Numero p-adico: differenze tra le versioni

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{{S|matematicanumeri}}

Il sistema dei '''numeri <math>p</math>-adici''' è stato descritto per la prima volta da [[Kurt Hensel]] nel [[1897]]. Per ogni [[numero primo]] <math>p</math>, il sistema dei numeri <math>p</math>-adici estende l'[[aritmetica]] dei [[numero razionale|numeri razionali]] in modo differente rispetto all'estensione verso i [[numero reale|numeri reali]] e [[numero complesso|complessi]]. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella [[teoria dei numeri]].

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di [[valore assoluto]]. Il motivo della creazione dei numeri <math>p</math>-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle [[serie di potenze]] nel campo della [[teoria dei numeri]]. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei <math>p</math>-adici rappresenta una forma alternativa di [[calcolo differenziale]].

Più concretamente per un dato [[numero primo]] <math>p</math>, il [[campo (matematica)|campo]] <math>\Q_p</math> dei ''numeri <math>p</math>-adici'' è un'estensione dei [[numero razionale|numeri razionali]]. Se tutti i campi <math>\Q_p</math> vengono considerati collettivamente, arriviamo al [[principio locale-globale]] di [[Helmut Hasse]], il quale a grandi linee afferma che certe [[equazione|equazioni]] possono essere risolte nell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]] se e solo se possono essere risolte negli [[insieme|insiemi]] dei [[numero reale|numeri reali]] e dei numeri <math>p</math>-adici per ogni <math>p</math>. Il campo <math>\Q_p</math> possiede una [[topologia]] indotta da una [[Distanza (matematica)|metrica]], che è, a sua volta, indotta da una [[Norma (matematica)|norma]] alternativa sui [[numero razionale|numeri razionali]]. Questa [[Distanza (matematica)|metrica]] è completa, nel senso che ogni [[serie]] di [[Cauchy]] converge.

Nel campo delle [[curva ellittica|curve ellittiche]], i numeri <math>p</math>-adici sono conosciuti come numeri <math>\ell</math>-adici, a causa dei lavori di [[Jean-Pierre Serre]]. Il numero primo <math>p</math> è spesso riservato per l'[[aritmetica modulare]] di queste curve.

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dove <math>n\in\Z</math> e <math>x\in\Q</math> è scritto in forma irriducibile, cioè tale che <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, con <math>a</math> e <math>b</math> interi tali che <math>p\nmid a</math> e <math>p\nmid b</math>.

Questa [[Norma (matematica)|norma]] induce di conseguenza una [[Distanza (matematica)|distanza]] e quindi si può quindi parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri <math>p</math>-adici <math>\Q_p</math> vengono definiti come il [[Spazio completo|completamento]] secondo Cauchy di <math>\Q</math> con la norma <math>p</math>-adica. I numeri <math>p</math>-adici di norma minore o uguale a <math>1</math> sono detti interi <math>p</math>-adici e l'insieme di tutti gli interi <math>p</math>-adici, in genere indicato con <math>\Z_p</math>, forma un sottoanello di <math>\Q_p.</math>

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Un modo comune di rappresentare un numero <math>p</math>-adico <math>a\in\Q_p</math> è il seguente:

:<math>a=\sum_{i=n}^{\infty}a_ip^i,</math>

con <math>a_n\neq 0</math>, dove <math>n\in\Z</math> non è altro che la valutazione <math>p</math>-adica <math>v_p(a)</math> e <math>0\leq a_i\leq p-1</math> per ogni <math>i</math>.

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma <math>p</math>-adica

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A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: <math>a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_0,a_1\dots a_n\dots)</math> dove gli <math>a_i</math> sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo <math>a_0</math>, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

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