Elemento neutro: differenze tra le versioni

Versione delle 13:30, 4 nov 2010

Versione attuale delle 12:08, 29 giu 2025

(35 versioni intermedie di 26 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{F|algebra|febbraio 2012}}

In [[matematica]], e particolarmente in [[algebra]], l<nowiki>'</nowiki>'''elemento neutro''' è una proprieta' che puo' avere una [[operazione binaria]]: è l'elemento componendo il quale "non si modifica nulla".

In [[matematica]], e in particolare [[algebra astratta]], l{{'}}'''elemento neutro''' è un elemento di un [[Loop (algebra)|loop]] o di un [[monoide]] (e quindi anche di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] o sue sovrastrutture come [[Anello (algebra)|anelli]] e via via più specifiche) che "non modifica nulla" se posto sia a sinistra che a destra in un'operazione. Un elemento neutro per un'operazione è sia un elemento neutro a destra che un elemento neutro a sinistra di quell'operazione. È sinonimo di elemento neutro il termine '''[[Unità (matematica)|unità]]''' in una delle sue accezioni.

È sinonimo di elemento neutro il termine '''[[unità]]''' in una delle sue accezioni.

Una proprietà che può avere un'[[operazione binaria]] è l'esistenza dell'elemento neutro.

== Definizione ==

Formalmente, un'operazione binaria interna <math>*</math> su un [[insieme]] ''<math>X''</math> è detta possedere l<nowiki>'</nowiki>'''elemento neutro''' ''e''a destra <math>u</math> se soddisfa la relazione

:<math>a*u=a,</math>

:''a'' * ''e'' = ''e'' * ''a'' = ''a''

e un elemento neutro a sinistra <math>q</math> se

Quindi, quando <math>*</math> possiede l<nowiki>'</nowiki>'''elemento neutro''' ''e'', questo puo' non essere espresso esplicitamente.

:<math>q*a=a.</math>

Se <math>*</math> possiede un elemento <math>e</math> neutro sia a destra che sinistra, ovvero

<math>a*e=e*a=a,</math>

<math>e</math> è detto elemento neutro di <math>*</math>.

== Proprietà ==

=== Unicità ===

Una Un'operazione binaria può non avere nessun elemento neutro. Ad esempio, l'operazione

: ''a'' * ''b'' := ''a''

:<math>a*b:=a</math>

non ha nessun elemento neutro (se l'insieme consta di almeno due elementi). D'altra parte, si dimostra facilmente che non ci può essere più di un elemento neutro. Infatti, se ce ne fossero due ''e'' ed ''f'', avremmo

: ''f'' = ''e'' * ''f'' = ''e''

non ha nessun elemento neutro (se l'insieme consta di almeno due elementi). D'altra parte, si dimostra facilmente che non ci può essere più di un elemento neutro. Infatti, se ce ne fossero due ''<math>e''</math> ed ''<math>f''</math>, avremmo

e quindi ''e'' = ''f''.

:<math>f=e*f=e,</math>

e quindi ''<math>e'' = ''f''</math>.

=== Strutture ===

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[monoide]] e in particolare [[gruppoLoop (matematicaalgebra)|gruppoloop]]. Ad esempio, se consideriamo i [[numeri interi]] con l'operazione di prodotto, non otteniamo un gruppo (i numeri interi generalmente non hanno inverso), ma solo un monoide e il suo elemento neutro è dato dal numero 1. Tipici elementi neutri di gruppi sono le trasformazioni identità dei [[gruppo di trasformazioni|gruppi di trasformazioni]].

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[monoide]] e in particolare [[gruppo (matematica)|gruppo]]. Ad esempio, se consideriamo i [[numeri interi]] con l'operazione di prodotto, non otteniamo un gruppo (i numeri interi generalmente non hanno inverso), ma solo un monoide e il suo elemento neutro è dato dal numero <math>1</math>. Tipici elementi neutri di gruppi sono le trasformazioni identità dei [[gruppo di trasformazioni|gruppi di trasformazioni]].

Nelle strutture algebriche con due o più operazioni binarie si possono avere più elementi neutri. In un [[anello (algebra)|anello]] ad es. si ha un elemento neutro per la somma e un elemento neutro per il prodotto; essi in genere sono denotati con 0 e 1 rispettivamente. In un'[[algebra su campo]] il prodotto può essere dotato o meno di elemento neutro; in caso di presenza di elemento neutro si parla di algebra unitale (o anche, ma meno opportunamente, di algebra unitaria).

Nelle strutture algebriche con due o più operazioni binarie si possono avere più elementi neutri. In un [[anello (algebra)|anello]] ad es.esempio si ha un elemento neutro per la somma e un elemento neutro per il prodotto; essi in genere sono denotati con <math>0</math> e <math>1</math> rispettivamente. In un'[[algebra su campo]] il prodotto può essere dotato o meno di elemento neutro; in caso di presenza di elemento neutro si parla di algebra unitale (o anche, ma meno opportunamente, di algebra unitaria).

== Voci correlate ==

* [[Gruppo (matematica)]]

* [[Unità (matematica)]]

* [[Elemento inverso]]

* [[es:Elemento neutroassorbente]]

* [[Zero]]

* [[Uno]]

== Collegamenti esterni ==

{{Portale|matematica}}

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Nozioni algebriche generali]]

[[Categoria:NozioniStrutture algebriche generali]]

[[ar:عنصر محايد (رياضيات)]]

[[bg:Неутрален елемент]]

[[ca:Element neutre]]

[[cs:Neutrální prvek]]

[[da:Neutralt element]]

[[de:Neutrales Element]]

[[en:Identity element]]

[[eo:Neŭtra elemento]]

[[es:Elemento neutro]]

[[et:Ühikelement]]

[[fi:Neutraalialkio]]

[[fr:Élément neutre]]

[[he:איבר יחידה]]

[[hr:Neutralni element]]

[[hu:Neutrális elem]]

[[is:Hlutleysa]]

[[ja:単位元]]

[[ko:항등원]]

[[lmo:Elemeent néutar]]

[[nl:Neutraal element]]

[[nn:Identitetselement]]

[[pl:Element neutralny]]

[[pt:Elemento neutro]]

[[ru:Нейтральный элемент]]

[[simple:Identity element]]

[[sk:Neutrálny prvok]]

[[sl:Nevtralni element]]

[[sr:Неутрал]]

[[sv:Neutralt element]]

[[th:สมาชิกเอกลักษณ์]]

[[tr:Birim öğe]]

[[uk:Нейтральний елемент]]

[[vi:Phần tử đơn vị]]

[[yi:נאטוראלע עלעמענט]]

[[zh:單位元]]