Processo stocastico: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], più precisamente nella [[teoria della probabilità]], un '''processo stocastico''' (o '''processo aleatorio''') è unala generalizzazioneversione dell'ideaprobabilistica del concetto di [[variabilesistema casualedinamico]],. eUn puòprocesso euristicamentestocastico essereè interpretatoun comeinsieme unaordinato variabile casuale che prenda valori in spazi più generali deidi [[numerofunzione reale(matematica)|numeri realifunzioni]] (comereali addi esempio,un <math>certo \mathbf{R}^nparametro </math>(in ,genere oil [[spazio funzionale|spazi funzionalitempo]],) oche gode di determinate proprietà [[successione (matematica)statistica|successionistatistiche]]. diIn numeri reali). Pertanto,generale è in genere possibile identificare unquesto processo stocastico come una famiglia adcon un parametro di [[variabili casuali]] reali. Supponiamo<math>X(t)</math> adrappresentanti esempiole ditrasformazioni volerdallo modellizzarestato matematicamenteiniziale laallo dinamicastato didopo un puntocerto chetempo si<math>t</math>. muoveIn sutermini dipiù unaprecisi rettaquesto consi basa su una leggevariabile probabilistica.casuale Possiamoche introdurresupera unil processolimite stocasticodei come[[numero lareale|numeri collezionereali]] delle(come variabiliad casualiesempio, <math>\{X_t, t \in \mathbf{R}^n \}</math>, doveo per[[spazio ognifunzionale|spazi valorefunzionali]], dellao variabile[[successione ''tempo''(matematica)|successioni]] <math>di tnumeri </math>,reali). <math>I X_t</math>processi èaleatori semplicementesono laun'estensione variabiledel casualeconcetto (reale)di chevariabile esprimealeatoria laquando leggeviene probabilisticapreso delin puntoconsiderazione consideratoanche alil parametro tempo <math> t</math>.

== Concetti e definizioniDescrizione ==

Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un [[segnale elettrico]] contenente [[informazione]] ovvero [[modulazione|modulato]], il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni a un istante <math>t</math> si ottiene una variabile aleatoria <math>X(t)</math> che comprende i diversi valori che il processo può assumere in quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore al centro della "campana" gaussiana all'istante <math>t</math>. Quindi per ciascun istante si può definire una variabile aleatoria, una gaussiana o altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

Le situazioni descritte dalle variabili casuali sono dette '''[[stato di sistema|stati del sistema]]'''

e vengono indicati p.es. con S₀, S₁, S₂, S₃,...

=== Concetti e definizioni ===

Se l'insieme T={t_i} è continuo, allora si parla di processo stocastico '''continuo nel tempo'''

Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su uno [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

e analogamente, se T è discreto, si parla di processo stocastico '''discreto nel tempo'''.

In alternativa si usa la formulazione ''processo stocastico '''a parametro discreto''''' o ''continuo''.

Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t}</math>, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo a una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(\tilde{t})</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante; quindi, rispetto a una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

Se la variabile casuale è [[variabile casuale discreta|discreta]] allora si parla di

'''[[processo stocastico discreto]]''', se invece è una [[variabile casuale continua|v.c. continua]]

allora si parla di '''[[processo stocastico continuo]]''' (sottinteso ''nello spazio degli eventi'').

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o, analogamente, la [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili aleatorie <math>\{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}</math>.

I processi stocastici si distinguono in ''[[processo markoviano|markoviani]]'' e ''non markoviani''

a seconda che la legge di probabilità che determina il passaggio da uno stato all'altro ('''probabilità di transizione''')

dipenda unicamente dallo stato di partenza ('''[[processo markoviano]]''')

o anche dagli stati ad esso precedenti ('''processo non markoviano''').

Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme <math>T=\{t_i, i=1,2,\ldots,n\}</math>, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

Se la probabilità di transizione

dipende dagli stati precedenti ma non dipende esplicitamente dal tempo ''t'',

allora si parla di '''[[processo stocastico omogeneo]]'''.

L'insieme dei valori che possono assumere le realizzazioni costituisce il suddetto [[stato di sistema|spazio degli stati]] del processo e rappresenta le "situazioni" descritte dalle variabili casuali e indicate per esempio con <math>s_0,s_1,s_2,\ldots</math>. Tale insieme può essere continuo o discreto: in quest'ultimo caso, che implica la numerabilità degli stati, il processo aleatorio viene definito catena.

Se la variabile casuale è [[variabile casuale discreta|discreta]] allora si parla di "[[processo stocastico discreto]]", se invece è una [[variabile casuale continua]] allora si parla di "[[processo stocastico continuo]]" (sottinteso "nello spazio degli eventi").

I processi stocastici si distinguono in [[processo markoviano|markoviani]] e non markoviani a seconda che la legge di probabilità che determina il passaggio da uno stato all'altro (probabilità di transizione) dipenda unicamente dallo stato di partenza ([[processo markoviano]]) o anche dagli stati ad esso precedenti (processo non markoviano).

Se la probabilità di transizione dipende dagli stati precedenti ma non dipende esplicitamente dal tempo ''t'', allora si parla di [[processo stocastico omogeneo]].

I [[processi stocastici ciclostazionari]] servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.

=== Esempio introduttivo ===

Si supponga di voler definire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su una retta con una data legge probabilistica. Si può definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore del tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se si definisce <math>S_t</math> come la soluzione all'equazione differenziale stocastica

:<math>dS_t=- \mu S_t dt + \sigma dW_t,</math>

dove <math>\mu \in \R</math>, <math>\sigma \in \R_{>0} </math> e <math>W_t</math> denota il processo di Wiener, allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein-Uhlenbeck]].

== Bibliografia ==

* {{en}} Malempati Madhusudana Rao (1995): ''Stochastic Processes: General Theory'', Kluwer, ISBN 0-7923-3725-5

* {{en}} [[Kiyoshi Itō]] (2004): ''Stochastic Processes'', Springer, ISBN 3-540-20482-2

* {{en}} {{Cita pubblicazione|nome=G. E. |cognome=Uhlenbeck |nome2=L. S. |cognome2=Ornstein |titolo=On the theory of Brownian Motion |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1930-09-01_36_5/page/n31 |rivista=Phys. Rev. |volume=36 |pp=823-841 |anno=1930 |doi=10.1103/PhysRev.36.823 }}

==Voci correlate==

*[[Variabile casuale]]

*[[Spazio di probabilità]]

*[[Processo stazionario]]

*[[Ergodicità]]

*[[Processo markoviano]]

*[[Processo gaussiano]]

*[[Processo di Wiener]]

*[[Funzione càdlàg]]

*[[Matrice aleatoria]]

==Altri progetti==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=processo stocastico|wikt_etichetta=processo stocastico}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{cita web|1=http://philo.at/wiki/index.php/Quantenphysik_und_Indeterminismus|2=Quantenphysik und Indeterminismus|lingua=de|accesso=22 dicembre 2009|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120523154754/http://philo.at/wiki/index.php/Quantenphysik_und_Indeterminismus|dataarchivio=23 maggio 2012|urlmorto=sì}}

*{{cita web|http://www.informationphilosopher.com/freedom/indeterminism.html|The problem of indeterminism|lingua=en}}

*{{cita web |1=http://indeterminismo.bravehost.com |2=Indeterminismo |accesso=6 novembre 2018 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160304100711/http://indeterminismo.bravehost.com/ |dataarchivio=4 marzo 2016 |urlmorto=sì }}

{{Probabilità}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Processi stocastici]]

[[Categoria:Processi stocastici| ]]

[[ar:عملية عشوائية]]

[[de:Stochastischer Prozess]]

[[en:Stochastic process]]

[[eo:Stokastiko]]

[[es:Proceso estocástico]]

[[fa:فرایند تصادفی]]

[[fi:Stokastinen prosessi]]

[[fr:Processus stochastique]]

[[gl:Proceso estocástico]]

[[ja:確率過程]]

[[nl:Stochastisch proces]]

[[pl:Proces stochastyczny]]

[[pt:Estocástico]]

[[ro:Proces stocastic]]

[[ru:Случайный процесс]]

[[su:Prosés stokastik]]

[[vi:Quá trình ngẫu nhiên]]

[[zh:随机过程]]