Processo stocastico: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], epiù inprecisamente particolare innella [[teoria della probabilità]], un '''processo stocastico''' (o '''processo aleatorio''') è la versione probabilistica del concetto di [[sistema dinamico]]. InUn processo stocastico è un insieme ordinato di [[funzione (matematica)|funzioni]] reali di un certo parametro (in genere, il [[tempo]]) che gode di determinate proprietà [[statistica|statistiche]]. In generale è possibile identificare unquesto processo stocastico come una famiglia adcon un parametro di [[variabili casuali]] reali <math>X(t)</math> rappresentanti le trasformazioni dellodallo stato iniziale nelloallo stato aldopo un certo tempo <math>t</math>. In termini più precisi, unquesto processosi stocasticobasa èsu una variabile casuale che prendesupera valori in spazi piùil generalilimite dei [[numero reale|numeri reali]] (come ad esempio, <math> \R^n </math>, o [[spazio funzionale|spazi funzionali]], o [[successione (matematica)|successioni]] di numeri reali). I processi aleatori sono un'estensione del concetto di variabile aleatoria quando viene preso in considerazione anche il parametro tempo.

== Descrizione ==

Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un [[segnale elettrico,]] contenente [[informazione]] ovvero [[modulazione|modulato]], il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni ina un preciso istante '''<math>t'''</math> otteniamosi ottiene una variabile aleatoria '''<math>X'''(t)</math> che comprende i diversi valori che il processo potrebbepuò assumere in quel preciso quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore medioal centro della "campana" gaussiana all'istante '''<math>t</math>.''' Quindi per ciascun istante disi tempo possiamopuò definire una gaussiana (o più in generale una variabile aleatoria, vistouna chegaussiana nono esistono soltanto quelle gaussiane)altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

=== Concetti e definizioni ===

== Esempio introduttivo ==

Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su un unicouno [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> finito e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

Supponiamo di voler modellare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore della variabile tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se decidiamo di definire <math>S_t</math> in maniera differenziale tramite l'equazione

Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t}</math>, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ada una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(\tilde{t})</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante,; quindi, rispetto ada una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

:<math>dS_t=-S_t dt + dW_t,</math>

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o, analogamente, la [[Variabile_casualeVariabile casuale#Distribuzione_di_probabilitDistribuzione di probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili aleatorie <math>\{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}</math>.

allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein-Uhlenbeck]].

== Concetti e definizioni ==

Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su un unico [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> finito e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t}</math>, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ad una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(\tilde{t})</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante, quindi, rispetto ad una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o analogamente la [[Variabile_casuale#Distribuzione_di_probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili aleatorie <math>\{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}</math>.

Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme <math>T=\{t_i, i=1,2,\ldots,n\}</math>, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

L'insieme dei valori che possono assumere le realizzazioni costituisce il suddetto [[stato di sistema|spazio degli stati]] del processo e rappresenta le "situazioni" descritte dalle variabili casuali e indicate per esempio con <math>s_0,s_1,s_2,\ldots</math>. Tale insieme può essere continuo o discreto: in quest'ultimo caso, che implica la numerabilità degli stati, il processo aleatorio viene definito [[catena]].

Se la variabile casuale è [[variabile casuale discreta|discreta]] allora si parla di "[[processo stocastico discreto]]", se invece è una [[variabile casuale continua]] allora si parla di "[[processo stocastico continuo]]" (sottinteso "nello spazio degli eventi").

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I [[processi stocastici ciclostazionari]] servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.

=== Esempio introduttivo ===

SupponiamoSi supponga di voler modellaredefinire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. PossiamoSi introdurrepuò definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore della variabiledel tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se decidiamosi di definiredefinisce <math>S_t</math> income manierala differenziale tramitesoluzione lall'equazione differenziale stocastica

:<math>dS_t=- \mu S_t dt + \sigma dW_t,</math>

dove <math>\mu \in \R</math>, <math>\sigma \in \R_{>0} </math> e <math>W_t</math> denota il processo di Wiener, allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein-Uhlenbeck]].

== Bibliografia ==

* {{en}} Malempati Madhusudana Rao (1995): ''Stochastic Processes: General Theory'', Kluwer, ISBN 0-7923-3725-5

* {{en}} [[Kiyoshi Itō]] (2004): ''Stochastic Processes'', Springer, ISBN 3-540-20482-2

* {{en}} {{Cita pubblicazione|nome=G. E. |cognome=Uhlenbeck |nome2=L. S. |cognome2=Ornstein |titolo=On the theory of Brownian Motion |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1930-09-01_36_5/page/n31 |rivista=Phys. Rev. |volume=36 |pp=823-841 |anno=1930 |doi=10.1103/PhysRev.36.823 }}

==Voci correlate==

*[[Variabile casuale]]

*[[Spazio di probabilità]]

*[[Processo stazionario]]

*[[Ergodicità]]

*[[Processo markoviano]]

*[[Processo gaussiano]]

*[[Processo di Wiener]]

*[[Funzione càdlàg]]

*[[Matrice aleatoria]]

==Altri progetti==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=processo stocastico|wikt_etichetta=processo stocastico}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{de}} [http://philo.at/wiki/index.php/Quantenphysik_und_Indeterminismus Quantenphysik und Indeterminismus]

*{{cita web|1=http://philo.at/wiki/index.php/Quantenphysik_und_Indeterminismus|2=Quantenphysik und Indeterminismus|lingua=de|accesso=22 dicembre 2009|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120523154754/http://philo.at/wiki/index.php/Quantenphysik_und_Indeterminismus|dataarchivio=23 maggio 2012|urlmorto=sì}}

*{{en}}cita [web|http://www.informationphilosopher.com/freedom/indeterminism.html |The problem of indeterminism]|lingua=en}}

*[http://indeterminismo.bravehost.com Indeterminismo]

*{{cita web |1=http://indeterminismo.bravehost.com |2=Indeterminismo |accesso=6 novembre 2018 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160304100711/http://indeterminismo.bravehost.com/ |dataarchivio=4 marzo 2016 |urlmorto=sì }}

{{Probabilità}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

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