Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|numeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

{{stub matematica}}

Gli '''Assiomiassiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei i [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

#0 èEsiste un numero naturale, 0

#il successore di unOgni numero naturale èha un numero naturale successore

#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

#numeri diversi hanno successori diversi

#ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

== Significato matematico degli assiomi ==

I primi due assiomi ci dicono che abbiamo a che fare con un [[insieme]] <math>X</math> (i "numeri naturali") che contiene un elemento 'speciale' <math>x_0</math> (lo "zero") e che è [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>S:X \rightarrow X</math> che associa ad un elemento di <math>X</math> un nuovo elemento chiamato "successore". Gli altri tre assiomi descrivono le proprietà di questa funzione "successore" in un modo che formalmente è il seguente:

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N</math>, lo [[zero]] e la [[funzione (matematica)|funzione]] "successore" <math>S: \N \to \N</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">

:(P1) <math>S(x)\neq x_0</math> per ogni <math>x \in X</math>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">

:(P2) <math>x\neq y</math> implica <math>S(x)\neq S(y)</math>

:(P3P1) seEsiste un numero <math>U</math>0 è\in un sottoinsieme di\mathbb <math>XN</math> tale che:

:(P2) Esiste una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>S: \N \to \N</math> (chiamata "successore")

::# <math>x_0 \in U</math>

:(P3) <math>x\neq y</math> implica <math>S(x)\neq S(y)</math>

:(P4) <math>S(x)\neq 0</math> per ogni <math>x \in \mathbb N</math>

:(P5) se <math>U</math> è un sottoinsieme di <math>\mathbb N</math> tale che:

::# <math>0 \in U</math>

::# <math>x \in U</math> implica <math>S(x) \in U</math>

::allora <math>U=X\N</math>

</blockquote>

Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo <math>X=\mathbb N</math>, l'insieme dei numeri naturali, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+1</math>. Tuttavia possono essere verificati da altri [[modello (logica matematica)|modelli]], ad esempio se <math>X=\{2n: n \in N\}</math>, l'insieme dei numeri pari, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+2</math>. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore ''non'' sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare ''la struttura'' dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata [[categoricità]]. L'affermazione che gli assiomi di Peano sono ''categorici'' è nota nell'ambito della logica formale come [[Teorema di Categoricità]] per gli assiomi di Peano del [[secondo ordine]].

* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio (matematica)|dominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]. L'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). I cinque assiomi sono sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:

:(P1) <math>x_0 \in X</math>

:(P2) <math>x \in X \Rightarrow s(x) \in X</math>

:(P3) <math>x\neq y</math> implica <math>s(x)\neq s(y)</math>

:(P4) <math>s(x)\neq x_0</math> per ogni <math>x \in X</math>

:(P5) se <math>U</math> è un sottoinsieme di <math>X</math> tale che:

::# <math>x_0 \in U</math>

::# <math>x \in U</math> implica <math>s(x) \in U</math>

::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

* manda ciascuno dei due "zeri" nell'altro, cioè <math>f(a_0)=b_0</math>

* manda elementi "successivi" in elementi "successivi", cioè <math>f(s(a))=t(f(a))</math>.

Con queste definizioni è possibile determinare che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''' Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:

:<math>\begin{align}

0 &\mapsto a_0\\

1 &\mapsto s(a_0)\\

2 &\mapsto s(s(a_0))\\

\vdots\\

n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))

\end{align}</math>

con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math>

== Indipendenza degli assiomi ==

Gli assiomi di Peano sono ''indipendenti'', ovvero nessuno di essi può essere dimostrato a partire dagli altri. Ci si può convincere facilmente di questo cercando delle terne <math>(X, x_0, S)</math> per cui un particolare assioma non venga soddisfatto, tutti gli altri siano soddisfatti e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'[[insieme vuoto]]; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un [[modello (logica matematica)|modello]] dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.

* Eliminando (P3), un modello è quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che associa ad <math>n</math> il massimo tra <math>n</math> e <math>1</math>.

* Eliminando (P4), un modello è fornito dalle [[aritmetica modulare|classi di resto modulo ''n'']] con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>).

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i [[numero razionale|razionali]] positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.

== Ruolo nella logica matematica ==

Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

==Bibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=https://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni.

* [[Principio di induzione]]

* [[Aritmetica di Peano]]

== Collegamenti esterni ==

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teorema di Gödel]].

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:{{Teoria degli insiemi]] [[Categoria:Teoria dei numeri]]}}

{{Portale|matematica}}

[[categoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica matematica]]

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[cs:Peanovy axiomy]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[en:Peano axioms]]

[[Categoria:Assiomi]]

[[es:Axiomas de Peano]]

[[Categoria:Logica nell'informatica]]

[[fr:Axiomes de Peano]]

[[ja:ペアノの公理]]

[[ko:페아노의 공리]]

[[tr:Peano Aksiyomları]]

[[zh:皮亚诺公理]]