Coefficiente binomiale: differenze tra le versioni

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== Proprietà ==

Il coefficiente binomiale hagode ledelle seguenti proprietà:

*1) <math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.</math>

:Dimostrazione formale:

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== Estensioni ==

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso chein cui <math>k</math> sia negativo, oppure maggiore di <math>n</math>, ponendo:

:<math>{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z, n>0, k<0</math> oppure <math>k>n.</math>

Si può anche estendere il coefficiente ai [[Numero reale|numeri reali]]. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> (ovvero il numero delle [[Disposizione#Disposizioni semplici|disposizioni semplici]] di <math>n</math> oggetti di classe <math>k</math>) ed il numero delle permutazioni di <math>k</math> oggetti:

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ad esempio:

:<math>{4{,}5 \choose 3}=\frac{(4{,}5)_3}{3!}=\frac{39{,}375}{6}=6{,}5625.</math>

Infine, esiste una generalizzazione del coefficiente binomiale che coinvolge un parametro <math>q</math>, denominata [[coefficiente binomiale gaussiano]] (talvolta semplicemente <math>q</math>-binomiale).

== Caso particolare ==