Funzione omogenea: differenze tra le versioni

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{{F|matematicageometria|luglio 2017}}

In [[matematica]] si dice '''funzione omogenea''' di grado <math>k</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] tale che quando si moltiplica per un certo numero <math>\alpha>0</math> ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per <math>\alpha^k</math> la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza <math>\alpha</math>).

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Questo concetto ha fruttuose applicazioni anche in [[economia]], visto che molte [[funzione di produzione|funzioni di produzione]] sono omogenee di grado 1 (cioè hanno [[rendimenti di scala]] costanti) o zero. Supponiamo che un consumatore scelga i beni da acquistare, a seconda del reddito e dei prezzi, tra tutti i [[paniere|panieri]] che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo allora vedere la domanda come una funzione dei prezzi e del suo reddito. Questa funzione si dimostra essere omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito del consumatore vengono moltiplicati per <math>k>0</math>, la domanda di beni del medesimo consumatore resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di [[illusione monetaria]]).

In [[fisica]], le funzioni omogenee sono fondamentali per la [[teoria dei fenomeni critici]], in particolare per la [[teoria dello scaling]] e per il [[gruppo di rinormalizzazione]].

In [[termodinamica]] chimica sono funzioni omogenee di grado 1, le funzioni [[entropia]] <math>S(U,V,n_i),</math> [[energia interna]] <math>U(S,V,n_i),</math> [[entalpia]] <math>H(S,P,n_i),</math> [[energia libera di Helmholtz]] <math>A(T,V,n_i)</math> e [[energia libera di Gibbs]] <math>G(T,P,n_i).</math>

== Definizione rigorosa di funzione omogenea ==

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La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a [[funzionale|funzionali]] definiti in [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] qualsiasi a valori nel rispettivo [[campo (matematica)|campo]]. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di "positività" degli elementi del campo, cioè esso deve essere un [[campo ordinato]].

== [[Derivata]] di una funzione omogenea ==

Sia <math>f(x_{1},\ldots, x_{n})</math> una funzione omogenea di grado <math>k</math> e parzialmente [[Derivata|derivabile]], allora vale la seguente proposizione:

* ''Ogni [[derivata parziale]] <math>\ f_{x_{i}} </math> con <math>\ i = 1,\ldots, n </math> è una funzione omogenea di grado <math>k - 1</math>''

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:<math>f_{x_{i}}(\alpha x_{1},\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1},\ldots, x_{n}).</math>

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f\colon A\rightarrow\mathbb{R}</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> su <math>A</math> [[se e solo se]] vale l'identità detta '''identità di Eulero''':

:<math>\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x)}{\partial x_{i}} \ x_{i} = k \ f(x), \quad\forall x \in A,</math>

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:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(x) x_i = k f(x), \quad \forall x \in A</math>

che altro non è che l'identità di [[Eulero]].

==Collegamenti esterni==

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{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[Categoria:Geometria proiettiva]]