Linea spezzata: differenze tra le versioni

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[[File:Esempio rasterizzazione poligono flood fill 2.png|thumb|Una linea spezzata chiusa.]]

In [[geometria]], una '''linea spezzata''' o '''polilinea''', è un [[insieme finito]] e [[ordine totale|totalmente ordinato]] di [[segmento orientato|segmenti orientati]] ''ordinatamente consecutivi'' (cioè tali che il secondo estremo di un segmento coincidacoincide con il primo estremo del segmento successivo ed esso siaè l'unico punto in comune fra i due segmenti) e ''ordinatamente non adiacenti'' (cioè tali che non appartengono alla stessa retta un segmento ede il suo successivo e non appartenganoappartengono alla stessa retta nemmeno il primo e l'ultimo segmento nel caso in cui essi abbiano almeno un punto in comune). I segmenti della polilinea sono detti ''lati'' della polilinea e gli estremi dei segmenti sono detti ''vertici'' della polilinea.

== Descrizione ==

Per semplificare (a spese della precisione) una linea spezzata, o polilinea, è l'unione di due o più segmenti consecutivi non adiacenti.

Per semplificare (a spese della precisione): una linea spezzata, o polilinea, è l'unione di due o più segmenti consecutivi non adiacenti. La semplificazione consiste nel non considerare l'ordinamento che, però, assieme ad altri dettagli serve per evitare che ricadano nella definizione di linea spezzata degli insiemi di segmenti che il senso comune non considera tali o per i quali non valgono i consueti teoremi sui poligoni e serve anche per poter dare la definizione di polilinea intrecciata / semplice.

Evidenziamo fin da subito la differenza fra l'aggettivo "consecutivo" e quello "successivo":

Una linea spezzata può essere aperta / chiusa e intrecciata / non intrecciata:

# un segmento ''y'' si dice consecutivo di un segmento ''x'' se i due segmenti hanno un solo punto in comune che risulta estremo di entrambi; questa relazione tra segmenti prescinde dall'esistenza di un ordinamento tra segmenti ed è simmetrica;

# - è '''aperta''' se il primo estremo del primo segmento (il primo vertice) e il secondo estremo dell'ultimo segmento (ultimo vertice) non coincidono; in caso contrario (coincidenza di primo e ultimo vertice) la linea spezzata si dice '''chiusa''' (si sottolinea che, in questo caso, in base alla definizione, il primo e l'ultimo lato non possono giacere sulla stessa retta);

# un segmento ''y'' si dice successivo del segmento ''x'' se entrambi i segmenti sono elementi di un insieme [[ordine totale|totalmente ordinato]] e se, rispetto a tale ordinamento, ''y'' ha numero d'ordine immediatamente seguente a quello di ''x'' (ad esempio, nel caso in cui ''x'' abbia numero d'ordine ''n'', se ''y'' ha numero d'ordine ''n''+1); questa relazione tra segmenti necessita di un ordinamento tra segmenti e non è simmetrica.

# - è '''intrecciata''' se almeno due lati non consecutivi della linea hanno intersezione non vuota e se, nel caso in cui tali lati siano il primo e l'ultimo, l'intersezione non si riduce al primo e ultimo vertice (cioè la polilinea non sia chiusa); in caso contrario, cioè quando ogni coppia di segmenti non consecutivi hanno intersezione vuota con l'esclusione dell'eventuale coincidenza del primo vertice con l'ultimo, la pollinea si dice '''non intrecciata'''.

In una polilinea, per definizione, due lati successivi devono essere consecutivi ma due lati consecutivi non sono per forza uno successivo dell'altro (ad esempio, come vedremo fra poco, se una polilinea è chiusa il primo e l'ultimo lato sono consecutivi ma nessuno dei due è successivo dell'altro).

I due attributi (aperto e intrecciato) sono indipendenti tra loro: esistono polilinee "aperte intrecciate", "aperte non intrecciate", "chiuse intrecciate" e "chiuse non intrecciate". Si ribadisce che la chiusura di una linea spezzata non implica che essa sia intrecciata; affinché una polilinea sia intrecciata l'intersezione di due lati non consecutivi può anche essere vertice di ambedue i lati ma non può essere contemporaneamente primo e ultimo vertice della linea spezzata.

Una linea spezzata può essere aperta /o chiusa e intrecciata /o non intrecciatasemplice:

Secondo le definizioni date, una polilinea intrecciata può avere un lato parzialmente o interamente contenuto in un altro NON consecutivo ma, sempre in base alle definizioni date, questo non può accadere per il primo e l'ultimo lato. Si potrebbe modificare la definizione di linea spezzata per evitare che due lati qualunque abbiano più di un punto in comune (e non solo il primo e l'ultimo); di solito non si opera questa restrizione perché per gli enti derivati dalla linea spezzata (ad es. poligonale e poligono) si fa uso solo del concetto di linea spezzata NON intrecciata la quale non presenta punti in comune fra due lati qualsiasi (a parte i vertici di due lati consecutivi o il primo e l'ultimo vertice).

# - è '''aperta'' se non coincidono il primo e l'ultimo vertice cioè se il primo estremo del primo segmentolato (ilnon primoè vertice) eanche il secondo estremo dell'ultimo segmento (ultimo vertice) non coincidonolato; in caso contrario (coincidenza di primo e ultimo vertice) la linea spezzata si dice '''chiusa''' (si sottolinea che, in questo caso, in base alla definizione, il primo e l'ultimo lato non possono giacere sulla stessa retta);

# - è '''intrecciata''' se almeno due lati non consecutivisuccessivi della linea hanno intersezione non vuota e se, nel caso in cui tali lati siano solo il primo e l'ultimo, l'intersezione non si riduce al primo e ultimo vertice (cioèin altre parole: se almeno due lati non successivi della linea si intersecano e se, nel caso in cui gli unici due lati non successivi ad intersecarsi siano il primo e l'ultimo, la polilinea non siaè chiusa); in caso contrario, cioè quando ogni coppia di segmenti non consecutivisuccessivi hannoha intersezione vuota, conescludendo l'esclusioneil caso dell'eventuale coincidenza del primo verticee con l'ultimo vertice, la pollineapolilinea si dice '''non intrecciata'' oppure ''semplice''.

I due attributi (apertoaperta e intrecciatointrecciata) sono indipendenti tra loro così come le loro rispettive negazioni (chiusa e semplice): esistono polilinee "aperte intrecciate", "aperte non intrecciatesemplici", "chiuse intrecciate" e "chiuse non intrecciatesemplici". Si ribadisce che la chiusura di una linea spezzata non implica (né esclude) che essa sia intrecciata; affinché una polilinea sia intrecciata l'intersezione di due lati non consecutivisuccessivi può anche essere un vertice di ambedue i lati (cioè due lati non successivi possono essere consecutivi) ma se i soli due lati non puòsuccessivi ad avere un punto in comune sono il primo e l'ultimo allora il punto in comune non deve essere contemporaneamente primo e ultimo vertice della linea spezzata.

Secondo le definizioni date, una polilinea intrecciata può avere un lato parzialmente o interamente contenuto in un altro NON consecutivosuccessivo ma, sempre in base alle definizioni date, questo non può accadere per il primo e l'ultimo lato. Si potrebbe modificare la definizione di linea spezzata per evitare che due lati qualunque abbiano più di un punto in comune (e non solo il primo e l'ultimo) abbiano più di un punto in comune; di solito non si opera questa restrizione perché per gli enti derivati dalla linea spezzata (ad es. poligonale e poligono) si fa uso solo del concetto di linea spezzata NONchiusa intrecciatasemplice lail quale non presentaprevede punti in comune fra due lati qualsiasinon (asuccessivi partediversi idalla verticicoppia diprimo duelato lati- consecutivi o il primo e l'ultimo vertice)lato.

Una [[poligono|poligonale]] nel piano è una linea spezzata chiusa non intrecciata.

Nel piano, una linea spezzata chiusa semplice (cioè non aperta né intrecciata) si dice anche poligonale.

La parte finita di piano delimitata da una poligonale si dice [[poligono]].

== Esempi ed usi ==

Un esempio nello spazio di linea spezzata chiusa non intrecciata (poligonale) è dato dal [[quadrilatero sghembo]].

Le linee spezzate sono utilizzate nella rappresentazione dell'analisi iperdimensionale dei dati tramite l'impiego di [[coordinate parallele]].<ref>{{cita web |url=http://www.cs.ubc.ca/~tmm/courses/cpsc533c-05-fall/readings/wegman.pdf |titolo=Copia archiviata |accesso=4 settembre 2014 |urlmorto=sì |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20150923212723/http://www.cs.ubc.ca/~tmm/courses/cpsc533c-05-fall/readings/wegman.pdf |dataarchivio=23 settembre 2015 }}</ref>

== Note ==

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* [[Quadrilobo]]

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Geometria euclidea]]