiazione solare]]) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:

[[File:flusso1.png|upright=1.3|thumb|Irradianza di [[fotoni]] da una sorgente stellare]]

:<math>I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2},</math>

la luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì ed in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza ''d'', come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac {1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.

quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[yotta]][[watt]]:

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di NASA Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di Radiazione Solare) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:

:<math>P = 4\pi d^2 I(149d) = 4 \pi \left( 1,6496 Gm\cdot 10^{11} \right)=^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,5\1 \mathrm{W/m^2}YW.</math>

In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'[[Eccentricità orbitale|eccentricità]] dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa <math>\pm 3,3\%</math>. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'[[attività solare]], quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.

quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[Yotta]]Watt:

:<math>P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW</math>

In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'[[eccentricità]] dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa <math>\pm 3,3\%</math>. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'[[attività solare]], quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.

==Note==

Riga 100 ⟶ 140:

==Bibliografia==

* {{Cita libro | titolo=An Etymological Dictionary of Modern English | url=https://archive.org/details/etymologicaldict00week | nome=Ernest | cognome=Weekley | editore=Courier Dover Publications | anno=1967 | pagine=581 | postscript=<!--None--> | isbn=0-486-21873-2 | lingua=en }}

* {{Cita libro | nome=R. Byron | cognome=Bird |coautori=Stewart, Warren E., and Lightfoot, Edwin N.| anno=1960 | titolo=Transport Phenomena | url=https://archive.org/details/transportphenome0000bird | editore=Wiley | isbn=0-471-07392-X | lingua=en }}

* {{Cita libro|titolo=Essential Principles of Physics|url=https://archive.org/details/essentialprincip0000patr|autore=P.M. Whelan, M.J. Hodgeson|edizione=2nd|anno=1978|editore=John Murray|isbn=0-7195-3382-1|lingua=en}}

* {{Cita libro | cognome=Carslaw | nome=H.S. | coautori=and Jaeger, J.C. | titolo=Conduction of Heat in Solids | url=https://archive.org/details/conductionofheat0000hsca | edizione=Second | anno=1959 | editore=Oxford University Press | isbn=0-19-853303-9 | lingua=en }}

* {{Cita libro | cognome=Welty | coautori=Wicks, Wilson and Rorrer | anno=2001 | titolo=Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer | url=https://archive.org/details/fundamentalsofmo0000unse_k6w1 | edizione=4th | editore=Wiley | isbn=0-471-38149-7 | lingua=en }}

* {{Cita libro | cognome=Maxwell | nome=James Clerk| anno=1892 | titolo=Treatise on Electricity and Magnetism | isbn=0-486-60636-8| lingua=en}}

* {{Cita libro|titolo=Quantum Mechanics Demystified|url=https://archive.org/details/isbn_9780071471411|autore=D. McMahon|serie=Demystified|editore=Mc Graw Hill|anno=2006|isbn=0-07-145546-9|lingua=en}}

* {{Cita libro | autore=Sakurai, J. J. | titolo=Advanced Quantum Mechanics | editore=Addison Wesley | anno=1967 | isbn=0-201-06710-2 | lingua=en }}

== Voci correlate ==

* [[IntegraleCorrente materiale]]

*[[Fenomeni di trasporto]]

* [[Superficie (matematica)]]

*[[Integrale]]

*[[Superficie (matematica)|Superficie]]

* [[Teorema del flusso]]

* [[Teorema della divergenza]]

* [[Teorema del rotore]]

* [[Corrente materiale]]

== Altri progetti ==

{{Interprogetto|etichetta=flusso|wikt}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|fisica|matematica}}