Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|matematicanumeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''assiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

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#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento, coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

== Significato matematico degli assiomi ==

In termini più precisi, possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N</math>, lo [[zero]] , e la [[funzione (matematica)|funzione]] "successore" <math>S: \N \to \N</math>, può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">

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* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio (matematica)|dominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math>, e procedendoandando avanti in avantiripetutamente da un elemento al suo successore, si possa ritornare su un elemento già visitato, e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nel nell'[[Dominio eimmagine codominio(matematica)|codominioimmagine]] di <math>S</math>;, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa tornarecompiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma, consideratocon insieme alil precedente, esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]], ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]. L'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math>, e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi 'esterni'"intrusi" allaal di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

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::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che: