Velocità: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua|il film del 2002 diretto da Daniele Vicari|Velocità massima (film)|[[Velocità massima]]}}
[[File:US Navy 040501-N-1336S-037 The U.S. Navy sponsored Chevy Monte Carlo NASCAR leads a pack into turn four at California Speedway.jpg|alt=|miniatura|In fisica, la velocità è un vettore che descrive la rapidità, la direzione ed il verso; pertanto la velocità delle automobili che percorrono una curva cambia ad ogni istante a causa del cambiamento di direzione, anche se la rapidità rimane costante]]
In [[fisica]], in primo [[luogo]] in [[cinematica]], la '''velocità''' (dal [[lingua latina|latino]] ''vēlōcitās'', a sua volta derivato da ''vēlōx'', cioè ''veloce''<ref>{{Cita libro |url = http://www.treccani.it/enciclopedia/velocita_(Dizionario-delle-Scienze-Fisiche)/ |voce = velocità |titolo = Dizionario delle Scienze Fisiche |città = Roma |editore = Istituto dell'Enciclopedia Italiana |anno = 1996 |accesso = 2 marzo 2016}}</ref>) è una [[grandezza vettoriale]] definita come la variazione della posizione di un corpo in funzione del [[tempo]], ossia, in termini matematici, come la [[derivata]] del [[vettore (matematica)|vettore]] [[posizione]] rispetto al tempo.<ref>{{Cita web |lingua = en |url = http://goldbook.iupac.org/V06607.html |editore = IUPAC Gold Book |voce = "velocity" |accesso = 26 marzo 2016}}</ref> Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionale]] la velocità si misura in m·s<sup>-1</sup> ([[metri al secondo]]).
Quando non specificato, per "velocità" si intende la ''velocità traslazionale'', sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una [[Traslazione (geometria)|traslazione]] nello spazio. Il termine, "velocità", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una [[Coordinate generalizzate|coordinata spaziale]] in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del [[Moto (fisica)|moto]] [[Rotazione (matematica)|rotatorio]], per definire la ''velocità di rotazione'' si usano la [[velocità angolare]] e la [[velocità areolare]].
Si indica con '''velocità scalare''' il [[Norma (matematica)|modulo]] della velocità (in inglese, si usano due termini diversi, ''speed'' per la velocità scalare e ''velocity'' per la velocità in senso vettoriale). La variazione della velocità, sia in aumento che in diminuzione, è l'[[accelerazione]], anche se nel linguaggio comune a volte si parla di "decelerazione" quando la velocità diminuisce.
== Velocità media e istantanea{{Anchor|Velocità media}}<!-- [[Template:Anchor]] per un più sicuro redirect a sezione da [[Velocità media]] --> La velocità è una grandezza vettoriale che descrive lo stato di moto di un corpo e, in quanto tale, è caratterizzato da una lunghezza (rapidità), una direzione e un verso. ==
Si definisce ''velocità media'' <math>\bar\mathbf{v}</math> il rapporto tra lo [[Spostamento (cinematica)|spostamento]], inteso come la [[Differenza finita|variazione]] della posizione, <math>\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}</math> e l'intervallo di tempo <math>{\Delta t} = {t_2 - t_1}</math> impiegato a percorrerlo:<ref name="Maz8">{{Cita|Mazzoldi|p. 8}}.</ref>
:<math>\bar\mathbf{v} = \frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{t_2-t_1} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}</math>
dove <math>\mathbf{r_1}</math> e <math>\mathbf{r_2}</math> sono i [[Vettore (matematica)|vettori]] posizione agli istanti iniziale <math>t_1</math> e finale <math>t_2</math>. La velocità media può essere vista come il [[coefficiente angolare]] della [[retta]] secante le due posizioni in un grafico spazio-tempo. In particolare si parla di velocità positiva, se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse, nel I quadrante (del sistema spazio-tempo), è acuto e di velocità negativa, se l'angolo che la retta forma è ottuso.
Si definisce ''velocità istantanea'' <math>\mathbf{v}</math> il [[limite di una funzione|limite]] della velocità media per intervalli di tempo molto brevi, ovvero la [[derivata]] della posizione rispetto al tempo:<ref name=Maz8/>. In parole povere la velocità istantanea è il valore limite della velocità media nell'intorno di un determinato istante quando la variazione di tempo <math>\Delta t</math> considerata tende al valore 0.5
:<math>\mathbf{v} = \lim_{t_2 \to t_1}\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1} = \lim_{\Delta t \to 0}{{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)} \over \Delta t} = \frac{\operatorname{d} \! \mathbf{r}}{\operatorname{d} \! t}</math>
Si noti che la velocità media è proprio il risultato della [[media (statistica)|media]] della velocità istantanea in un tempo finito <math>\Delta t </math>:
:<math>\langle \mathbf v \rangle=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathbf r(t_2)-\mathbf r(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\mathbf r}{\Delta t}</math>
avendo usato il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]].
In un contesto più formale, sia <math>s(t)</math> la [[lunghezza di un arco]] della [[curva (matematica)|curva]] percorsa dall'oggetto in moto, ovvero lo spostamento dell'oggetto al tempo <math>t</math>. La [[Norma (matematica)|norma]] della velocità istantanea nel punto <math>\mathbf r = (x,y,z)</math> è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:<ref name=mathworld>Weisstein, Eric W. ''[http://mathworld.wolfram.com/Acceleration.html Acceleration].'' From MathWorld.</ref><ref>Weisstein, Eric W. ''[http://mathworld.wolfram.com/Velocity.html Velocity].'' From MathWorld.</ref>
:<math>v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\sqrt{\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 } \right)=\sqrt{ \left( \frac{\mathrm dx}{\mathrm d t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm d t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm dz}{\mathrm d t} \right)^2}</math>
ed il vettore velocità ha la direzione del moto:
:<math>\mathbf v = v \mathbf \hat \mathbf T </math>
=== Velocità in due dimensioni ===
Utilizzando uno spazio bidimensionale, la velocità media e quella istantanea si possono scomporre nel seguente modo:
:<math>\bar\mathbf{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\hat\mathbf{x} + \frac{\Delta y}{\Delta t}\hat\mathbf{y} \qquad \mathbf{v} = \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\hat\mathbf{x} + \frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}\hat\mathbf{y} = v_x \hat\mathbf{x} + v_y \hat\mathbf{y}</math>
dove <math>\hat\mathbf{x}</math> e <math>\hat\mathbf{y}</math> sono due [[Versore|versori]] in direzione degli assi <math>x</math> e <math>y</math>. Il modulo del vettore velocità è a sua volta scomponibile nei suoi componenti:
:<math>| \bar\mathbf{v}| = \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{ \Delta t} \right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2 } \qquad | \mathbf{v}| = \sqrt{{v_x}^2 + {v_y}^2}</math>
mentre l'angolo <math>\alpha</math> formato dal vettore <math>\mathbf v</math> con l'asse delle ascisse è dato da:
:<math>\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \qquad v_x =
Se si considera il vettore posizione <math>\mathbf{r}</math>, con <math>d \mathbf{r} =(dr,rd\theta)</math>, la velocità <math>\mathbf{v}</math> si può scomporre in direzione perpendicolare e parallela alla posizione:
:<math>\mathbf{v} = v_r \hat\mathbf{r} + v_\theta \hat\mathbf{r}_\perp = \frac{\mathrm dr}{ \mathrm d t} \hat\mathbf{r} + r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm d t}\hat\mathbf{r}_\perp </math>
dove <math>v_r = \mathrm dr / \mathrm dt </math> è il modulo della velocità in direzione di <math>\mathbf r</math>, mentre <math>v_\theta = r \ \mathrm d\theta / \mathrm dt </math> è il modulo della velocità ortogonale a <math>\mathbf r</math>.
La norma del vettore è pertanto:
:<math>v = \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \frac{\mathrm d}{ \mathrm d t}\left(\sqrt{\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2} \right)=\sqrt{ \left( \frac{\mathrm dr}{\mathrm d t} \right)^2 + r^2\left( \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm d t} \right)^2}</math>
e la direzione è sempre tangente alla curva percorsa. Nel caso di [[moto circolare]], la '''velocità tangenziale''' è espressa come:
:<math>v = \frac {ds}{dt} = \frac {d}{dt} (r \cos (\omega t) \vec i + r \sen (\omega t) \vec j) = -r \omega \sen (\omega t) \vec i + r \omega \cos (\omega t) \vec j</math>
in quanto <math>\theta = \omega t</math>
Il modulo della velocità si ottiene ricordando che <math>\sen^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> per cui sarà:
:<math>v = \omega r </math>
Nel caso di [[moto circolare]] uniforme la velocità tangenziale è un [[vettore (matematica)|vettore]] costante in modulo, ma che varia la sua direzione, infatti questa sarà sempre [[Tangente (geometria)|tangente]] alla [[circonferenza]] e avrà verso nel senso di [[rotazione]].
==== Velocità scalare media ====
La velocità scalare media è una [[grandezza scalare]] definita come lo spazio totale percorso diviso il tempo impiegato, e tale definizione è molto diversa da quella per la velocità vettoriale media. Per esempio, nel [[moto circolare]] (il moto che avviene lungo una [[circonferenza]]) dopo un [[periodo (fisica)|periodo]] <math>T</math> la velocità vettoriale media è nulla, perché il punto di arrivo e quello di partenza coincidono, ovvero <math>\Delta\mathbf r=0</math>, mentre la velocità scalare media è uguale a <math>2\pi R / T</math>, con <math>R</math> il raggio della circonferenza.
Data una traiettoria [[curva (matematica)|curva]] <math>\gamma</math>, la velocità scalare media è definita come:
:<math>\langle v_s \rangle = \frac{1}{\Delta t}\int_\gamma\,\mathrm{d} \mathbf r = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2} \| \mathbf v(t) \| \mathrm{d}t</math>
dove l'integrale è la [[lunghezza di un arco|lunghezza della curva]] che descrive la traiettoria. La velocità scalare non è quindi semplicemente la norma della velocità vettoriale media, e si può dimostrare che la prima è sempre maggiore o uguale della seconda.
== Relazione integrale fra la posizione e velocità ==
[[File:Spazio tempo velocita.gif|thumb|La figura mostra il grafico di uno [[Spostamento (cinematica)|spostamento]] unidimensionale. Per studiare dal punto di vista geometrico la velocità è comodo ricorrere a due tipi di grafici: quello spazio-tempo e quello velocità-tempo.<br />Il grafico dello spostamento presenta concavità verso il basso: questo corrisponde al fatto che il grafico della velocità è decrescente.<br />Al tempo <math>t_1</math> il grafico di <math>x(t)</math> ha pendenza positiva, per cui <math>v(t_1)</math> è maggiore di zero.<br />Al tempo <math>t_2</math> il grafico di <math>x(t)</math> ha pendenza nulla, per cui <math>v(t_2)</math> è nulla.<br />Al tempo <math>t_3</math> il grafico di <math>x(t)</math> ha pendenza negativa, per cui <math>v(t_3)</math> è minore di zero.]]Tramite l'[[integrale|integrazione]] è possibile conoscere la variazione della posizione ricavandola dalla velocità. Dalla definizione di velocità:
:<math>\mathbf{v}(t) = \frac{\mathrm d\mathbf{r}(t)}{\mathrm dt}{\partial^2\over\partial x_1\partial x_2}y\backprime</math>
Si può effettuare una [[separazione delle variabili]] portando a primo membro <math>\mathbf r(t)</math> e al secondo membro il resto dell'equazione:
:<math>\mathrm d\mathbf{r}(t) = \mathbf{v}(t) \mathrm dt</math>
in modo che sia possibile integrare entrambi i membri:
:<math>\int_{\mathbf{r}(t_2)}^{\mathbf{r}(t_1)} \mathrm d\mathbf{r}(t) = \int_{t_2}^{t_1} \mathbf{v}(t) \mathrm dt</math>
e determinare così la variazione di <math>\mathbf{r}(t)</math>. Se, ad esempio, la velocità è costante l'integrale si riduce alla legge del [[moto rettilineo uniforme]]:
:<math>\mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1) = \mathbf{r} (t_2 - t_1)</math>.
== Composizione delle velocità ==
{{Vedi anche|Teorema di Coriolis}}
Considerando ad esempio una barca che si muove con una velocità <math>v</math> rispetto all'acqua di un canale, che a sua volta si muove con una velocità <math>V</math> rispetto alla riva, si prenda un osservatore <math>O</math> solidale con la riva e un osservatore <math>O'</math> solidale con la barca. Si ha che:
:<math> v = v_{O'} + V</math>
Quindi, per l'osservatore fisso le velocità della corrente e della barca si compongono sommandosi quando la barca va nel verso della corrente e sottraendosi quando va controcorrente. Va sottolineato che <math>O'</math> con i suoi strumenti misura sempre la velocità <math>v</math> della barca rispetto all'acqua, e può anche misurare la velocità con la quale l'acqua scorre davanti <math>O</math>. Questo misura anch'esso la velocità con la quale si muove l'acqua e, a differenza di <math>O'</math>, misura pure la velocità di <math>O'</math> rispetto alla sponda del canale. Una situazione del tutto analoga si verifica pure quando la barca si muove trasversalmente alla corrente.
Questo tipo di composizione delle velocità, introdotta da Galilei nella teoria della relatività galileiana, era già nota a [[Leonardo da Vinci]] che fa l'esempio di un arciere che lancia una freccia dal centro della Terra verso la superficie. L'esempio è ripreso in maniera più formale da Galilei: qui un osservatore esterno alla Terra vede comporsi il moto rettilineo della freccia lungo un raggio e il moto rotatorio della Terra. Il moto risultante è una spirale di Archimede. La freccia si muove con il moto rettilineo uniforme, e lo spazio percorso risulta allora:
:<math> s = v t </math>
Le proiezioni di <math>s</math> sui due assi è quindi:
:<math>x = v t \cos (\omega t) \qquad y = v t \, \mathrm{sen} (\omega t)</math>
=== Composizione delle velocità in relatività speciale ===
{{vedi anche|composizione delle velocità}}
Nella teoria della [[relatività speciale]], passando da un sistema di riferimento <math>S</math> a un sistema di riferimento <math>S'</math>, la velocità di una particella si trasforma nel modo seguente:
:<math>v'_x=\frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2} \qquad
v'_y=\frac{v_y}{\gamma(1-v_xV/c^2)} \qquad
v'_z=\frac{v_z}{\gamma(1-v_xV/c^2)}
</math>
dove <math>V</math> è la velocità (diretta lungo l'asse <math>x</math>) del sistema <math>S'</math> rispetto al sistema di riferimento <math>S</math>, e <math>\gamma=\gamma(V)</math> è il [[fattore di Lorentz]].
== Velocità nei sistemi di punti materiali ==
Se gli <math>n</math> punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione del [[centro di massa]] varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totale <math>m = \sum_{i=1}^n</math> sia costante, la velocità del centro di massa sarà:
:<math>\mathbf v_G = \frac{\mathrm d\mathbf r_G}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{S^*_r}{m} = \frac{\displaystyle{\cancel{m}\left(\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}\sum_{i=1}^n \mathbf r_i + m\sum_{i=1}^n\frac{\mathrm d\mathbf r_i}{\mathrm dt}\right) + S^*_r\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}}}{m^\cancel{2}} = \frac{\mathbf p}{m} </math>
dove <math>S^*_r </math> è il [[momento statico]] e <math>\mathbf p </math> la [[quantità di moto]] totale del sistema.
== Caduta nel campo gravitazionale ==
In caso di caduta di un oggetto immerso in un [[campo gravitazionale]], la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la [[conservazione dell'energia]], ottenendo così una semplice espressione:<ref>{{Cita|Mazzoldi|p. 16}}.</ref>
:<math>v = \sqrt {2 g h}</math>
dove
In quest'ultimo caso si parla di [[velocità di impatto]].
=== Velocità terminale di caduta ===
Per [[velocità terminale di caduta]], o ''velocità limite'', si intende la velocità massima che raggiunge un corpo in caduta. Cadendo attraverso un fluido infatti il corpo incontra una crescente resistenza all'aumentare della velocità e quando l'attrito eguaglia la forza di attrazione gravitazionale la velocità si stabilizza.
== Velocità limite ==
La [[velocità della luce]], o di qualsiasi altra onda elettromagnetica, è identica nel [[vuoto (fisica)|vuoto]] per tutti i [[sistema di riferimento|sistemi di riferimento]]. Questa invarianza, implicita nelle simmetrie delle [[equazioni di Maxwell]] per la propagazione delle [[onda elettromagnetica|onde elettromagnetiche]] e verificata sperimentalmente alla fine del 1800 con l'[[esperimento di Michelson-Morley]], ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze della [[teoria della relatività ristretta]] di [[Albert Einstein]] è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto fisico è quella della luce nel vuoto.<ref>Da non confondere con la [[velocità terminale di caduta]], a volte detta anche velocità limite.</ref>
== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | coautori= Massimo Nigro, Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | isbn= 88-7959-137-1 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}}
* {{Cita libro | autore=Lev D. Landau | coautori= Evgenij M. Lifšic| titolo=Fisica teorica 1 - Meccanica| data=1976| editore=Editori Riuniti Edizioni Mir| città= Roma| ISBN=88-6473-202-0|cid= Landau}}
* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica I - Meccanica e Termodinamica|edizione=3rd Edition| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=1996|isbn=88-207-1493-0|cid= mencuccini }}
* {{Cita libro|cognome=Wilson|nome=Edwin Bidwell|titolo=Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs|data=1901|pagine=125|url=https://hdl.handle.net/2027/mdp.39015000962285?urlappend=%3Bseq=149|lingua=en}}
== Voci correlate ==
* [[Posizione]]
* [[Accelerazione]]
* [[Strappo (cinematica)|Strappo]]
* [[Composizione delle velocità]]
* [[Velocità commerciale]]
* [[Velocità operativa]]
* [[Velocità di fuga]]
* [[Velocità di deriva]]
* [[Velocità della luce]]
* [[Velocità del suono]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|q_preposizione=sulla|commons_preposizione=sulla|wikt=velocità}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{Treccani|velocita||accesso=2 marzo 2016}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|fisica}}
[[Categoria:Grandezze cinematiche]]
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