Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|matematicanumeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''assiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

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#Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione) è la stessa cosa

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

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::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

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Con queste definizioni è possibile determinare che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''': Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:<br/>

:<math>0 \mapsto a_0</math><br/>

:<math>1 \mapstobegin{align} s(a_0)</math><br/>

:<math>20 &\mapsto s(s(a_0))</math><br/>\\

1 &\mapsto s(a_0)\\

:...<br/>

:<math>2 &\mapsto s(s(a_0))\\
\vdots\\
n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))
\end{align}</math>
con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br/>

== Indipendenza degli assiomi ==

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Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

==Bibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=httphttps://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

* [[Principio di induzione]]

* [[Aritmetica di Peano]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[categoriaCategoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica nell'informatica]]