Bootstrap (statistica): differenze tra le versioni

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Il '''bootstrap''' è una tecnica [[statistica]] di [[ricampionamento]] con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno [[stimatore]], costruire intervalli di confidenza e calcolare [[p-value]] di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Permette perciò di approssimare media e varianza di uno [[stimatore]], costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di [[campionamento casuale]] semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad <math>n</math>, diciamo <math>\mathbf{x}=(x_1,...\ldots,x_n)</math>. Da <math>\mathbf{x}</math> si ricampionano <math>B</math> altri campioni di numerosità costante pari ad <math>n</math>, diciamo <math>\mathbf{x}^*_1,...\ldots,\mathbf{x}^*_B</math>. Se <math>F</math> è la funzione di ripartizione del [[fenomeno aleatorio]] dal quale è stato campionato <math>\textbf{x}</math>, allora la [[funzione di ripartizione empirica]] <math>\hat{F}</math> è un'approssimazione di <math>F</math>; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione <math>\hat{F}</math> è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme su <math>\textbf{x}</math>, dunque di fatto ogni ricampionamento <math>\textbf{x}_k^*</math>, con <math>k=1,\dots,B</math>, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione <math>n</math> valori da <math>\textbf{x}</math>.

Sia <math>T</math> lo stimatore di <math>\theta</math> che ci interessa studiare, diciamo <math>T(\mathbf{x})=\hat{\theta}</math>. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, <math>T(\mathbf x^*_1),...\ldots,T(\mathbf x^*_B)</math>. In questo modo si hanno a disposizione <math>mB</math> stime di <math>\theta</math>, dalle quali è possibile calcolare la [[media (statistica)|media]] bootstrap, la [[varianza]] bootstrap, i percentili bootstrap, etcecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di <math>T(\mathbf{x})</math>.

== Algoritmo bootstrap (per campione semplice) ==

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile calcolare [[intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]], saggiare [[Ipotesi statistica|ipotesi]], etc.

Dato il campione <math>\textbf{x} =(x_1,\ldots, x_n)</math>:

* Si simulano <math>B</math> campioni <math>\textbf{x}^{*}_1,\ldots,\textbf{x}^{*}_B</math>, di numerosità <math>n</math> da <math>\hat{F}</math>.

* Si calcolano le <math>B</math> replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_1),\ldots,\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_B)</math>, dove <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k) = T(\textbf{x}_k^*).</math>

* Si stima la varianza campionaria come:

::<math>\text{Var}_B(\hat{\theta}) = \frac{1}{B-1}\sum_{k=1}^B \left( \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta^* \right)^2,\quad \text{dove }\theta^* = \frac{1}{B}\sum_{k=1}^B \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k).</math>

== Bibliografia ==

* Si stima la distorsione come:

::<math>\beta = \theta^*-\theta=\frac{1}{B}\sum_{k=1}^{B} \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta.</math>

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile, anche lavorando in ambito [[Statistica non parametrica|non parametrico]], calcolare [[intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]], saggiare [[Ipotesi statistica|ipotesi]], etcecc.

== Bibliografia ==

* Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, ''An Introduction to the Bootstrap'', New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

* Yen-Chi Chen, ''[https://faculty.washington.edu/yenchic/17Sp_403/Lec5-bootstrap.pdf Lecture on Bootstrap]''

==Voci correlate==