Solido archimedeo: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], un '''solido archimedeo''' o '''semiregolare''' è un [[poliedro convesso]] le cui facce sono costituite da due o più tipi di [[poligono regolare|poligoni regolari]] e i cui [[vertice (geometria)|vertici]] sono [[Vertice omogeneo|omogenei]]. Si richiede inoltre che il poliedro non sia un [[prisma]] o un [[antiprisma]]. I solidi archimedei sono 13, e si differenziano dai [[solidi platonici]] (o ''regolari''), aventi anche le facce omogenee, e dai [[solidi di Johnson]], i cui vertici non sono omogenei.

== Definizione ==

Riga 11:

Prismi e antiprismi non sono tradizionalmente ritenuti archimedei, benché soddisfino le prime due ipotesi. Prismi e antiprismi si differenziano qualitativamente dai solidi archimedei per due fattori:

# Prismi e antiprismi formano due famiglie infinite di solidi, mentre i solidi archimedei sono in numero finito (13)

# Prismi e antiprismi ammettono "poche" simmetrie (il loro [[gruppo di simmetria]] è il [[gruppo diedrale]], un [[gruppo (matematica)|gruppo]] "più semplicefacile" dei gruppi di simmetria dei solidi archimedei).

== Origine del nome ==

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== Classificazione ==

Vi sono 13 solidi archimedei, due dei quali sono [[chiralità (matematica)|chirali]], non sono cioè equivalenti alla loro immagine riflessa: per questo motivo, in alcuni contesti questi poliedri sono contati due volte e si parla di 15 solidi archimedei.

Nella tabella che segue per ''incidenza dei vertici'' si intende la sequenza dei numeri deglidi spigolilati che caratterizzano i poligoni regolari che incidono in ogni vertice. Ad esempio, l'incidenza (4,6,8) significa che in ogni vertice incidono un quadrato, un esagono e un ottagono; una tale sequenza viene precisata procedendo intorno al vertice in verso orario.

Il [[gruppo di simmetria]] del solido O_h, I_h e T_d è rispettivamente il gruppo di simmetria dell'[[ottaedro]], [[icosaedro]] e [[tetraedro]]. I gruppi O ed I sono i [[sottogruppo|sottogruppi]] rispettivamente di O_h e I_h formati dalle simmetrie che preservano l'[[orientazione]].

{| class="wikitable"

{| border="1" cellpadding="2" style="margin:0 auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"

|-

! Nome

Riga 41:

|-

| [[cubottaedro]]

|[[ImmagineFile:Cuboctahedron.jpgsvg|100px|Cuboctahedron]]<br /><small>([[:image:cuboctahedron.gif|Animazione]])</small>

| &nbsp;14&nbsp; || 8 [[triangolo (geometria)|triangoli]]<br />6 [[quadrato (geometria)|quadrati]]

| 24 || 12 || 3,4,3,4

| O_h

|-

| [[icosidodecaedro]]

|[[ImmagineFile:Icosidodecahedron.jpg|100px|Icosidodecahedron]]<br /><small>([[:image:icosidodecahedron.gif|Animazione]])</small>

| 32 || 20 triangoli<br />12 [[Pentagono (geometria)|pentagoni]]

| 60 || 30

| 3,5,3,5 || I_h

|-

| [[tetraedro troncato]]

|[[ImmagineFile:Truncatedtetrahedron.jpgsvg|100px|Truncated tetrahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedtetrahedron.gif|Animazione]])</small>

| 8 || 4 triangoli<br />4 [[esagono|esagoni]] || 18

| 12

| 3,6,6 || T_d

|-

| [[cubo troncato]] <br /> (o esaedro troncato)

|[[ImmagineFile:Truncatedhexahedron.jpg|100px|Truncated hexahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedhexahedron.gif|Animazione]])</small>

| 14 || 8 triangoli<br />6 [[ottagono|ottagoni]] || 36

| 24

| 3,8,8 || O_h

|-

| [[ottaedro troncato]]

|[[ImmagineFile:Truncatedoctahedron.jpgsvg|100px|Truncated octahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedoctahedron.gif|Animazione]])</small>

| 14 || 6 quadrati<br />8 esagoni || 36 || 24

| 4,6,6 || O_h

|-

| [[dodecaedro troncato]]

|[[ImmagineFile:Truncateddodecahedron.jpg|100px|Truncated dodecahedron]]<br /><small>([[:image:truncateddodecahedron.gif|Animazione]])</small>

| 32 ||20 triangoli<br />12 [[decagono|decagoni]] || 90

| 60

| 3,10,10 || I_h

|-

| [[icosaedro troncato]]<br />(o pallone da calcio)

|[[ImmagineFile:Truncatedicosahedron.jpgsvg|100px|Truncated icosahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedicosahedron.gif|Animazione]])</small>

| 32 || 12 pentagoni<br />20 esagoni || 90

| 60

| 5,6,6 || I_h

|-

| [[rombicubottaedro]]<br />(o piccolo rombicubottaedro)

|[[ImmagineFile:Rhombicuboctahedron.jpg|100px|Rhombicuboctahedron]]<br /><small>([[:image:rhombicuboctahedron.gif|Animazione]])</small>

| 26 ||8 triangoli<br />18 quadrati || 48 || 24

| 3,4,4,4 || O_h

|-

| [[cubottaedro troncato]]<br /> (o grande rombicubottaedro)

|[[ImmagineFile:Truncatedcuboctahedron.jpg|100px|Truncated cuboctahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedcuboctahedron.gif|Animazione]])</small>

| 26 || 12 quadrati<br />8 esagoni<br />6 ottagoni

| 72 || 48 || 4,6,8 || O_h

|-

| [[rombicosidodecaedro]]<br />(o piccolo rombicosidodecaedro)

|[[ImmagineFile:Rhombicosidodecahedron.jpg|100px|Rhombicosidodecahedron]]<br /><small>([[:image:rhombicosidodecahedron.gif|Animazione]])</small>

| 62 || 20 triangoli<br />30 quadrati<br />12 pentagoni

| 120 || 60 || 3,4,5,4

| I_h

|-

| [[icosidodecaedro troncato]]<br />(o grande rombicosidodecaedro)

|[[ImmagineFile:Truncatedicosidodecahedron.jpg|100px|Truncated icosidodecahedron]]<br /><small>([[:image:truncatedicosidodecahedron.gif|Animazione]])</small>

| 62 ||30 quadrati<br />20 esagoni<br />12 decagoni

| 180 || 120 || 4,6,10

| I_h

|-

| [[cubo camuso]]<br />(o cubottaedro camuso) <br /> 2 forme chirali

|[[ImmagineFile:Snubhexahedronccw.jpg|100px|Snub hexahedron (Ccw)]]<br /><small>([[:image:snubhexahedronccw.gif|Animazione]])</small><br />[[ImmagineFile:snubhexahedroncw.jpg|100px|Snub hexahedron (Cw)]]<br /><small>([[:image:snubhexahedroncw.gif|Animazione]])</small>

| 38 ||32 triangoli<br />6 quadrati || 60 || 24

| 3,3,3,3,4

| O

|-

| [[dodecaedro camuso]]<br />(o icosidodecaedro camuso) <br /> 2 forme chirali

|[[ImmagineFile:Snubdodecahedronccw.jpg|100px|Snub dodecahedron (Ccw)]]<br /><small>([[:image:snubdodecahedronccw.gif|Animazione]])</small><br />[[ImmagineFile:Snubdodecahedroncw.jpg|100px|Snub dodecahedron (Cw)]]<br /><small>([[:image:snubdodecahedroncw.gif|Animazione]])</small>

| 92 || 80 triangoli<br />12 pentagoni || 150

| 60

| 3,3,3,3,5

| I

|}

=== Poliedri quasi regolari ===

=== Poliedri quasiregolari ===

I primi due poliedri, cubottaedro ed icosidodecaedro, hanno (oltre ai vertici) anche gli spigoli omogenei: per ogni coppia di spigoli esiste una simmetria del poliedro che sposta il primo nel secondo. Poliedri con questa proprietà sono chiamati ''quasiregolari'' (da non confondere con ''semiregolari'', sinonimo di ''archimedeo'').

=== Poliedri chirali ===

Gli ultimi due, il cubo camuso e il dodecaedro camuso sono [[chiralità (matematica)|poliedri chirali]], poliedri che non sono equivalenti alla loro immagine [[riflessione (geometria)|riflessa]]. Questi presentano quindi due forme, ''levomorfa'' e ''destromorfa'', che (come le mani) si trasformano l'una nell'altra se sottoposte a una riflessione rispetto ad un piano.

== Come ottenere un solido archimedeo ==

I solidi archimedei si possono ottenere troncando un solido platonico o un altro solido archimedeo fino ad ottenere un poliedro che rispetta le proprietà dei solidi semiregolari:

=== Dal tetraedro all'ottaedro ===

{| style="text-align:center;" || class="wikitable"

!Tetraedro

!Tetraedro troncato

!Ottaedro

|-

|[[File:Pldrtetra2c.gif|centro|senza_cornice]]

| style="text-align:center;" |[[File:Pldrtetratro2c.gif|centro]]

|[[File:Pldrotta2c.gif|centro|senza_cornice]]

|}

=== Dal cubo all'ottaedro ===

{| style="text-align:center;" || class="wikitable"

!Cubo

!Cubo troncato

!Cubottaedro

!Ottaedro troncato

!Ottaedro

|-

||[[File:Cube coloring 2.svg|alt=Cubo|centro|senza_cornice|75x75px]]

| style="text-align:center;" |[[File:Pldrcubotroc.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldrcubottac.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldrottatro2c.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldrotta2c.gif|centro|senza_cornice]]

|}

=== Dal cubottaedro al rombicubottaedro ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ||

!Cubottaedro

!Cubottaedro troncato

!'''Rombicubottaedro'''

|-

|[[File:Pldrcubottac.gif|centro|senza_cornice]]

| style="text-align:center;" |[[File:Pldrgrombicubotta2c.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldrprobicubotta2c.gif|centro|senza_cornice]]

|}

=== Dal dodecaedro all'icosaedro ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ||

!Dodecaedro

!Dodecaedro troncato

!Icosidodecaedro

!Icosaedro troncato

!Icosaedro

|-

|[[File:Pldrdodecac.gif|centro|senza_cornice]]

| style="text-align:center;" |[[File:Pldrdodecatroc.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldricosidodecac.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldricosatroc.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldricosac.gif|centro|senza_cornice]]

|}

=== Dall'icosidodecaedro al rombicosidodecaedro ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ||

!'''Icosidodecaedro'''

!Icosidodecaedro troncato

!'''Rombicosidodecaedro'''

|-

|[[File:Pldricosidodecac.gif|centro|senza_cornice]]

| style="text-align:center;" |[[File:Pldrgrombicosc.gif|centro|senza_cornice]]

|[[File:Pldrprombicosidodecac.gif|centro|senza_cornice]]

|}

== Poliedri duali ==

Riga 129 ⟶ 192:

*{{cita libro | cognome=Henry Martin Cundy & A. P. Rollett | anno=1974 |titolo=I modelli matematici | editore=Feltrinelli | città=Milano}}

*{{cita libro | cognome=Dedò| nome= Maria|| anno=1999|titolo=Forme, simmetria e topologia| editore=Decibel & Zanichelli | città=Bologna |isbn=88-08-09615-7|}}

*{{cita libro | cognomecuratore=Dedò|L. nome=Berzolari, Maria|G. Vivanti, D. Gigli| anno=19991979|titolo=Forme,Enciclopedia simmetriadelle eMatematiche topologiaelementari| editore=DecibelUlrico & ZanichelliHoepli | città=BolognaMilano | idisbn=ISBN 88-08203-096150265-7|9}}

*{{cita libro | cognome=Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli| nome= Luigi|| anno=1929, 1937, 1950|titolo=Enciclopedia delle Matematiche elementari| editore=Ulrico Hoepli | città=Milano | id=ISBN 143-225-237-3|}}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|commonspreposizione=category:Archimedean solidssul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*[http://www.software3d.com/Archimedean.html Paper models of Archimedean solids]

*{{cita web|http://www.software3d.com/Archimedean.html|Paper models of Archimedean solids}}

*[http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]

*{{cita web|http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/|The Uniform Polyhedra}}

*[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra

*[{{cita web|http://www.cs.utk.edu/~plank/plank/origami/penultimate/intro.html |Penultimate Modular Origami]}}

*[http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html Archimedean Solid] in [[MathWorld]]

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{{Controllo di autorità}}

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