Numero transfinito: differenze tra le versioni

Versione delle 16:37, 23 set 2005

Versione attuale delle 00:41, 13 giu 2025

(48 versioni intermedie di 35 utenti non mostrate)

Riga 1:

[[File:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|[[Georg Cantor]], scopritore del concetto di numero transfinito]]In [[matematica]] perla nozione di '''numerinumero transfinititransfinito''' siestende intendonola entinozione diversidi dai''numero'', numerile finiti,[[aritmetica|operazioni maaritmetiche]] comee questila sottoponibili[[relazione d'ordine]] proprie dei [[numero naturale|numeri naturali]] a certeuna operazioniclasse più ampia di naturaoggetti computazionaleche in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti". Queste entità sono state introdotte da [[Georg Cantor]] e servono a chiarirefornire un importante strumento di nozionilavoro dellenella [[teoria degli insiemi]] ede adi fornireriflesso qualchenella precisazione sulla nozione di [[infinito]]matematica.

Come per i numeri finiti vi sono due modi perin trattarecui ila nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti,: come numeri ordinali e come numeri cardinali. Contrariamente a quanto accade per i numeri finiti, accade che ordinali transfiniti e cardinali transfiniti costituiscono due classi distinte di entità non [[isomorfismo|isomorfe]].

* Il più piccolo [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numero ordinale]] transfinito è ωω.

* Il primo [[numero cardinale]] transfinito è [[alef con zero]], <math>\aleph_0</math>, ([[Aleph_(cardinalità)|aleph zero]]) cioè la [[cardinalità]] dell'insieme infinito dei numeri [[insiemenumeri degli interi|interinaturali]] <math>\N</math>.

*Il successivo numero cardinale è [[alef con uno]], <math>\aleph_1</math> ([[Aleph_(cardinalità)|aleph uno]]).

L'[[ipotesi del continuo]] afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra alef con zero<math>\aleph_0</math> e la [[cardinalità del continuo]] <math>\mathfrak{c}</math>, cioè la cardinalità dell'[[insieme dei [[numeri reali]] <math>\R</math>: questo equivale ad affermare che alef<math>\mathfrak{c} con= uno\aleph_1</math>. esprimePerò, lagrazie cardinalitàagli dellstudi di [[Paul Cohen (matematico)|Paul Cohen]], l'insiemeesistenza deidi numeriun realinumerico cardinale è stata dimostrata indecidibile.

* Il primo [[numero cardinale]] transfinito è [[alef con zero]], <math>\aleph_0</math>, cioè la [[cardinalità]] dell'insieme infinito dei numeri [[insieme degli interi|interi]].

Sia per il sistema degli ordinali chesia per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche.

*Il successivo numero cardinale è [[alef con uno]], <math>\aleph_1</math>.

Ricordiamo che [[Georg Cantor]] ha introdotto anche la nozione di [[infinito assoluto]] per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande".

L'[[ipotesi del continuo]] afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra alef con zero e la [[cardinalità del continuo]], cioè la cardinalità dell'[[insieme dei numeri reali]]: questo equivale ad affermare che alef con uno esprime la cardinalità dell'insieme dei numeri reali.

Sia per il sistema degli ordinali che per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche.

Ricordiamo che [[Georg Cantor]] ha introdotto anche la nozione di [[infinito assoluto]] per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande".

== Voci correlate ==

*[[Numero beth]]

*[[Cardinale grande]]

*[[Cardinale inaccessibile]]

*[[Cardinale di Mahlo]]

*[[Infinitesimale]]

*[[Paul Cohen (matematico)]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:TeoriaNumeri degli insiemiordinali]]

[[en:Transfinite number]]

[[es:Número transfinito]]

[[fr:Nombre transfini]]

[[nl:Transfiniet getal]]