Energia cinetica: differenze tra le versioni

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La formula generica dell'energia cinetica è la seguente: <math> K= \frac{1}{2} m v^2 </math>, dove <math>m</math> sta per la massa del corpo, espressa in [[Chilogrammo|chilogrammi]], e <math>v</math> per la sua velocità, espressa in [[Metro al secondo|m/s]] (metri al secondo). L'[[unità di misura]] dell'energia cinetica nel [[Sistema internazionale di unità di misura|sistema internazionale]] è il [[joule]].

==Descrizione==

Nella [[meccanica newtoniana]], valutiamo l'energia cinetica <math>E_{\rm c}</math> di una particella di massa <math>m</math> che, in un caso semplice, si muove su una retta secondo la legge oraria <math>x=x(t)</math>, con velocità <math>v=v(t)={\mathrm d}x/{\mathrm d}t</math>. <math>E_{\rm c}</math> sarà definita nel modo seguente:

:<math>E_{\rm c}=\int_{x_0}^{x} F(x) {\mathrm d} x</math>

dove <math> x_0 </math> denota il punto in cui la particella ha velocità pari a zero, ad un certo istante <math> t_0 </math>, <math> x </math> il punto in cui la particella ha velocità <math>v</math>, all'istante <math> t </math>, e <math>F(x) {\mathrm d} x</math> rappresenta il lavoro elementare fatto dalla forza <math>F</math> nello spostare la particella di <math>{\mathrm d} x</math>, dal punto <math>x</math> al punto <math>x + {\mathrm d} x</math>.

Per il II principio della dinamica, si ha <math>{\mathrm d} p/{\mathrm d} t= F</math>, dove <math>p=m v</math> è la quantità di moto della particella.

Ne segue:

:<math>\begin{align}

E_{\rm c}&=\int_{x_0}^{x} F(x) \mathrm d x = \int_{x_0}^{x} \left(\frac{{\mathrm d}p}{{\mathrm d} t}\right) {\mathrm d}x\\

&=\int_{x_0}^{x} m \left (\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} \right) {\mathrm d}x

=m \int_{0}^{v} {\mathrm d}v \left (\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \right)\\

&=m\int_{0}^{v} v {\,} {\mathrm d}v=\frac{1}{2}m v^2

\end{align}</math>

Per un [[punto materiale]], l'energia cinetica può sempre essere espressa nella sua totalità dal semiprodotto della sua [[Massa (fisica)|massa]] per il quadrato del modulo della sua [[velocità]];<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/K03402.html IUPAC Gold Book, "kinetic energy"]</ref> nel caso più generale di un moto in tre dimensioni, e utilizzando un sistema di [[Sistema di riferimento cartesiano|coordinate cartesiane]], l'energia cinetica si esprime come:

:<math> E_{\rm c} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2_x + v^2_y + v^2_z)</math>

L'energia cinetica di un [[corpo rigido]] a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare <math>\omega</math> e che trasla nello spazio con velocità <math>v</math> (velocità del [[centro di massa]]) è data dalla somma dell'energia cinetica traslazionale, precedentemente definita, e dell'energia cinetica rotazionale:

:<math> E_{\rm c} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega ^2 </math>

dove <math>m</math> è la massa totale del corpo e <math>I</math> il [[momento d'inerzia]] rispetto all'asse di rotazione.

Il valore dell'energia cinetica di un corpo dipende dal [[sistema di riferimento inerziale]] in cui esso viene calcolato. Per il [[teorema delle velocità relative]] Ponendo un sistema di riferimento fisso ed un punto con velocità v rispetto al sistema fisso, lo stesso punto avrà una velocità diversa rispetto ad un altro sistema di riferimento in movimento, quindi anche il valore dell'energia cinetica cambierà.

Una utile relazione tra l'energia cinetica <math>E_{\rm c}</math> e il modulo della [[quantità di moto]] <math>p=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}</math> è data dalla seguente relazione:

:<math>E_{\rm c}=\frac{p^2}{2m}\quad \Rightarrow \quad p=\sqrt{2m E_{\rm c}}</math>

In determinati casi può essere utile definire un{{'}}''energia cinetica specifica'' <math>\epsilon_{\rm c}</math>, definita come energia cinetica per unità di volume:

:<math>\epsilon_{\rm c} = \frac{{\mathrm d}E_{\rm c}}{{\mathrm d}V} = \frac{1}{2} \frac{{\mathrm d}m}{{\mathrm d}V} v^2 = \frac{1}{2} \rho v^2</math>

== Espressione in coordinate generalizzate ==

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:<math> \mathbf q : \R \to \mathcal C \, , </math>

che cioè manda un [[numero reale]] nello spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello [[Spaziotempo|spazio-tempo]], bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione

:<math> \mathbf x : \mathcal C \times \R \to \mathcal C \, , \qquad \mathbf{ x} = \mathbf{ x}(\mathbf{ q}(t),t) </math>