Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 09:26, 18 set 2015

Versione attuale delle 11:46, 29 giu 2025

(22 versioni intermedie di 14 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{F|matematicanumeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''assiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Riga 8 ⟶ 6:

#Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

</div>

Riga 29 ⟶ 27:

Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

Riga 35 ⟶ 33:

== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). I cinque assiomi sono sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

Riga 49 ⟶ 46:

::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

Riga 57 ⟶ 54:

Con queste definizioni è possibile determinare che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''': Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:<br/>

:<math>0 \mapsto a_0</math><br/>

:<math>1 \mapstobegin{align} s(a_0)</math><br/>

:<math>20 &\mapsto s(s(a_0))</math><br/>\\

1 &\mapsto s(a_0)\\

:...<br/>

:<math>2 &\mapsto s(s(a_0))\\
\vdots\\
n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))
\end{align}</math>
con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br/>

== Indipendenza degli assiomi ==

Riga 75 ⟶ 76:

== Ruolo nella logica matematica ==

Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

== Voci correlateBibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=httphttps://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

* [[Principio di induzione]]

* [[Aritmetica di Peano]]

== Collegamenti esterni ==

==Bibliografia==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=http://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[categoriaCategoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica nell'informatica]]