Gruppo quantico: differenze tra le versioni

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{{S|matematicaalgebra|fisica}}

In [[matematica]] e in [[fisica teorica]] sono chiamati '''gruppi quantici''' certe algebre noncommutativenon commutative che sono comparse inizialmente nella teoria dei sistemi quantistici integrabili e che sono state formalizzate da [[Vladimir Drinfel'd]] e da Michio Jimbo. Di queste strutture non si conosce una un'unica definizione onnicomprensiva.

Nell'approccio di Drinfeld i gruppi quantici si collegano ad [[algebre di Hopf]] che dipendono da un parametro ausiliario, che può essere ''q'' o ''h'', che costituiscono [[algebre inviluppanti universali]] di una certa [[algebra di Lie]], spesso di una [[algebra di Lie semisemplice]] o [[algebra di Lie affine|affine]], quando ''q'' = 1 o ''h'' = 0. Degli oggetti distinti ma strettamente collegati, anch'essi chiamati gruppi quanticiquantistici, sono deformazioni dell'algebra delle funzioni sopra un [[gruppo algebrico]] semisemplice o sopra un [[gruppo di Lie compatto]].

In [[matematica]] e in [[fisica teorica]] sono chiamati '''gruppi quantici''' certe algebre noncommutative che sono comparse inizialmente nella teoria dei sistemi quantistici integrabili e che sono state formalizzate da [[Vladimir Drinfel'd]] e da Michio Jimbo. Di queste strutture non si conosce una unica definizione onnicomprensiva.

Dopo la scoperta dei gruppi quanticiquantistici è diventato alla moda introdurre l'attributo ''quantico'' (in inglese ''quantum'') nelle denominazioni di una quantità di oggetti matematici, ad esempio [[piano quantico]] e [[grassmanniana quantica]]. Taluni di tali oggetti hanno solo collegamenti tenui con aspetti dei "gruppi quantici".

Nell'approccio di Drinfeld i gruppi quantici si collegano ad [[algebre di Hopf]] che dipendono da un parametro ausiliario, che può essere ''q'' o ''h'', che costituiscono [[algebre inviluppanti universali]] di una certa [[algebra di Lie]], spesso di una [[algebra di Lie semisemplice]] o [[algebra di Lie affine|affine]], quando ''q'' = 1 o ''h'' = 0. Degli oggetti distinti ma strettamente collegati, anch'essi chiamati gruppi quantici, sono deformazioni dell'algebra delle funzioni sopra un [[gruppo algebrico]] semisemplice o sopra un [[gruppo di Lie compatto]].

Dopo la scoperta dei gruppi quantici è diventato alla moda introdurre l'attributo ''quantico'' (in inglese ''quantum'') nelle denominazioni di una quantità di oggetti matematici, ad esempio [[piano quantico]] e [[grassmanniana quantica]]. Taluni di tali oggetti hanno solo collegamenti tenui con aspetti dei "gruppi quantici".

== Significato intuitivo ==

La scoperta dei gruppi quanticiquantistici fu del tutto inaspettata, in quanto riguarda strutture vicine ai [[gruppi compatti]] e alle [[algebre di Lie semisemplici]] che dato erano note come strutture "rigide", che non possono essere "deformate". Una delle idee di base per i gruppi quantici è che qualche tipo di struttura in qualche modo equivalente, ma più ricca delle suddette, come un'[[algebra di gruppo]] o un'[[algebra inviluppante universale]], questa può essere deformata in una struttura di specie un po' diversa. Più precisamente la deformazione puo`può essere effettuata nell'ambito della categoria delle [[algebre di Hopf]], strutture alle quali non si richiede di essere [[commutative]] o [[cocommutative]]. Si puo`può pensare che la struttura deformata sia un'algebra di funzioni sopra uno "spazio noncommutativonon commutativo", intendendo questo termine nello spirito della [[geometria noncommutativanon commutativa]] di [[Alain Connes]]. Questa intuizione, tuttavia, ha preso corpo quando particolari classi di gruppi quantici si erano già rivelate di grande utilità nello studio dell'[[equazione di Yang-Baxter]] quantistica e nel [[metodo dello scattering quantistico inverso]] sviluppato dalla cosiddetta "Scuola di Leningrado" ([[LudwigLjudvig Dmitrievič Faddeev]], [[Leon Takhtajan]], [[Evgenii Sklyanin]], [[Nicolai Reshetikhin]] e altri) e nei lavori correlati della "Scuola giapponese". <!--Fact|date=March 2007}}-->

== Bibliografia ==

La scoperta dei gruppi quantici fu del tutto inaspettata, in quanto riguarda strutture vicine ai [[gruppi compatti]] e alle [[algebre di Lie semisemplici]] che dato erano note come strutture "rigide", che non possono essere "deformate". Una delle idee di base per i gruppi quantici è che qualche tipo di struttura in qualche modo equivalente, ma più ricca delle suddette, come un'[[algebra di gruppo]] o un'[[algebra inviluppante universale]], questa può essere deformata in una struttura di specie un po' diversa. Più precisamente la deformazione puo` essere effettuata nell'ambito della categoria delle [[algebre di Hopf]], strutture alle quali non si richiede di essere [[commutative]] o [[cocommutative]]. Si puo` pensare che la struttura deformata sia un'algebra di funzioni sopra uno "spazio noncommutativo", intendendo questo termine nello spirito della [[geometria noncommutativa]] di [[Alain Connes]]. Questa intuizione, tuttavia, ha preso corpo quando particolari classi di gruppi quantici si erano già rivelate di grande utilità nello studio dell'[[equazione di Yang-Baxter]] quantistica e nel [[metodo dello scattering quantistico inverso]] sviluppato dalla cosiddetta "Scuola di Leningrado" ([[Ludwig Faddeev]], [[Leon Takhtajan]], [[Evgenii Sklyanin]], [[Nicolai Reshetikhin]] e altri) e nei lavori correlati della "Scuola giapponese". <!--Fact|date=March 2007}}-->

* P. Podles, E. Muller (1997): [http[arxiv://arxiv.org/abs/q-alg/9704002 |Elementary introduction to quantum groups]], in [[ArXiv]]

* [[Christian Kassel]] (1994): ''Quantum Groups'', (Springer, ISBN 0-387-94370-6.

* [[Shahn Majid]] (2002): ''A Quantum Groups Primer'', Cambridge University Press, ISBN 0-521-01041-1.

* [[Ross Street]] (2007): ''Quantum Groups: A Path to Current Algebra'', Cambridge University Press, ISBN 0-521-69524-4

* {{Cita pubblicazione| cognome = Majid| nome = Shahn| titolo = What Is...a Quantum Group?| rivista = [[Notices of the American Mathematical Society]]| anno = 2006| mese = gennaio| volume = 53| numero = 1|pp=30–31| url = http://www.ams.org/notices/200601/what-is.pdf|formato= PDF| accesso=16 gennaio 2008 }}

== Voci correlate ==

* [[Bialgebra di Lie]]

* [[Gruppo di Poisson-Lie]]

* [[Gruppo quanticoquantistico affine]]

== Riferimenti ==

* P. Podles, E. Muller (1997): [http://arxiv.org/abs/q-alg/9704002 Elementary introduction to quantum groups], in [[ArXiv]]

* [[Christian Kassel]] (1994): ''Quantum Groups'', (Springer, ISBN 0-387-94370-6.

* [[Shahn Majid]] (2002): ''A Quantum Groups Primer'', Cambridge University Press, ISBN 0-521-01041-1.

* [[Ross Street]] (2007): ''Quantum Groups: A Path to Current Algebra'', Cambridge University Press, ISBN 0-521-69524-4

* {{ cite journal

| last = Majid

| first = Shahn

| title = What Is...a Quantum Group?

| journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]

| year = 2006

| month = January

| volume = 53

| issue = 1

| pages = pp.30–31

| url = http://www.ams.org/notices/200601/what-is.pdf

| format = [[PDF]]

| accessdate = 2008-01-16 }}

<!-- [[Categoria:Mathematical quantization]] -->

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Algebre di Hopf]]

[[Categoria:Meccanica quantistica]]

[[de:Quantengruppe]]

[[en:Quantum group]]

[[fr:Groupe quantique]]

[[zh:量子群]]

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[[zh-yue:量子羣]]