Logica fuzzy: differenze tra le versioni

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La '''logica fuzzy''' (o '''logica sfumata''' o '''logica sfocata''') è una [[logica]] in cui si può attribuire a ciascuna [[Logica proposizionale|proposizione]] o [[Teoria del primo ordine|predicato]] un grado di verità diverso da 0 e 1 e compreso tra di loro. È una [[logica polivalente]], ossia un'estensione della [[logica]] [[Algebra di Boole|booleana]]. È legata alla teoria degli [[insiemi sfocati]]. Già intuita da [[Werner Karl Heisenberg]], [[Jan Łukasiewicz]] e [[Max Black]], fu concretizzata da [[Lotfi Zadeh]].
{{Citazione|Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e, finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.|[[Albert Einstein]], da ''Sidelights on Relativity'', 1922<ref>{{en}}Per il testo completo si veda [http://pdfbooks.co.za/library/ALBERT_EINSTEIN-SIDELIGHTS_ON_RELATIVITY.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170809033112/http://pdfbooks.co.za/library/ALBERT_EINSTEIN-SIDELIGHTS_ON_RELATIVITY.pdf |date=9 agosto 2017 }}, oppure [http://www.ibiblio.org/ebooks/Einstein/Sidelights/Einstein_Sidelights.pdf]</ref>}}
La '''logica fuzzy''' (o '''logica sfumata''' o '''logica sfocata''') è una [[logica]] in cui si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità diverso da 0 e 1 e compreso tra di loro. È una [[logica polivalente]], ossia un'estensione della [[logica]] [[Algebra di Boole|booleana]]. È legata alla teoria degli [[insiemi sfocati]]. Già intuita da [[Cartesio]], [[Bertrand Russell]], [[Albert Einstein]], [[Werner Karl Heisenberg]], [[Jan Łukasiewicz]] e [[Max Black]], fu concretizzata da [[Lotfi Zadeh]].
 
Con ''grado di verità'' o ''valore di appartenenza'' si intende quanto è vera una proprietà, che può essere, oltre che vera (= a valore 1) o falsa (= a valore 0) come nella logica classica, anche parzialmente vera e parzialmente falsa.
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== Storia ==
Nei primi [[anni 1960|anni sessanta]], [[Lotfi Zadeh|Lotfi A. Zadeh]], professore all'[[Università della California, - Berkeley|Università della California di Berkeley]], noto per i suoi contributi alla [[teoria dei sistemi]], cominciò a capire che le tecniche tradizionali di analisi dei sistemi erano eccessivamente e inutilmente accurate per molti problemi tipici del mondo reale. L'idea di grado d'appartenenza, concetto divenuto poi la spina dorsale della teoria degli insiemi sfumati, fu da lui introdotta nel [[1964]], e ciò portò in seguito, nel [[1965]], alla pubblicazione di un primo articolo e alla nascita della logica sfumata.<ref>{{cita|Zadeh (1965)}}.</ref>
Il concetto di [[insieme sfumato]] (o insieme sfocato), e di logica sfumata, attirò le aspre critiche della comunità accademica; nonostante ciò studiosi e scienziati di tutto il mondo - dei campi più diversi, dalla psicologia alla sociologia, dalla filosofia all'economia, dalle scienze naturali all'ingegneria - divennero seguaci di Zadeh.
 
In Giappone la [[Ricerca scientifica|ricerca]] sulla logica sfumata cominciò con due piccoli gruppi universitari fondati sul finire degli [[anni 1970|anni settanta]]: il primo era guidato, a Tokyo, da T. Terano e H. Shibata, l'altro si stabilì a Kanasai sotto la guida di K. Tanaka e Kiyoji Asai. Al pari dei [[ricercatore|ricercatori]] americani questi studiosi si scontrarono, nei primi tempi, con un'atmosfera avversa alla logica fuzzy. E tuttavia la loro tenacia e il duro lavoro si sarebbero dimostrati estremamente fruttuosi già dopo un decennio: i ricercatori giapponesi, i loro studenti e gli studenti di questi ultimi produssero importanti contributi sia alla teoria sia alle applicazioni della logica fuzzy.
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La logica fuzzy ha trovato applicazione anche in campo finanziario. Il primo sistema per le compravendite azionarie a logica sfumata è stato lo Yamaichi Fuzzy Fund, usato in sessantacinque aziende, e tratta la maggioranza dei titoli quotati dell'indice [[Nikkei 225|Nikkei]] Dow, e consiste approssimativamente in ottocento regole, determinate con cadenza mensile da un gruppo di esperti e, se necessario, modificate da esperti analisti finanziari. Il sistema è stato testato per due anni e il suo rendimento ha superato l'indice Nikkei Average di oltre il 20%. Durante il periodo di prova il sistema consigliò "''sell''", ossia "vendere", ben diciotto giorni prima del [[Lunedì nero del 1987|Lunedì Nero]] (19 ottobre [[1987]]): nel corso di quel solo giorno l'indice [[Dow Jones]] Industrial Average diminuì del 23%. Il sistema divenne operativo nel [[1988]].
 
Il primo chip [[Very large scale integration|VLSI]] (Very Large Scale Integration) dedicato alla computazione d'inferenze fuzzy fu sviluppato da Masaki Togai e H. Watanabe nel [[1986]]: chip di tal genere sono in grado di migliorare le prestazioni dei sistemi fuzzy per tutte le applicazioni in tempo reale. Diverse imprese (per esempio, Togai Infralogic<ref>{{Cita web|lingua=en}}[|url=http://www.ortech-engr.com/fuzzy/togai.html |titolo=Togai InfraLogic; The World's Source For Fuzzy Logic Solutions] {{Webarchive|urlurlarchivio=https://web.archive.org/web/20090207073536/http://www.ortech-engr.com/fuzzy/togai.html |date=7 febbraio 2009 }}</ref>, Aptronix<ref>{{Cita web|lingua=en}}[|url=http://www.aptronix.com/ |titolo=Welcome to Aptronix, Inc.: the Fuzzy Logic Company in the Silicon Valley] {{webarchive|urlurlarchivio=https://web.archive.org/web/20081223051123/http://www.aptronix.com/ |data=23 dicembre 2008 }}</ref>, Inform GmbH<ref>{{Cita web|lingua=en}}[|url=http://www.fuzzytech.com/ |titolo=Inform (fuzzytech)]}}</ref>) sono state costituite allo scopo di commercializzare strumenti hardware e software per lo sviluppo di sistemi a logica sfumata. Allo stesso tempo, anche i produttori di software, nel campo della teoria convenzionale del controllo, cominciarono a introdurre pacchetti supplementari di progettazione dei sistemi fuzzy. Il Fuzzy Logic Toolbox per [[MATLAB]], ad esempio, è stato presentato quale componente integrativo nel [[1994]].
 
== Concetti fondamentali ==
Una delle prime formalizzazioni della logica fuzzy fu di [[Joseph Goguen]] nel 1969 nell'articolo "La logica dei concetti inesatti".
Nel [[1994]] Zadeh scriveva:
<ref>{{cita pubblicazione|lingua=en|autore=Joseph A. Goguen|titolo=The logic of inexact concepts|rivista=Synthese|volume=19|numero=3/4|pp=325-373|anno=1969}}</ref>
<ref>{{cita pubblicazione|lingua=en|autore=Radim Belohlavek|titolo=Goguen's contributions to fuzzy logic in retrospect|rivista=International Journal of General Systems|volume=48|anno=2019|numero=8|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/03081079.2019.1675051|abstract=sì|doi=10.1080/03081079.2019.1675051|pp=811-824}}</ref>
[[Lotfi Zadeh]] considerava l'approccio di Goguen del 1969 alla logica dei concetti inesatti come fondamentale nel campo della logica fuzzy
<ref>{{cita pubblicazione|lingua=en|autore=Lofti A. Zadeh|titolo=Joseph Amadee Goguen (1941–2006): A personal tribute|rivista=Fuzzy Sets and Systems|volume=158|numero=8|pp=809-810|anno=2007}}</ref>
 
Nel 1994 Zadeh scriveva:
{{Citazione|Il termine ''logica fuzzy'' viene in realtà usato in due significati diversi. In senso stretto è un sistema logico, estensione della logica a valori multipli, che dovrebbe servire come logica del ragionamento approssimato. Ma in senso più ampio ''logica fuzzy'' è più o meno sinonimo di ''teoria degli insiemi fuzzy'' cioè una teoria di classi con contorni indistinti. Ciò che è importante riconoscere è che oggi il termine ''logica fuzzy'' è usato principalmente in questo significato più vasto}}
 
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Orbene, la [[logica classica|logica aristotelica]] si dimostra incapace di stabilire se queste proposizioni siano vere o false. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente; ma giacché il paradosso contiene un riferimento a sé stesso, non può assumere un valore che sia ben definito (o vero o falso) senza autocontraddirsi: ciò implica che ogni tentativo di risolvere la questione posta si traduce in un'oscillazione senza fine tra due estremi opposti. Il vero implica il falso, e viceversa.
 
Secondo [[Bart Kosko]], uno dei più brillanti allievi di Zadeh, infatti, se quanto afferma Epimenide è vero, allora il cretese mente: pertanto, poiché Epimenide è cretese, quindi mente, dobbiamo concludere che egli dice il vero. Viceversa, se l'affermazione di Epimenide è falsa, allora il cretese Epimenide non mente, e pertanto si deduce che egli mente. In termini simbolici, indicato con V l'enunciato del [[Paradossi di Eubulide|paradosso di Eubulide]], e con v = 0/1 il suo [[valore di verità]] binario, si ha, analizzando separatamente i due casi possibili:
 
# <math>V\,\,\, vera, \,\,\, v=1 \rarr !V\,\,\, falsa,\,\,\, !v = 0 \rarr v = 1-!v </math>
# <math>V\,\,\, falsa, \,\,\, v=0 \rarr !V\,\,\, vera,\,\,\, !v = 1 \rarr v = 1-!v </math>
 
e tenendo presente che, come mostrato in precedenza, il valore di verità di V coincide con quello della sua negazione !V, vale a dire: v=!v, si perviene all'equazione logica che esprime tale contraddizione:
:<math> v=1-v</math>
la cui soluzione è banalmente data da:
:<math> v=1/2 </math>
 
Da ciò si deduce finalmente che l'enunciato del [[paradosso]] non è né vero né falso, ma è semplicemente una mezza verità o, in maniera equivalente, una mezza falsità. Le due possibili conclusioni del paradosso si presentano nella forma contraddittoria ''A e non-A'', e questa sola contraddizione è sufficiente a inficiare la [[logica bivalente]]. Ciò al contrario non pone alcun problema alla logica fuzzy, poiché, quando il cretese mente e non mente allo stesso tempo, lo fa solo al 50%. Quanto esposto conferma la sua validità in tutti i paradossi di autoriferimento.
 
È interessante notare come, ammettendo esplicitamente l'esistenza di una contraddizione, la condizione che la traduce venga poi impiegata per determinare l'unica soluzione contraddittoria tra le infinite possibili (sfumate, cioè a valori di verità frazionari) per la questione posta: ciò conferma l'insussistenza dei principi di non contraddizione e del terzo escluso nella logica anche se ovviamente rimangono validi parlando di Razionalità Interne Oggettive.
 
Infatti, nella logica fuzzy l'esistenza di circostanze ''paradossali'', vale a dire di situazioni in cui un certo enunciato è contemporaneamente vero e falso ''allo stesso grado'', è evidenziata da ciascuno dei punti d'intersezione tra una generica funzione d'appartenenza e il suo complemento, avendo necessariamente tali punti ordinata pari a ½.
Ciò in quanto il valore di verità della proposizione in questione coincide con il valore di verità della sua negazione.
 
Gli [[Connettivo logico|operatori]] logici]] AND, OR e NOT della [[logica]] booleana sono definiti di solito, nell'ambito della logica fuzzy, come operatori di minimo, massimo e complemento; in questo caso, sono anche detti ''operatori di Zadeh'', in quanto introdotti per la prima volta nei lavori originali dello stesso Zadeh. Pertanto, per le variabili fuzzy x e y si ha, ad esempio:
:<math> \operatorname{NOT}\,x = (1 - v(x)) </math>
:<math>x\, \operatornamemathrel{\mathrm{AND}\,} y = \min(v(x), v(y))</math>
:<math>x\, \operatornamemathrel{\mathrm{OR}} \,y = \max(v(x), v(y))</math>
Si è detto che la teoria degli [[insiemi sfumati]] generalizza la teoria convenzionale degli insiemi; pertanto anche le sue basi assiomatiche sono inevitabilmente diverse. A causa del fatto che il principio del terzo escluso non costituisce un assioma della teoria degli insiemi fuzzy, non tutte le espressioni e le identità, logicamente equivalenti, dell'[[algebra booleana]] mantengono la loro validità anche nell'ambito della logica fuzzy.
 
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=== Applicazione a situazioni reali ===
{{Citazione|Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e, finché sono certe, non si riferiscono alla realtà.|[[Albert Einstein]], da ''Sidelights on Relativity'', 1922<ref>Per il testo completo si veda {{cita web|lingua=en|formato=PDF|url=http://pdfbooks.co.za/library/ALBERT_EINSTEIN-SIDELIGHTS_ON_RELATIVITY.pdf]|titolo=SIDELIGHTS ON RELATIVITY
|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170809033112/http://pdfbooks.co.za/library/ALBERT_EINSTEIN-SIDELIGHTS_ON_RELATIVITY.pdf }}</ref>}}
 
Una semplice applicazione potrebbe essere la categorizzazione in sotto ranghi di una variabile continua.
Per esempio, la misura di una temperatura per un sistema anti-blocco di un impianto frenante potrebbe avere diverse funzionalità a seconda di particolari range di temperature per controllare i freni nella maniera corretta. Ogni funzione mappa un certo range di temperatura, come valori booleani 0 o 1 a seconda che la temperatura sia o meno nel range specifico. Questi valori booleani possono essere utilizzati per determinare la maniera in cui i freni devono essere controllati.
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[[File:Fuzzy logic temperature it.svg|center]]
In questa immagine le tre funzioni, ''freddo'' (in blu), ''tiepido'' (in arancione), e ''caldo'' (in rosso) sono rappresentate nel diagramma riferite alla comune variabile, la temperatura. Una particolare temperatura assunta dal sistema anti-blocco (linea verticale in grigio) ha tre valori logici, uno per ciascuna delle tre funzioni. Finché la freccia rossa punta a zero, la funzione ''caldo'' non è vera (temperatura non calda, con operatori matematici: "NOT hot"). La freccia arancione (che punta a 0,2) indica che la funzione ''tiepido'' è vera solo in piccola parte (si può descrivere a parole come "un po' tiepido"); al contrario la freccia blu (che punta a 0,8) indica che la funzione ''freddo'' è abbastanza vera ("abbastanza ''freddo''"). La logica fuzzy è stata applicata in molti campi ingegneristici. Applicazioni della logica fuzzy si sono avute soprattutto nello sviluppo tecnologico degli elettrodomestici intelligenti da parte delle industrie giapponesi. Un'altra applicazione reale della logica fuzzy è da pochi anni la logica della diagnosi clinica. In questo campo si è avuto un confronto molto interessante fra logica fuzzy e [[calcolo delle probabilità]].
 
====Intelligenza artificiale====
 
L'[[intelligenza artificiale]] e la logica fuzzy, se analizzate, sono la stessa cosa: la logica sottostante alle [[Rete neurale artificiale|reti neurali]] è fuzzy. Una rete neurale prende una serie di input valutati, attribuisce loro pesi diversi in relazione agli altri e giunge a una decisione che normalmente ha anche un valore. In questo processo non c'è nulla di simile alle sequenze di decisioni o-o che caratterizzano la matematica non fuzzy, quasi tutta la programmazione dei computer e l'elettronica digitale. Negli anni '80, i ricercatori erano divisi sull'approccio più efficace all'apprendimento automatico: modelli di "buon senso" o reti neurali. Il primo approccio richiede alberi decisionali di grandi dimensioni e utilizza la logica binaria, adattandosi all'hardware su cui viene eseguito. I dispositivi fisici possono essere limitati alla logica binaria, ma l'intelligenza artificiale può utilizzare il software per i suoi calcoli. Le reti neurali adottano questo approccio, che si traduce in modelli più accurati di situazioni complesse. Le reti neurali hanno presto trovato posto in una moltitudine di dispositivi elettronici.<ref>{{Cita pubblicazione|lingua=en|cognome=Elkan|nome=Charles|titolo=The paradoxical success of fuzzy logic|rivista=IEEE Expert|data=1994|volume=9|numero=4|pp=3-49|doi=10.1109/64.336150|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/336150|abstract=sì}}</ref>
 
====Fuzzy Databases====
 
Una volta definite le relazioni fuzzy, è possibile sviluppare [[database relazionali]] fuzzy. Il primo database relazionale fuzzy, FRDB, è apparso nella tesi di laurea di Maria Zemankova (1983). In seguito sono nati altri modelli come il modello Buckles-Petry, il modello Prade-Testemale, il modello Umano-Fukami o il modello GEFRED di J. M. Medina, M. A. Vila et al.
 
Sono stati definiti linguaggi di interrogazione fuzzy, come SQLf di P. Bosc et al. e FSQL di J. Galindo et al. Questi linguaggi definiscono alcune strutture per includere aspetti fuzzy nelle istruzioni [[Sql|SQL]], come condizioni fuzzy, comparatori fuzzy, costanti fuzzy, vincoli fuzzy, soglie fuzzy, etichette linguistiche ecc.<ref>{{cita web|lingua=en|url=https://qualified.one/blog/data_science/fuzzy-logic-in-database/|titolo=Fuzzy logic in database|sito=Qualified.One|data=29 novembre 2022}}</ref>
 
==== Sistemi di protezione perimetrale ====
Un’importante applicazione della logica fuzzy nella vita reale è legata alla nostra sicurezza; difatti, il concetto è stato analizzato, sviluppato e applicato a sistemi di allarme utilizzati per proteggere perimetri di abitazioni private, aeroporti, carceri, centrali elettriche e molto altro.
 
L’inserimento della logica fuzzy all'interno di barriere a microonda ha permesso di compiere un grande salto di qualità, a discapito di quelli che sono i sistemi di protezione che basano la loro prontezza sul concetto di ricevere un allarme basato sulla vecchia valutazione binaria analogica (due soglie fisse di sensibilità e tempo di integrazione). Per la [[logica bivalente]] un elemento ''appartiene '''o''' non appartiene'' all'insieme considerato, mentre per la logica fuzzy un elemento ''appartiene '''e''' non appartiene'' all'insieme.
 
Una barriera a microonda utilizzata per la protezione di campi o edifici, prima di dare un vero e proprio allarme, confronta il segnale di intrusione ricevuto dal rivelatore con 256 modelli di comportamento e assegna automaticamente il valore adeguato del tempo di integrazione.<ref>{{Cita libro|autore=Vincenzo De Astis|autore2=Dischi Franco|titolo=Manuale delle tecnologie di sicurezza|editore=Assosicurezza|anno=2019|posizione=§ 2.3}}</ref>
 
La logica Fuzzy applicata a questo settore permette, perciò, di diminuire il tasso di falsi allarmi, aumentando la probabilità di rilevamento.
 
== Fuzzy e probabilità ==
{{C|Tutta la sezione manca di fonti e le "tesi contrapposte" sono presentate in modo del tutto inconsistente. L'argomento è enciclopedico, ma non lo si può presentare in questo modo|matematica|gennaio 2012}}
Per capire la differenza tra logica fuzzy e [[probabilità|teoria della probabilità]], facciamo questo esempio:
Consideriamo un lotto di 100 bottiglie d'acqua che ne contiene 5 di veleno. Per la teoria delle probabilità, se prendo una bottiglia dal lotto ho la probabilità pari a 0,95 di pescare una bottiglia contenente acqua. Il risultato dell'evento è bivalente: esito positivo 1, oppure negativo 0. In questo caso la logica bivalente esprime in maniera completa il caso e non avrebbe senso utilizzare la logica “sfumata”"sfumata", in quanto l'universo dei casi possibili si riduce a solo due casi distinti. Adesso svuotiamo in un serbatoio tutte le 100 bottiglie del lotto, avremo una miscela composta per il 95% d'acqua e il 5% di veleno. Ora estraiamo dal serbatoio una quantità di miscela pari a una bottiglia. Possiamo ancora parlare di probabilità? Ovviamente no, il risultato sarà deterministico. Possiamo affermare che il liquido che abbiamo estratto sia acqua o veleno? No, sarà una miscela, dunque il risultato non potrà essere bivalente 0 o 1, ma dovrà assumere un valore “sfumato”"sfumato" tra 0 e 1. Alla domanda: “La"La miscela che ho estratto è acqua o veleno?" Con la logica fuzzy risponderemmo: posso dire che è acqua per un valore pari a 0,95 ed è veleno per un valore pari a 0,05. In effetti non creo una netta separazione tra i due insiemi “acqua”"acqua" e “veleno”"veleno", ma esprimo un valore che mi dice in che misura il mio risultato appartiene all'insieme acqua e all'insieme veleno.
 
I valori fuzzy possono variare da 0 a 1 (come le probabilità) ma, diversamente da queste, descrivono eventi che si verificano ''in una certa misura'' mentre non si applicano a [[Evento (teoria della probabilità)|eventi]] casuali bivalenti (che si verificano oppure no, senza valori intermedi).
 
I rapporti tra logica sfumata e teoria della probabilità sono estremamente controversi {{CitazioneSenza necessariafonte|e hanno dato luogo a polemiche aspre e spesso non costruttive tra i seguaci di ambedue gli orientamenti}}. Da una parte, infatti, i probabilisti, forti di una tradizione secolare e di una posizione consolidata, hanno tentato di difendere il monopolio storicamente detenuto in materia di casualità e incertezza, asserendo che la logica sfumata è null'altro che una probabilità sotto mentite spoglie, sostenuti in tale convinzione dalla circostanza, da ritenersi puramente accidentale, che le misure di probabilità, al pari dei gradi d'appartenenza agli insiemi fuzzy, sono espresse da valori numerici inclusi nell'intervallo reale [0, 1].
 
Gli studiosi di parte fuzzy, al contrario, hanno mostrato che anche la teoria probabilistica, nelle sue varie formulazioni (basate, secondo i casi, sugli [[assiomi di Kolmogorov]], su osservazioni concernenti la frequenza relativa d'accadimento di determinati eventi, oppure sulla concezione [[Inferenza bayesiana|bayesiana]] soggettivista, secondo cui la probabilità è la traduzione, in forma numerica, di uno stato di conoscenza contingente), è in definitiva una teoria del caso ancora saldamente ancorata a una ''[[weltanschauung]]'' dicotomica e bivalente.
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La parte può, in effetti, contenere l'intero nella misura in cui la sua estensione può sovrapporsi a quella dell'insieme universale. Questa concezione comporta un'affermazione apparentemente singolare, quella per cui la parte può contenere l'intero, non soltanto nel caso banale in cui la parte coincide con l'intero; infatti, l'operatore di contenimento non è più bivalente, ma è esso stesso fuzzy e può pertanto assumere un qualunque valore reale compreso tra 0 (non contenimento) e 1 (contenimento completo o, al limite, coincidenza).
 
Su questa base, egli può finalmente concludere che la teoria degli insiemi sfumati contiene e comprende quella della probabilità come suo caso particolare; la realtà sarebbe pertanto deterministica, ma sfumata: la [[teoria del caos]] ne ha evidenziato la componente determinista, mentre la teoria fuzzy ha mostrato l'importanza del principio dell'''homo mensura'' già espresso da [[Protagora]].<ref>Protagora dice: « L'uomo è la misura di tutte le cose, di quelle che sono in quanto sono e di quelle che non sono in quanto non sono.» (Protagora, fr.1, in [[Platone]], ''[[Teeteto]]'', 151d-152e).</ref>
 
== Note ==
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== Bibliografia ==
=== Testi divulgativi ===
* {{cita libro|cognome= Kosko|nome= Bart|wkautore= Bart Kosko|collana=Tascabili Baldini & Castoldi, I nani. Vita matematica|traduttore=Agostino Lupoli|titolo= Il fuzzy-pensiero. Teoria e applicazioni della logica fuzzy|edizione=4|anno= 2000|editore= Baldini & Castoldi|città= Milano|isbn= 88-8089-193-6}}
* {{cita libro
* {{cita pubblicazione| cognome = Gerla| nome = Giangiacomo| anno = 1999| titolo = Logica fuzzy e paradossi| rivista = Lettera Matematica Pristem| numero = 32| pp = 31-39| issn = 1593-5884}}
|cognome= Kosko
|nome= Bart
|wkautore= Bart Kosko
|altri= Collana: ''Tascabili Baldini & Castoldi, I nani. Vita matematica''; trad. di Agostino Lupoli
|titolo= Il fuzzy-pensiero. Teoria e applicazioni della logica fuzzy
|edizione= 4ª ed.
|anno= 2000
|editore= Baldini & Castoldi
|città= Milano
|isbn= 88-8089-193-6
|p= 365
}}
* {{cita pubblicazione
| cognome = Gerla
| nome = Giangiacomo
| anno = 1999
| titolo = Logica fuzzy e paradossi
| rivista = Lettera Matematica Pristem
| numero = 32
| pp = 31-39
| issn = 1593-5884
}}
 
=== Testi in lingua inglese ===
* {{cita libro|cognome= Chen|nome= Guanrong|autore2= Trung Tat Pham|titolo= Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems|anno= 2000|editore= CRC Press|città= Lincoln (USA)|lingua= inglese|isbn= 0-8493-1658-8}}
* {{cita libro
* {{cita libro|cognome= Cignoli|nome= Roberto Leonardo Oscar|autore2= Itala Maria Loffredo D'Ottaviano|autore3= Daniele Mundici|collana=Trends in Logic - Studia logica library|titolo= Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning|url= https://archive.org/details/algebraicfoundat0000cign|anno= 1999|editore= Kluwer Academic Publishers|città= Dordrecht|lingua= inglese|isbn= 0-7923-6009-5}}
|cognome= Cignoli
* {{cita libro|cognome= Gerla|nome= Giangiacomo|collana=Trends in logic|numero=11|titolo= Fuzzy logic: mathematical tools for approximate reasoning|url= https://archive.org/details/fuzzylogicmathem0000gerl|anno= 2001|editore= Kluwer Academic Publishers|città=Dordrecht|lingua= inglese|isbn= 0-7923-6941-6|via=''archive.org''}}
|nome= Roberto Leonardo Oscar
* {{cita libro|cognome= Hájek|nome= Petr|collana=Trends in logic|numero=vol. 4|titolo= Metamathematics of fuzzy logic|anno= 1998|editore= Kluwer Academic Publishers|città= Dordrecht|lingua= inglese|isbn= 0-7923-5238-6}}
|coautori= Itala Maria Loffredo D'Ottaviano, Daniele Mundici
* {{cita libro|cognome= Klir|nome= George Jiri|autore2=Ute H. St. Clair|autore3=Bo Yuan|titolo= Set Theory Foundations and Applications|url= https://archive.org/details/fuzzysettheoryfo0000klir|data= 27 aprile 1997|editore= Prentice Hall PTR|città= Upper Saddle River (New Jersey)|lingua= inglese|isbn= 0-13-341058-7|via=''archive.org''}}
|altri=Collana: ''Trends in Logic - Studia logica library''
* {{cita libro|cognome= Klir|nome= George Jiri|autore2= Bo Yuan|altri=Sottotitolo: Theory and Applications|titolo= Fuzzy Sets and Fuzzy Logic|url= https://archive.org/details/fuzzysetsfuzzylo0000klir|anno= 1995|editore= Prentice Hall PTR|città= Upper Saddle River (New Jersey)|lingua= inglese|isbn= 0-13-101171-5|via=''archive.org''}}
|titolo= Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning
* {{cita libro|cognome= Mendel|nome= Jerry M.|titolo= Uncertain Rule-Based Fuzzy Logic Systems: Introduction and New Directions|url= https://archive.org/details/isbn_9780130409690|anno= 2000|editore= Prentice Hall (New Jersey)|città= Upper Saddle River|lingua= inglese|isbn= 0-13-040969-3}}
|anno= 1999
* {{cita libro|cognome= Ross|nome= Timothy J.|titolo= Fuzzy Logic with Engineering Applications|anno= 2004|url= https://archive.org/details/fuzzylogicwithen0000ross_2ed|data=25 giugno 2004|editore= John Wiley & Sons Ltd|città= Chichester (Regno Unito)|lingua= inglese|isbn= 0-470-86075-8}}
|editore= Kluwer Academic Publishers
* {{cita libro|cognome= Russo|nome= Marco|autore2= Lakhmi C. Jain|titolo= Fuzzy Learning and Applications|anno= 2000|editore= CRC Press|città= Boca Raton (Florida)|lingua= inglese|isbn= 0-8493-2269-3}}
|città= [[Dordrecht]]
* {{cita libro|cognome= Zimmermann|nome= Hans-Jürgen|titolo= Fuzzy Set Theory and its Applications|anno= 2001|editore= Kluwer Academic Publishers|città= Dordrecht|lingua= inglese|isbn= 0-7923-7435-5}}
|lingua= inglese
|isbn= 0-7923-6009-5
|p= 244
}}
* {{cita libro
|cognome= Hájek
|nome= Petr
|altri=Collana: ''Trends in logic, vol. 4''
|titolo= Metamathematics of fuzzy logic
|anno= 1998
|editore= Kluwer Academic Publishers
|città= [[Dordrecht]]
|lingua= inglese
|isbn= 0-7923-5238-6
|p= 297
}}
* {{cita libro
|cognome= Klir
|nome= George Jiri
|coautori= Ute H. St. Clair, Bo Yuan
|titolo= Set Theory Foundations and Applications
|data= 27
|anno= 1997
|mese= aprile
|editore= Prentice Hall PTR
|città= Upper Saddle River (New Jersey)
|lingua= inglese
|isbn= 0-13-341058-7
|p= 245
}}
* {{cita libro
|cognome= Klir
|nome= George Jiri
|coautori= Bo Yuan
|altri=Sottotitolo: Theory and Applications
|titolo= Fuzzy Sets and Fuzzy Logic
|anno= 1995
|editore= Prentice Hall PTR
|città= Upper Saddle River (New Jersey)
|lingua= inglese
|isbn= 0-13-101171-5
|p= 592
}}
* {{cita libro
|cognome= Gerla
|nome= Giangiacomo
|altri= Collana: ''Trends in logic, vol. 11''
|titolo= Fuzzy logic: mathematical tools for approximate reasoning
|anno= 2001
|editore= Kluwer Academic Publishers
|città= [[Dordrecht]]
|lingua= inglese
|isbn= 0-7923-6941-6
|p= 269
}}
* {{cita libro
|cognome= Zimmermann
|nome= Hans-Jürgen
|titolo= Fuzzy Set Theory and its Applications
|anno= 2001
|editore= Kluwer Academic Publishers
|città= [[Dordrecht]]
|lingua= inglese
|isbn= 0-7923-7435-5
|p= 514
}}
* {{cita libro
|cognome= Mendel
|nome= Jerry M.
|titolo= Uncertain Rule-Based Fuzzy Logic Systems: Introduction and New Directions
|anno= 2000
|editore= Prentice Hall (New Jersey)
|città= Upper Saddle River
|lingua= inglese
|isbn= 0-13-040969-3
|p= 576
}}
* {{cita libro
|cognome= Chen
|nome= Guanrong
|coautori= Trung Tat Pham
|titolo= Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems
|anno= 2000
|editore= CRC Press
|città= Lincoln, United States
|lingua= inglese
|isbn= 0-8493-1658-8
|p= 328
}}
* {{cita libro
|cognome= Russo
|nome= Marco
|coautori= Lakhmi C. Jain
|titolo= Fuzzy Learning and Applications
|anno= 2000
|editore= CRC Press
|città= Boca Raton, Florida
|lingua= inglese
|isbn= 0-8493-2269-3
|p= 400
}}
* {{cita libro
|cognome= Ross
|nome= Timothy J.
|titolo= Fuzzy Logic with Engineering Applications
|data= &nbsp; 2004-06-25
|editore= John Wiley & Sons Ltd
|città= [[Chichester]] (Regno Unito)
|lingua= inglese
|isbn= 0-470-86075-8
|p= 628
}}
 
=== Testi di valore storico ===
* {{cita pubblicazione|lingua=en|cognome = Zadeh| nome = Lotfi Asker| linkautore = Lotfi Zadeh|anno = 1965| titolo = Fuzzy Sets| rivista = Information and Control| numero = 8| pp = 338-353|cid=Zadeh (1965)}}
* {{cita pubblicazione
* {{cita pubblicazione|lingua=en|cognome = Zadeh| nome = Lotfi Asker| anno = 1968| titolo = Fuzzy algorithms| rivista = Information and Control| numero = 5| pp = 94-102}}
| cognome = Zadeh
| nome = Lotfi Asker
| linkautore = Lotfi Zadeh
| data =
| anno = 1968
| titolo = Fuzzy algorithms
| rivista = Information and Control
| numero = 5
| pp = 94-102
}}
* {{cita pubblicazione
| cognome = Zadeh
| nome = Lotfi Asker
| linkautore = Lotfi Zadeh
| data =
| anno = 1965
| titolo = Fuzzy Sets
| rivista = Information and Control
| numero = 8
| pp = 338-353 <!-- Prima era 338353: non so se il mio aggiustamento è corretto -->
}}
 
== Voci correlate ==
* [[Informazione parziale linearizzata]]
* [[InsiemiInsieme sfocatisfocato]]
* [[Logica]]
* [[Matematica]]
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== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|fuzzy logic|fuzzy logic}}
* {{SEP|entries/logic-fuzzy/|Fuzzy logic|Petr Cintula, Christian G. Fermüller, Carles Noguera}}
* {{cita web | url = http://bsing.ing.unibs.it/~visioli/didattica/parte5.pdf | titolo = Sintetica guida introduttiva di Antonio Visioli (Università degli Studi di Brescia) | accesso = 16 novembre 2008 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20060507064541/http://bsing.ing.unibs.it/~visioli/didattica/parte5.pdf | urlmorto = sì }}
* {{Treccani|fuzzy_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica)|Fuzzy|autore=[[Settimo Termini]]}}
* {{cita web | 1url = http://bsingwww.ingdmi.unibsunisa.it/~visiolipeople/didatticagerla/parte5www/Down/Light%20logica%20fuzzy.pdf | 2titolo = SinteticaLogica guidaFuzzy: introduttivai diparadossi Antoniodella Visiolivaghezza, (Universitàdi degli Studi diGiangiacomo Brescia)Gerla | accesso = 1625 novembresettembre 20082011 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/2006050706454120130418061050/http://bsingwww.ingdmi.unibsunisa.it/~visiolipeople/didatticagerla/parte5www/Down/Light%20logica%20fuzzy.pdf | dataarchivio = 7 maggio 2006 | urlmorto = sì }}
* {{cita web | 1 = http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/Light%20logica%20fuzzy.pdf | 2 = Logica Fuzzy: i paradossi della vaghezza, di Giangiacomo Gerla | accesso = 25 settembre 2011 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20130418061050/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/Light%20logica%20fuzzy.pdf | dataarchivio = 18 aprile 2013 | urlmorto = sì }}
 
{{Controllo di autorità}}