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La '''teoria di Teichmüller inter-universale''' ('''Inter-Universal Teichmüller Theory''', '''IUT''' o più raramente '''IUTT''', '''IUTeich''' e '''IUTch'''), indicata anche come '''teoria della deformazione aritmetica (ADT)''',<ref>{{Cita libro|lingua=en|nome=Mark|cognome=Green|nome2=Phillip|cognome2=Griffiths|titolo=Deformation theory and limiting mixed Hodge structures|url=https://doi.org/10.1017/cbo9781316387887.006|accesso=2025-07-15|data=2016-02-04|editore=Cambridge University Press|pp=88–133}}</ref> è una teoria che è oggetto di dibattiti in particolare nella comunità dei matematici. La teoria è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki e pubblicata nel 2012 per dimostrare la [[congettura abc]].
Questa teoria è correlata ai risultati ottenuti nella geometria mono-anabeliana assoluta, un approccio della geometria abeliana. Inoltre, è correlata alla teoria di Teichmüller ma non alle sue versioni classiche (e.g., la teoria di Teichmüller classica complessa applicata alle superfici di Riemann).
== Storia e prima concettualizzazione ==
La teoria è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki, professore e ricercatore al centro RIMS (''Research Institute for Mathematical Sciences'') dell'[[Università di Kyoto]]. Mochizuki è un bambino prodigio in matematica che si è laureato in matematica e ha conseguito il PhD all'Università di Princeton; il suo referente era [[Gerd Faltings]]. Il suo principale interesse è costituito dalle curve iperboliche in [[geometria aritmetica]]. Durante i primi Anni '90, la sua ricerca in particolare si è focalizzata sulla geometria anabeliana p-adica e sulla teoria di Teichmüller p-adica, dunque una versione particolare della teoria di Teichmüller. Il suo obiettivo era capire le numerose connessioni tra la teoria di Teichmüller e la geometria anabeliana combinatorica delle curve iperboliche.<ref>{{Cita web|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/en/list/MOCHIZUKI,%20Shinichi.html|titolo=MOCHIZUKI, Shinichi|sito=www.kurims.kyoto-u.ac.jp|accesso=2025-07-15}}</ref>
Fino al 2012, ha sviluppato una teoria che permettesse di risolvere la congettura di abc (una congettura molto importante e complessa all'interno della teoria dei numeri con ricadute in primis sulla crittografia) e contemporaneamente che potesse gettare luce su altre congetture non ancora risolte in matematica e portare infine a un'altra dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, già dimostrato da Andrew Wiles.
Secondo un report di Mochizuki del marzo 2008 sulle sue attività di ricerca dall'estate 1992 al 2000, aveva iniziato a indagare le basi per la IUT tra l'estate del 2000 e l'estate del 2006. Per la precisione, la prima intuizione venne dopo il periodo di ricerca sulla teoria di Hodge-Arakelov sulle curve ellittiche (1998-2000), culminata nei suoi due paper ''A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I'' e ''II''. In questo filone di ricerca, Mochizuki ha provato a creare, nel contesto della teoria di Arakelov sulle curve ellittiche su campi numerici, una teoria analoga alla teoria di Hodge sui numeri complessi e p-adici. Queste considerazioni, discusse anche con una riformulazione basata sull'uso dell'[[Integrale Gaussiano|integrale gaussiano]], sono discusse nei due paper menzionati.<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=25 marzo 2008|titolo=Report of Past and Current Research (as of 2008-03-25)|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Past%20and%20Current%20Research.pdf|formato=pdf}}</ref>
Nello stesso report, Mochizuki indicava come la teoria di Hodge-Arakelov aveva caratteristiche interessanti, come la possibilità di costruire una mappa aritmetica di Kodaira-Spencer, per cui aveva una relazione con la congettura abc. Tuttavia, la teoria di Hodge-Arakelov, da sola, non è sufficiente per provare la congettura abc. Pertanto, secondo Mochizuki, per risolverla era necessario usare un framework che andava oltre la geometria aritmetica convenzionale. Durante l'inizio della ricerca, la filosofia di Mochizuki era che l'essenza della geometria aritmetica non consiste negli schemi specifici che sono presenti in un ambiente/setting specifici di geometria aritmetica; l'essenza risiederebbe piuttosto nei pattern combinatorici astratti che governano le dinamiche di questi schemi specifici e negli algoritmi combinatorici che descrivono questi pattern. Una geometria basata su quest'idea viene detta "geometria inter-universale".
=== La nascita della geometria mono-anabeliana assoluta ===
Per svolgere ricerca su tale geometria e dunque sui pattern combinatorici astratti e gli algoritmi combinatorici, il settore matematico di riferimento da sviluppare e studiare è la geometria anabeliana: la geometria anabeliana è una branca della teoria dei numeri che descrive il modo in cui il gruppo fondamentale algebrico G appartenente a una varietà aritmetica X permette di riottenere X. Due importanti matematici che vi hanno contribuito sono Kenkichi Iwasawa e Alexander Grothendieck, autore della congettura anabeliana di Grothendieck; questa congettura è stata dimostrata con il lavoro di Akio Tamagawa e dello stesso Shin'ichi Mochizuki.
Tuttavia, la geometria anabeliana generica non basta siccome è necessaria una sua versione (o "approccio, variante") particolare, la geometria mono-anabeliana assoluta. Questo approccio è capace di ricostruire/ripristinare la curva per una certa classe di curve iperboliche su campi numerici (o su altri campi) a partire dal suo gruppo algebrico fondamentale; è detta "assoluta" perché l'approccio è condotto in un ambiente/setting in cui non si tiene in considerazione il gruppo di Galois assolute del campo base. La geometria mono-anabeliana assoluta in particolare tratta alcuni tipi di curve iperboliche di tipo Belyi su campi numerici e campi locali, per cui la geometria anabeliana classica viene estesa parecchio; data una curva caratterizzata da un gruppo fondamentale étale (étale fundamental group), vengono costruiti algoritmi per produrre la curva a partire proprio dal gruppo fondamentale étale, fino ad arrivare all'isomorfismo. L'approccio non assoluto e classico della geometria anabeliana è ribattezzato da Mochizuki "geometria bi-abeliana".
Lo stesso Mochizuki ha sviluppato la geometria mono-anabeliana assoluta tra il 2000 e il 2006 proprio per iniziare a costruire una "geometria inter-universale" e alcuni risultati utili pubblicati in ''Topics in Absolute Anabelian Geometry I'' (2012), ''II'' (2013) e anche ''III'' (2015):<ref name=":0" />
* i monoidi che appaiono nella geometria degli schemi logaritmici (log schemes)
* i gruppi fondamentali aritmetici (cioè le categorie di Galois trattate nella geometria anabeliana)
* la struttura astratta dei grafi (e.g., il grafico duale di una curva degenere stabile)
Altri risultati che portano allo sviluppo della IUT sono contenute in ulteriori paper:<ref name=":0" />
* ''The geometry of anabelioids'' (2001)
* ''The absolute anabelian geometry of canonical curves'' (2001)
* ''Categorical representation of locally noetherian log schemes'' (2002)
* ''Semi-graphs of anabelioids'' (2004)
* ''Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces'' (2004)
* ''Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves'' (2005)
* ''The geometry of Frobenioids I'' e ''II'' (2005), in cui Shin'ichi Mochizuki per la prima volta descrive una nuova categoria nella geometria mono-anabeliana assoluta, i "frobenioidi" (una parola formata da "Frobenius" e "monoide"; il monoide è una struttura appartenente alla teoria delle categorie e che appare nella teoria degli schemi logaritmici); in questo paper in particolare, Mochizuki mostra come strutture come le categorie di Galois e i monoidi operano l'una sull'altra
Mochizuki, nel corso degli anni, ha più volte ripubblicato i paper in versione aggiornata, ad esempio per migliorare le spiegazioni.
=== Il punto di svolta ===
Nel 2006, quando ormai questi risultati preliminari e dunque l'impalcatura della geometria mono-anabeliana assoluta è stata fondata, degli ulteriori paper pubblicati tra il 2006 e la primavera del 2008 hanno preparato alla IUT con delle idee in forma più definita; l'idea fondamentale era quella di sviluppare una teoria nuova e analoga alla teoria di Teichmüller p-adica sviluppata da Mochizuki stesso e applicata alle curve iperboliche dotate di un fascio (''bundle'') indigeno ordinario e nilpotente; questa teoria nuova e analoga andava sviluppata per i campi numerici equipaggiati con una curva ellittica a una punta (''one-pointed'') e su cui era applicabile la teoria di Hodge-Arakelov. I paper preparatori sono proprio ''The étale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations'' (2006), ''Topics in absolute anabelian geometry I: generalities'' (2008), ''Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups'' (2008) e ''Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms'' (2008). Questi paper contengono anche risultati e idee non direttamente collegate alla IUT.
La IUT, a questo punto, se si descrive usando il concetto di integrale gaussiano, è la versione inter-universale o "la versione globale nella teoria di Galois" dell'integrale gaussiano. Inoltre, la trasformazione tra coordinate cartesiane e polari che appartengono all'integrale gaussiano corrispondono, nella sua versione inter-universale, alle strutture simil-Frobenius (''Frobeniu-like'') e simil-étale (''étale-like'') in ''The Geometry of Frobenioids I'' e ''II''.<ref name=":0" /> La parola "étale" è traducibile come "immobile".
Shin'ichi Mochizuki, mentre iniziava a sviluppare la IUT, ha anche fondato la geometria anabeliana combinatorica attraverso i suoi lavori ''A combinatorial version of the Grothendieck conjecture'' (2007), ''On the combinatorial cuspidalization of hyperbolic curves'' (2010) e ''Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves'' (2012-2013), una serie di 4 paper scritti insieme al suo studente Yuichiro Hoshi. In particolare, in ''A combinatorial version of the Grothendieck conjecture'', Mochizuki tratta i semi-grafi degli anabelioidi associati a curve stabili degeneri in un framework combinatorico astratto, in cui la teoria degli schemi non appare in modo esplicito.<ref name=":0" />
=== La scrittura della IUT ===
Secondo la sezione "Pensieri" (''Thoughts'') del suo blog personale, che tuttavia si interrompe nel 2012, nel giugno 2008, dopo la pubblicazione di un suo paper sulla cuspidalizzazione combinatorica focalizzata sulle curve iperboliche proprie in cui era sul punto di ottenere una generalizzazione del teorema di Matsumoto, aveva indicato che si poteva arrivare facilmente a questo risultato se si applicava una teoria di natura combinatorica che usciva al di fuori della teoria degli schemi. All'epoca stava già sviluppando la IUT.<ref name=":1">{{Cita web|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/thoughts-english.html|titolo=Thoughts of Shinichi Mochizuki|sito=www.kurims.kyoto-u.ac.jp|accesso=2025-07-15}}</ref> A febbraio 2009, aveva deciso di sviluppare la IUT in 3 paper invece degli originali 2 e aveva già concluso la stesura del primo paper. Nel mese di ottobre, aveva deciso di sviluppare la teoria in 4 paper per renderla più chiara, aveva steso metà del secondo paper e aveva già previsto di finire la stesura dell'intero lavoro nell'estate del 2012. Durante la stesura, ha effettuato molte semplificazioni alla versione originale della IUT, tra cui l'eliminazione di una complessa teoria dei limiti. Ad aprile 2010, aveva finito la stesura del secondo paper eccetto l'introduzione. Nel giugno 2011 aveva finito la prima stesura del terzo paper. Nel gennaio 2012, stava dando il controllo finale ai 4 paper.<ref name=":1" />
Il 30 agosto 2012, ha pubblicato sul suo blog la IUT, articolata in 4 paper in formato PDF e scritti in inglese. I paper sono:
* ''IUTeich I: Construction of Hodge Theaters''<ref name=":10">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=30 agosto 2012|titolo=Inter-Universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf|formato=pdf}}</ref>
* ''IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation''<ref name=":12">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=30 agosto 2012|titolo=Inter-Universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-Theoretic Evaluation|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf|formato=pdf}}</ref>
* ''IUTeich III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice''<ref name=":13">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=30 agosto 2012|titolo=Inter-Universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf|formato=pdf}}</ref>
* ''IUTeich IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=30 agosto 2012|titolo=Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf|formato=pdf}}</ref> (fino al giugno 2011 chiamato ''IUTeich IV: An Analogue of the Hasse Invariant)''
Successivamente, ha pubblicato altri due paper che fanno uso della IUT:
* ''Bogomolov's Proof of the Geometric Verson of the Szpiro Conjecture from the Point of View of Inter-Universal Teichmüller Theory,''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2016|mese=gennaio|titolo=Bogomolov's Proof of the Geometric Verson of the Szpiro Conjecture from the Point of View of Inter-Universal Teichmüller Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Bogomolov%20from%20the%20Point%20of%20View%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|formato=pdf}}</ref> in cui la dimostrazione della congettura di Bogomolov viene correlata alla IUT;
* ''Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmüller Theory,''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|autore2=Ivan Fesenko|autore3=Yuichiro Hoshi|data=5 maggio 2022|titolo=Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmuller Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Explicit%20estimates%20in%20IUTeich.pdf|formato=pdf}}</ref> in cui viene offerta una nuova dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat
Infine, un paper (di cui il primo di Mochizuki) che dà una panoramica della IUT scritti dopo la sua pubblicazione è ''A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüller Theory.''<ref name=":4">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=20 agosto 2013|titolo=A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|formato=pdf}}</ref>
A questo, si aggiunge un paper che tenta di delucidare meglio la logica dietro alla IUT, ''On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical'' AND "∧"''/Logical'' OR "∨" ''Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory''.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2024|mese=marzo|titolo=On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical "∧"/Logical OR "∨" Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|formato=pdf}}</ref>
Nel web, è stata diffusa una breve animazione di poco oltre un minuto sul funzionamento della IUT (rappresentazione multi-radiale) creata da Etienne Farcot sulla base delle indicazioni di Mochizuki e Ivan Fesenko;<ref name=":5">{{Cita pubblicazione|cognome=Trond Arild Tjøstheim|data=2018-12-22|titolo=The multi-radial representation of inter-universal Teichmüller theory|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=LggSZ1wIjeg}}</ref> una spiegazione di tale animazione è offerta da Fesenko in una lezione registrata al minuto 33:49.<ref name=":6">{{Cita pubblicazione|cognome=Institute of Mathematics / Інститут Математики|data=2022-02-20|titolo=Ivan Fesenko "Underlying deep properties of numbers"|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=OQG0OeQla1w}}</ref> Un'altra spiegazione è offerta da Fumiharu Kato in una sua lezione registrata all'ora 1:16:16.<ref name=":7">{{Cita pubblicazione|cognome=Radnfo|data=2018-03-14|titolo=Inter-universal Teichmüller theory via Fumiharu Kato w/English subtitles [PROPER]|lingua=ja|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=kq4jbNl4lJk}}</ref> Un'immagine che descrive anch'essa il funzionamento della IUT è stata diffusa in occasione del summit del 2025 sulla IUT.<ref name=":8">{{Cita web|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT_Summit_2025/assets/images/IUT-core_link.png|titolo=Funzionamento della IUT (file PNG, 2025)|data=2025}}</ref>
Nel luglio 2016, Yuichiro Hoshi ha pubblicato 3 gruppi di slide per spiegare i paper III e IV della IUT dal punto di vista del trasporto mono-abeliano.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport I: Log-theta-lattices|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_1.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport II: Number Fields|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_2.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Yuichiro Hoshi|data=22 luglio 2016|titolo=[IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport III: Theta Values|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20160722_3.pdf|formato=pdf}}</ref> In modo analogo, Ivan Fesenko ha pubblicato 98 slide di una talk di un'ora e mezza sulla IUT<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|titolo=On the IUT theory of Shinichi Mochizuki|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/jltr.pdf|formato=pdf}}</ref> oltre a un breve saggio critico chiamato "Fukugen" (復元, letteralmente "ricostruzione") del 2016.<ref name=":11">{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|data=7 novembre 2016|titolo=Fukugen: On Shinichi Mochizuki’s Inter-universal Teichmüller Theory|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/fnin.pdf|formato=pdf}}</ref> Anche Fucheng Tan ha pubblicato delle slide che introducono la IUT e dei consigli su come leggere i paper di Mochizuki.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Fucheng Tan|anno=2018|titolo=Introduction to Inter-universal Teichmuller theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tan%20---%20Introduction%20to%20inter-universal%20Teichmuller%20theory%20(slides).pdf}}</ref> Altri brevi paper di approfondimento e usati in alcune lezioni e talk sono stati prodotti da Mochizuki<ref name=":9">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=2025|mese=marzo|titolo=INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY AS AN ANABELIAN GATEWAY TO DIOPHANTINE GEOMETRY AND ANALYTIC NUMBER THEORY (IUT SUMMIT 2025 VERSION)|città=Kyoto|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUT%20Summit%202025%20version).pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|data=2020|mese=novembre|titolo=CLASSICAL ROOTS OF INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2020-11%20Classical%20roots%20of%20IUT.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki et al.|anno=2021|titolo=PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMÜLLER THEORY - 復元|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/Promenade-IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf|formato=pdf}}</ref> insieme a una sua talk del 2025 per l'''International Centre for Mathematical Sciences'' in cui viene affrontata anche la IUT.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=International Centre for Mathematical Sciences|data=2025-06-06|titolo=Shinichi Mochizuki, Teichmüller dilations of varying hues: from complex teichmüller theory|lingua=en|accesso=2025-07-16|url=https://www.youtube.com/watch?v=aHUQ9347zlo&list=PLUbgZHsSoMEULfwyTKSsmJ00j-OKlO8MS&index=5}}</ref> Nel 2018, Go Yamashita ha pubblicato un condensato di 400 pagine sulle basi di geometria mono-anabeliana assoluta insieme alle basi della IUT e alla dimostrazione della congettura abc.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Go Yamashita|anno=2018|titolo=A PROOF OF THE ABC CONJECTURE AFTER MOCHIZUKI|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2024Jun25.pdf|formato=pdf}}</ref>
Nell'aprile 2020, Taylor Dupuy ha pubblicato un paper che discute le applicazioni della IUT per ricavare tre varianti della disuaglianza di Szpiro, dette "Probabilistic Szpiro", "Baby Szpiro" e "Explicit Szpiro".<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Taylor|cognome=Dupuy|nome2=Anton|cognome2=Hilado|data=2020-04-29|titolo=Probabilistic Szpiro, Baby Szpiro, and Explicit Szpiro from Mochizuki's Corollary 3.12|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2004.13108|url=http://arxiv.org/abs/2004.13108}}</ref>
Nel paper ''Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory'',<ref name=":3">{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2023|titolo=Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(MFO-RIMS23%20Oberwolfach%20Report).pdf|formato=pdf}}</ref> pubblicato dopo un workshop del RIMS svolto insieme all'Istituto di ricerca matematica di Oberwolfach (''Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,'' MFO), Mochizuki ha delineato una futura linea di ricerca, focalizzata sull'applicazione della IUT alla geometria mono-anabeliana assoluta per trovare altri risultati in geometria diofantea. Un'altra linea di ricerca consiste nella semplificazione della versione della IUT pubblicata nel 2012; in totale, attraverso nuovi risultati che riguardano la congettura della sezione anabeliana (''Anabelian Section Conjecture'') in geometria anabeliana di Grothendieck combinata con dei nuovi risultati in geometria anabeliana applicata agli anelli di valutazione (''valuation rings'') discreti completi con campi residui perfetti , sono in fase di sviluppo 3 nuove versioni della IUT. In particolare, il paper cita una di queste 3 versioni, la ''Galois-orbit version of IUT'' (''GalOrbIUT''),<ref name=":3" /> la "versione orbita-Galois della IUT"; tale versione, oltre ad avere applicazioni sulla congettura della sezione anabeliana per curve iperboliche su campi numerici, ha applicazioni anche sulla non-esistenza degli zeri di Seigel di alcuni L-funzioni di Dirichlet.<ref name=":9" /> Il paper infine aggiunge come la teoria della risoluzione delle non-singolarità (Resolution of Non-Singularities, RNS) funzioni come una sorta di analogo p-adico locale della IUT in base all'analogia "Norm(−) = (−)" ↔ "N·(−) ≈ (−)".
== Breve presentazione ==
=== Introduzione e nessi con la fisica quantistica ===
Secondo l'articolo ''A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüller Theory,'' la IUT è una sorta di versione aritmetica della teoria di Teichmüller che specificatamente riguarda alcuni tipi di deformazioni canoniche associate a una curva ellittica su un campo numerico e un numero primo ''l'' (lettera elle) ≥ 5. La teoria è stata generata a causa delle difficoltà nell'applicazione della teoria di Hodge-Arakelov (appartenente alla teoria degli schemi) alla geometria diofantea. Pertanto, la IUT permette le deformazioni slegate dalla teoria degli schemi.<ref name=":4" />
In una presentazione su YouTube (30:00), Ivan Fesenko spiega che la IUT è una teoria non-lineare che lavora contemporaneamente con due tipi di strutture: quelle simil-étale (étale-like, che provengono da gruppi di simmetrie) e quelle simil-Frobenius (Frobenius-like, che provengono da oggetti ordinati) e dopodiché usa le interazioni e connessioni tra loro attraverso la teoria di Kummer generalizzata. Fesenko ha notato come un analogo del comportamento di queste due nuove strutture matematiche si ritrova nelle onde e particelle della [[meccanica quantistica]] e nelle interazioni tra le due; il motivo è sconosciuto. Nella IUT esistono due simmetrie: la simmetria aritmetica (corrisponde perlopiù all'addizione di numeri) e la simmetria geometrica (corrisponde perlopiù alla moltiplicazione di numeri); sono due simmetrie molto diverse, ma l'interazione tra loro equivale all'interazione tra addizione e moltiplicazione. Anche in tal caso, il loro utilizzo nella IUT ha delle corrispondenze con il comportamento dell'elettricità e delle forze magnetiche nella fisica quantistica e al loro studio negli strati di reticoli esagonali nella crescita del grafene e negli strati di nitruro di boro; il motivo è sconosciuto.<ref name=":6" />
I nessi tra IUT e fisica quantistica sono discussi in dettaglio da Ivan Fesenko in un suo paper del luglio 2025, ''On new interactions between quantum theories and arithmetic geometry.'' In particolare, Fesenko sostiene che molte contraddizioni e punti irrisolti della meccanica quantistica derivano dall'uso della matematica disponibile al momento della sua nascita nell'anno 1900; pertanto, propone la matematica più recente come un nuovo strumento che permette di riscrivere le formule e leggi.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Ivan Fesenko|anno=2025|mese=luglio|titolo=On new interactions between quantum theories and arithmetic geometry|lingua=en|url=https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/qar.pdf|formato=pdf}}</ref>
Secondo una lezione per il grande pubblico di Fumiharu Kato del 2018, la IUT lavora con l'addizione e moltiplicazione allo stesso modo in cui la congettura abc lavora contemporaneamente con l'addizione e moltiplicazione all'interno del nucleo del suo enunciato. La IUT propone inoltre di lavorare in "teatri" o "universi" o "mondi" o "ambienti" multipli/diversi/paralleli della matematica (da cui il nome "inter-universale") e lavora individualmente con l'addizione e moltiplicazione per poi combinarli espandendo e contraendo la moltiplicazione. In diversi teatri/universi, si effettua una copia della moltiplicazione con un'operazione detta "distacco di Kummer multiradiale" (''multiradial Kummer-detachment'') che fa uso della "corrispondenza di Kummer logaritmica" (''log-Kummer correspondence''), il tutto per applicare alla copia una contrazione o deformazione, lasciando però intatta l'addizione, per poi fonderle/incollarle insieme (''glueing''). Il lavoro in universi multipli non appartiene alla matematica tradizionale praticata sia a scuola che nella ricerca scientifica; in essa, si lavora in un singolo universo/mondo/ambiente/teatro. Il trasporto (dopo il distacco) di dati da un teatro/universo all'altro (da un teatro originario a un teatro ricevente), siccome si copia la simmetria dell'oggetto e non l'oggetto stesso, provoca delle indeterminatezze o "distorsioni" (perdite di dati); se infatti si effettua una copia della moltiplicazione in due teatri/universi diversi, in quanto appartengono a due teatri/universi diversi, non ha senso porle in un'equazione e/o riportarle entrambe in un singolo teatro/universo: l'equazione è senza significato. I teatri/universi comunicano tra loro con la simmetria e ricostruzione. La simmetria (una proprietà degli oggetti o l'applicazione di un'azione che non li varia) permette di ricostruire un oggetto in modo perfetto o quasi e la ricostruzione avviene con la teoria di Kummer generalizzata multiradiale e gli algoritmi di ricostruzione mono-anabeliani; più la simmetria è complessa (questa complessità si misura attraverso i gruppi di simmetrie), più è possibile ricostruire l'oggetto originale con accuratezza (il cerchio è il massimo esempio di oggetto ricostruibile alla perfezione), mentre negli altri casi sorgono indeterminatezze/distorsioni. Le indeterminatezze/distorsioni sono quantificate; la quantificazione della magnitudine delle indeterminatezze porta alla formulazione di disequazioni che a loro volta sono utilizzabili per dimostrare congetture irrisolte come la congettura abc. La stessa geometria anabeliana usa i gruppi di Galois e i gruppi fondamentali per ricostruire oggetti e tali gruppi sono detti "anabeliani" in quanto non sono abeliani, dunque sono sufficientemente complessi da riuscire in questo scopo. All'interno della IUT viene fatto uso della funzione theta ("Θ" con doppia sottolineatura), una funzione piena di proprietà simmetriche (a loro volta correlate alle proprietà simmetriche delle curve ellittiche); tali simmetrie sono trasportabili da un teatro/universo all'altro e la stessa funzione theta si può infine ricostruire, producendo indeterminatezze che sono quantificabili e piccole. Riguardo alla congettura abc, per dimostrarla con la IUT è in più necessario ricostruire anche i campi numerici (oltre all'oggetto di partenza) con un ulteriore calcolo svolto contemporaneamente. Per ricostruire entrambi, si svolgono due calcoli contemporaneamente su infinite coppie di simmetrie (una additiva e l'altra moltiplicativa) sincronizzate tra loro sia in posti archimedei (''Archimedean places'') che in posti non-archimedei (''non-Archimedean places''); il calcolo fa uso di una funzione apposita per ricostruire i campi numerici, la funzione K.<ref name=":7" /> La quantificazione delle indeterminatezze che agiscono sui gusci logaritmici per estrapolare delle disequazioni sono effettuate attraverso una comparazione che fa uso dei gusci olomorfi (''holomorfic hulls''), delle corrispondenze di Kummer logaritmiche (''log-Kummer correspondences'') e del volume logaritmico (''log-volume'').<ref name=":8" />
La IUT lavora con le deformazioni della moltiplicazione; tali deformazioni non sono compatibili con la struttura ad anello. Un elemento fondamentale della IUT è i teatri di Hodge (Hodge Theater, HT), che sono dei sistemi di categorie associati a una curva ellittica su un campo di numeri; i teatri di Hodge, tra di loro, hanno dei legami detti "theta-link" che codificano le deformazioni; i theta-link, secondo Kato, uniscono le moltiplicazioni usando diversi teatri/universi/mondi/ambienti. Ai due estremi dei theta link si trovano l'oggetto ''q''-pilota (''q''-pilot object) e l'oggetto theta-pilota (Θ-pilot object). Le strutture ad anello non passano attraverso i theta-link, ma il gruppo di Galois e i gruppi fondamentali (gruppi di simmetrie di anelli) vi passano, per cui per ripristinare gli anelli da tali gruppi si utilizza la geometria mono-anabeliana. Durante la deformazione, che avviene tramite l'applicazione di un algoritmo, vengono perse delle informazioni siccome alcuni diagrammi sono non-commutativi. La misurazione di questa perdita di informazioni durante le deformazioni avviene attraverso gruppi di simmetrie che non perdono informazioni; la misurazione infine produce limiti/estremi (''bounds'') che infine portano alle soluzioni di problemi di teoria dei numeri.<ref name=":6" /> Sempre secondo Fesenko, la geometria mono-anabeliana assoluta e la IUT invece di stabilire un isomorfismo tra due campi nel momento in cui i loro gruppi di Galois sono isomorfi, riescono a ricostruire la struttura ad anello di un oggetto a partire dal suo gruppo di Galois assoluto o da un gruppo algebrico fondamentale. Nella IUT, la teoria di Kummer generalizzata multiradiale non è usata nella sua interezza, ma ne è usata una versione tronca siccome è limitata siccome, nella versione usata nella IUT, i fibrati in rette o "fibrati lineari" (line bundles) sono associati a funzioni theta non-archimedee. Nei teatri di Hodge, le categorie organizzate in sistema sono incollate su una base e dotate di un tipo particolare di isomorfismo). La IUT permette anche di studiare strutture matematiche associate al reticolo del logaritmo di theta (''log-Θ-lattice'') bidimensionale e non commutativo; tale reticolo riguarda i teatri di Hodge. Le indeterminatezze derivate nella IUT dalla deformazione aritmetica e dall'uso di una teoria di Kummer generalizzata specificatamente multiradiale sono leggere e sono tre: la prima è relativa agli automorfismi del gruppo di Galois assoluto di un campo locale; la seconda è relativa all'azione di un gruppo compatto di isometrie sull'immagine logaritmica delle unità; la terza deriva dal fatto che gli isomorfismi di Kummer devono essere compatibili con i log-link associati a una singola linea verticale del reticolo del logaritmo di theta.<ref name=":11" />
Riguardo all'animazione sul funzionamento della IUT (rappresentazione multi-radiale),<ref name=":5" /> Fesenko indica che a sinistra (dove c'è scritto "gruppi teta, cuspidalizzazione ellittica") è rappresentata la simmetria additiva e la funzione theta, mentre a destra (dove c'è scritto "tripodi, cuspidalizzazione di Belyi <ellittica>") è rappresentata la simmetria moltiplicativa. Kato in più (ora 1:16:16) indica che il distacco di Kummer multiradiale agisce sia sulla funzione theta (visibile a sinistra) che sulla funzione K (visibile a destra), per cui le simmetrie sono distaccate e, nell'animazione, viaggiano verso l'alto. Dopodiché, i campi discendono verso i gusci logaritmici (''log-shell'') rappresentati come delle sfere;<ref name=":7" /> essi sono gli oggetti sul quale agiscono le indeterminazioni.<ref name=":6" /> Tutti i calcoli sono sincronizzati in due teatri/universi. I gusci logaritmici sono strutture correate ai log-link associati a una linea verticale del reticolo del logaritmo di theta.
=== ''IUTeich I: Construction of Hodge Theaters'' ===
Il primo paper, lungo 183 pagine PDF in formato A4 (esclusa la magra bibliografia), devolve le prime 32 pagine come introduzione e le pagine 33-36 per discutere alcune notazioni. Il punto di partenza dell'intera IUT, oltre ai risultati in geometria mono-anabeliana assoluta, è costruito da un gruppo di 5 dati detti "dati-theta iniziali" (''initial Θ-data''); in base alla spiegazione di Mochizuki (poi semplificata da Dupuy) consiste in:<ref name=":10" />
* una curva ellittica ''E<sub>F</sub>'' su un campo numerico ''F'' (tale curva determina una curva ellittica a cui è stato rimosso il punto di origine ''X<sub>F</sub>).'' Questa curva inoltre è dotata di punti di l-torsione e un anello '''F'''''<sub>l</sub>'' = '''Z'''/''l'''''Z''' che agisce su tali punti.
* un numero primo ''l'' ≥ 5
* una chiusura algebrica di ''F''
* una serie di valutazioni '''<u>V</u>''' collegate a un sottocampo detto ''K'' (incluso nella chiusura algebrica di ''F'')
* una serie di valutazioni '''V'''<sub>mod</sub> collegate a un sottocampo detto ''F''<sub>mod</sub> (incluso nel campo numerico ''F''); ''F'' è Galois su ''F''<sub>mod</sub>
I I dati-theta iniziali determinano varie orbicurve iperboliche (''C<sub>F</sub>'') che sono correlate a ''X<sub>F</sub>'' attraverso le coperture étale finite (''finite étale coverings''). Queste coperture sono dotate di varie proprietà di simmetria che derivano dalle strutture additive e moltiplicative sull'anello sopracitato. Le ''C<sub>F</sub>'' sono ottenute formando il quoziente di ''X<sub>F</sub>'' (inteso come concetto preso dalla teoria intorno alle pile, "stack", in matematica) per azione naturale di {±1}.
Dopo lo stabilimento e studio dei dati-theta iniziali, nel paper vengono stabiliti i teatri di Hodge associati ai theta-data (Θ<sup>±ell</sup>''NF-Hodge theaters,'' dove "NF" starebbe a significare "''Number Field''", campo numerico). Secondo la definizione dello stesso Mochizuki, i teatri di Hodge (cioè gli universi/mondi/ambienti) <sup>†</sup>'''''HT'''''<sup>Θ±ellNF</sup> sono pensabili come modelli in miniatura della teoria degli schemi convenzionale dati dai sistemi di frobenioidi; in tali modelli, le dimensioni combinatoriche di un campo numerico (corrispondenti alle strutture additive e moltiplicative di un anello o simili) sono districate l'una dall'altra. Tutti i teatri di Hodge (HT) sono isomorfi l'uno all'altro e si possono disporre in catena, ma alcune porzioni di HT sono collegate da un teatro all'altro attraverso i theta-link; i theta-link, per la precisione, collegano alcune porzioni legate alla teoria dei frobenioidi l'una all'altra in una modalità incompatibile che le rispettive strutture di teoria degli anelli e degli schemi. I paper successivi introducono le indeterminazioni e la formazione di una struttura ad anello "aliena" associata al dominio del theta-link; viene chiamata "aliena" siccome non è convenzionale.
Infine, una serie di dati permettono di ricavare una cuspide e le strisce di numeri primi (''prime-strips'') appartenenti a '''<u>V</u>'''. Le strisce di numeri primi sono degli insiemi di dati che presentano delle isomorfie e un esempio è la striscia di numeri primi-''D'' (''D-prime strip''), che include anche una variante. La striscia di numeri primi-D è pensabile come l'astrazione della struttura olomorfa aritmetica locale delle copie di ''F''<sub>mod</sub> (dotate della curva ellittica XF). Nella parte introduttiva e di introduzione alla notazione, vengono anche citati gli anabelioidi e frobenioidi ('''''F'''''); questi ultimi danno origine a ulteriori strisce di numeri primi e un esempio è la striscia di numeri primi-'''''F''''' ('''''F'''-prime strip''). I teatri di Hodge sono incollabili tra loro dal pieno poli-isomorfismo tra sottosistemi di frobenioidi formati proprio da un tipo particolare di striscia di numeri primi-'''''F'''''. I poli-isomorfismi di questo tipo sono detti da Mochizuki "isomorfismi incollanti" (''gluing isomorphisms'') e formano l'immagine-Frobenius (''Frobenius-picture'').<ref name=":10" />
=== ''IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation'' ===
Il secondo paper, lungo 172 pagine PDF in formato A4 (esclusa la magra bibliografia), devolve le prime 19 pagine come introduzione. Questo paper spiega la teoria di Kummer applicata alla valutazione nella teoria di Hodge-Arakelov (cioè l'''evaluation'' in campi della matematica come la geometria algebrica applicata nello stile della teoria di Hodge-Arakelov) sulla funzione theta sui punti di l-torsione per ''l'' ≥ 5 (dove ''l'' è un numero primo). Queste considerazioni teoriche permettono di costruire nuove versioni del theta-link. Mentre le prime versioni del theta-link coinvolgono la funzione theta, queste versioni coinvolgono i valori theta ai punti di ''l''-torsione. Di queste nuove versioni del theta-link vengono studiate le proprietà di multiradialità. Un aspetto importante nella costruzione di questi nuovi theta-link risiede nello studio della sincronizzazione coniugata attraverso un tipo particolare di simmetria di un teatro di Hodge; la sincronizzazione coniugata si riferisce ad alcuni sistemi di isomorfismi (liberi di indeterminazioni di coniugazione) tra copie di gruppi di Galois assoluti locali ai vari punti di ''l''-torsione. La sincronizzazione coniugata è un fenomeno che ha un ruolo importante nella teoria di Kummer legata alla valutazione della funzione theta e, a sua volta, viene applicata nello studio delle proprietà di coricità (coricity), cioè della capacità di lasciare degli oggetti invariati. Per la precisione, nel paper viene studiata la coricità dei nuovi theta-link.<ref name=":12" />
=== ''IUTeich III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice'' ===
Il terzo paper, lungo 198 pagine PDF in formato A4 (esclusa la magra bibliografia), devolve le prime 22 pagine come introduzione e discussione di alcune notazioni. Il paper si focalizza sullo studio del reticolo del logaritmo di theta (log-theta-lattice), un diagramma altamente non-commutativo e bidimensionale dei teatri di Hodge. Ogni freccia del reticolo corrisponde a un'operazione di incollaggio (''gluing operation'') tra teatri di Hodge nel dominio e codominio della freccia.
Le frecce orizzontali del reticolo equivalgono ai nuovi theta-link (quelli costruiti nel secondo paper con l'applicazione della valutazione nello stile della teoria di Hodge-Arakelov e costruiti per la precisione ai punti di ''l''-torsione della funzione theta). Lo studio del reticolo è volto a studiare in particolare il '''''log'''''-link tra teatri di Hodge: dati dei campi numerici che vengono valutati, il '''''log'''''-link si ricava applicando il logaritmo ''p''-adico locale alle valutazioni dei campi numerici. I '''''log'''''-link sono oggetto di studio perché permettono di arrivare alla definizione dei gusci logaritmici (''log-shells''). I gusci logaritmici si possono immaginare come delle forme (leggermente aggiustate) dell'immagine delle unità locali alla valutazione in questione. Quanto invece alle frecce verticali del reticolo, esse sono date dal log-link.
Lo studio e considerazione delle varie proprietà del reticolo del logaritmo di theta porta alla costruzione degli algoritmi multiradiali; questi ultimi a loro volta portano alla costruzione di monoidi separanti dei monoidi di processione Gaussiani logaritmici (''constructing'' "''splitting monoids of logarithmic Gaussian procession monoids"'') o "monoidi LGP". Questi monoidi LGP sono pensabili come le versioni dei monoidi gaussiani (trattati nel secondo paper della serie) all'interno della teoria dei gusci logaritmici.
Dopodiché, gli algoritmi multiradiali per costruire i monoidi separanti dei monoidi LGP sono applicati concretamente e permettono di ottenre le stime per il volume logaritmico (''log-volume'') di questi monoidi LGP.<ref name=":13" />
=== ''IUTeich IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations'' ===
Il quarto paper, lungo solo 84 pagine PDF in formato A4 (esclusa la magra bibliografia), devolve le prime 8 pagine come introduzione e disambigua che le notazioni usate sono le stesse del primo paper della serie. Il paper, a seguito dell'ottenimento delle stime per il volume logaritmico dei monoidi LGP, si lancia nella ricerca di nuovi risultati nella geometria diofantea.
== Dibattiti ==
=== Pubblicazione dei paper ===
Già durante il momento della pubblicazione, appena dopo l'agosto 2012, la IUT ha messo in difficoltà i matematici di tutto il mondo a causa della sua vastità (500-600 pagine A4 in PDF) e complessità in quanto la IUT introduceva nuovi concetti a loro volta collegati a concetti semi-nuovi in un approccio recente alla geometria anabeliana, la geometria mono-anabeliana assoluta. Jordan Ellenberg dell'Università del Wisconsin-Madison ha detto che leggere i paper di Mochizuki è come leggere un paper dal futuro o dallo spazio. Gerd Faltings, già referente di Mochizuki durante il suo PhD, ha criticato la IUT per essere scritta in modo poco chiaro. Mochizuki ha rifiutato ogni invito di viaggiare all'estero per tenere lezioni, seminari e workshop sulla IUT. Il circolo di docenti e ricercatori legati a Mochizuki al RIMS ha indicato la IUT come corretta.<ref name=":2">{{Cita pubblicazione|nome=Davide|cognome=Castelvecchi|data=2020-04-03|titolo=Mathematical proof that rocked number theory will be published|rivista=Nature|volume=580|numero=7802|pp=177–177|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.1038/d41586-020-00998-2|url=https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2}}</ref>
Il 7-11 dicembre 2015, un workshop al Clay Institute of Mathematics ha provato a presentare la teoria. Al worshop, tra i vari, erano presenti Yuichiro Hoshi e Go Yamashita del RIMS di Kyoto oltre a Ivan Fesenko (Università di Nottingham), Fucheng Tan (Jiaotong University), Jakob Stix (Università di Francoforte), Minhyong Kim (Università di Oxford) e Kiran Kedlaya (Università di San Diego in California).<ref name=":2" />
Nel dicembre 2015, Taylor Dupuy ha pubblicato su YouTube una piccola serie di 3 video che presentano la IUT.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Taylor Dupuy|data=2015-12-17|titolo=IUT overview: What papers are involved? Where does it start?|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=a3nSruakVdw}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Taylor Dupuy|data=2016-07-13|titolo=Hodge Theaters: Confused Groups and Torsors|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=8yacRMVIIHs&list=PLJmfLfPx1OecDVF-VgXNeCfAlisy74PHt}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Taylor Dupuy|data=2019-01-16|titolo=IUT3, Corollary 3.12: Spaces, Pilot Objects, Indeterminacies, Mochizuki Measures|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=ZstG89SLy2k}}</ref>
Negli anni a seguire, si sono tenuti ulteriori seminari in particolare all'Università di Kyoto che tuttavia non sono riusciti a delucidare bene la IUT ai matematici presenti.
Nel mentre, l'Asahi Shimbun, un famoso quotidiano giapponese, il 16 dicembre 2017 ha dichiarato che la IUT era sul punto di essere validata; dopo questa dichiarazione, Peter Woit della Columbia University (New York) ha spiegato che l'approvazione di una teoria la cui veridicità era ancora oggetto di controversia a causa della difficoltà e vastità della teoria stessa avrebbe creato una situazione senza parallelo nella Storia della matematica.<ref name=":2" />
=== La controversia con Scholze e Stix e la pubblicazione ===
Nel marzo 2018, Peter Scholze e Jakob Stix hanno incontrato Mochizuki al RIMS di Kyoto per una settimana per discutere un presunto errore nella teoria IUT che la invalidava completamente; il punto problematico era il corollario 3.12 contenuto nel 4° paper. Mochizuki ha difeso la propria teoria. Il 16 luglio 2018, Scholze e Stix hanno pubblicato su una pagina dell'Università di Bonn il report "''Why abc is still a conjecture''" in cui spiegano come mai, secondo loro, il corollario 3.12 è errato.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Peter Scholze|autore2=Jakob Stix|data=16 luglio 2018|titolo=Why abc is still a conjecture|lingua=en|url=https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/WhyABCisStillaConjecture.pdf}}</ref> Nel luglio 2018, Mochizuki ha pubblicato un report in cui rigetta le argomentazioni di Scholze e Stix.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Shin'ichi Mochizuki|anno=2018|mese=luglio|titolo=Comments on the Manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmuller Theory (IUTCH)|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-05.pdf|formato=pdf}}</ref> Nel settembre 2018, Scholze e Stix hanno anche concesso un'intervista a Quanta, una rivista di fisica, in cui hanno ribadito come la IUT abbia una falla irreparabile e come la congettura abc non sia stata dimostrata.<ref name=":2" /> Il 6-19 aprile Peter Scholze ha avuto una discussione in merito con alcuni matematici su un blog sulla IUT e la congettura di Szpiro; anche di questa discussione esiste un report ordinato pubblicato da Scholze.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Peter Scholze|titolo=Why the Szpiro Conjecture is Still a Conjecture|lingua=en|url=https://www.math.columbia.edu/~woit/szpirostillaconjecture.pdf|formato=pdf}}</ref>
In una lezione di Ivan Fesenko, durante il question time (56:40) Fesenko stesso ha sostenuto come Scholze e Stix abbiano provato a confutare la IUT senza conoscere le basi di geometria anabeliana, per cui la loro refutazione contiene delle semplificazioni eccessive che portano a errori grossolani; ad esempio, i gruppi di simmetrie (fondamentali in geometria anabeliana) non-commutativi sono stati sostituiti per semplicità con delle identità. Inoltre, la loro refutazione è indicata come un "breve report che contiene la sua visione della IUT" e non come una dimostrazione in un paper. Infine, aggiunge che Mochizuki ha dovuto dare loro lezioni sulla IUT siccome non la conoscevano e che entrambe le fazioni si sono accordate per scrivere un proprio report sull'incontro.<ref name=":6" />
Il 3 aprile 2020 è stato annunciato che la IUT sarebbe stata pubblicata su ''Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences'', una rivista di matematica prodotta dal RIMS. L'annuncio è stato fatto da Masaki Kashiwara e Akio Tamagawa; Mochizuki, che ha più volte rifiutato le richieste di intervista e non si è mai spostato da Kyoto, non era presente alla conferenza. Questo annuncio era già stato anticipato da voci di corridoio. La pubblicazione ha aggiunto un'ulteriore controversia alla IUT. Kiran Kedlaya ha detto che, dal 2018 al 2020, la maggioranza della comunità di matematici non ha cambiato l'opinione per cui la IUT è errata. Edward Frenkel dell'Università di Berkely in California ha sospeso il giudizio sulla pubblicazione in attesa di altre informazioni sulla correttezza o meno della IUT. Minhyong Kim dell'Università di Oxford ha detto che sarebbe grande se le idee di Mochizuki fossero confermate.<ref name=":2" />
=== Sviluppi recenti ===
Nel maggio 2020, è stato pubblicato un paper di Taylor Dupuy (poi ripubblicato come seconda versione nel giugno 2025), The Statement of Mochizuki's Corollary 3.12: Initial Theta Data. In questo paper, Dupuy prova a semplificare la definizione dei dati teta iniziali e costruisce un esempio di questi dati a partire da una curva ellittica nei numeri razionali (Q); la definizione è complessa a causa della lunghezza e del grande numero di costrutti ausiliari.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Taylor|cognome=Dupuy|nome2=Anton|cognome2=Hilado|data=2025-06-19|titolo=The Statement of Mochizuki's Corollary 3.12: Initial Theta Data|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2004.13228|url=http://arxiv.org/abs/2004.13228}}</ref> Dupuy, in un'intervista del giugno 2022 postata su YouTube, spiega di "avere provato" in passato a capire la IUT<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=K-Theory|data=2022-06-14|titolo=Math Talk! Taylor Dupuy, professor of mathematics, (differential) algebraic geometry and IUTT.|lingua=en|accesso=2025-07-15|url=https://www.youtube.com/watch?v=3salrViFB-s}}</ref> e lascia intendere di non averla capita completamente a causa della lunghezza e difficoltà.
Il 6 giugno 2023, è stato istituito l'Inter-Universal Geometry Center (IUCG), poi ribattezzato ZEN Mathematics Center (ZMS), alla ZEN University, un'università online giapponese con campus fisico a Zushi (逗子), nella prefettura di Kanagawa; contestualmente Nobuo Kawakami, il fondatore di Dwango (un'azienda di telecomunicazioni), ha istituito il premio IUT Challenger e IUT Innovator: il primo è un premio pari a un milione di dollari che verrà assegnato a chi dimostra una falla nella IUT, mentre il secondo è un premio istituito per 10 anni consecutivi pari a 20.000-100.000 dollari per chi pubblica contenuti originali sulla IUT; il premio è tarato in base all'originalità e rilevanza del contributo. Il premio IUT Challenger viene assegnato direttamente da Kawakami, mentre il premio IUT Innovator viene assegnato da una giuria di membri dell'Inter-Universal Geometry Center. Gli articoli, per poter competere, devono essere pubblicati su riviste di matematica menzionate dal repertorio MathSciNet da parte di matematici che hanno pubblicato almeno 10 articoli sul tema della geometria aritmetica durante gli ultimi 10 anni.<ref>{{Cita web|lingua=it-IT|autore=Sara Carmignani|url=https://www.wired.it/article/matematica-teoria-teichmuller-verifica-premio-un-milione-di-dollari/|titolo=Chi riesce a verificare questa teoria matematica riceverà un milione di dollari|sito=Wired Italia|data=2023-07-13|accesso=2025-07-15}}</ref> Nell'aprile 2024, si è tenuta a [[Tokyo]] la prima Conferenza IUCG sulla IUT;<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://zen.ac.jp/news/0ul6zqed9-0|titolo=Establishment of International Award for IUT Theory and First IUGC Conference on IUT Theory|sito=ZEN大学|data=2023-07-07|accesso=2025-07-15}}</ref> all'epoca, lo ZEN Mathematics Center era ancora chiamato "IUCG". Nel 2024, il primo premio IUT Innovator pari a 100.000$ è stato assegnato proprio a Mochizuki, Ivan Fesenko, Yuichiro Hoshi, Arata Minamide e Wojciech Porowski per l'articolo ''Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmüller Theory,'' pubblicato sul ''Kodai Mathematical Journal'' (KMJ) dell'Istituto di Scienza a Tokyo. Il premio è stato accettato da tutti gli autori tranne Ivan Fesenko; coloro che l'hanno accettato l'hanno donato al RIMS per finanziare la ricerca sulla IUT e la relativa geometria anabeliana.<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://zen.ac.jp/news/d-5ye560_l|titolo=1st IUT innovator award winning paper decidedIUGC (Inter-universal Geometry Center) awarded US$100,000|sito=ZEN大学|data=2024-04-02|accesso=2025-07-15}}</ref>
Kirti Joshi, un matematico dell'Università dell'Arizona, ha provato a sviluppare una versione alternativa della IUT per risolvere la presunta falla trovata da Scholze e Stix. La sua versione è contenuta in 3 paper pubblicati rispettivamente nel 2021, 2023 e 2024 (e aggiornati il 24 febbraio 2025), a cui si aggiunge un preprint in cui prova a dimostrare la congettura abc:
* ''Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces I''<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Kirti|cognome=Joshi|data=2025-02-24|titolo=Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces I|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2106.11452|url=http://arxiv.org/abs/2106.11452}}</ref>
* ''Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces'' ''II½: Deformation of Number Fields''<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Kirti|cognome=Joshi|data=2025-02-24|titolo=Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces II$\frac{1}{2}$: Deformations of Number Fields|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2305.10398|url=http://arxiv.org/abs/2305.10398}}</ref>
* ''Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces'' ''III: A 'Rosetta Stone' and a proof of Mochizuki's Corollary 3.12''<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Kirti|cognome=Joshi|data=2025-02-24|titolo=Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces III: A `Rosetta Stone' and a proof of Mochizuki's Corollary 3.12|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2401.13508|url=http://arxiv.org/abs/2401.13508}}</ref>
* ''Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces IV: Proof of the abc-conjecture''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Kirti Joshi|data=25 febbraio 2025|titolo=Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces IV: Proof of the abc-conjecture|lingua=en|url=https://arxiv.org/pdf/2403.10430|formato=pdf}}</ref>
I paper inoltre spiegano le differenze tra le idee originali di Mochizuki e quelle di Joshi. Tuttavia, la sua versione è stata duramente attaccata da Mochizuki nel 2024;<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Shin'ichi Mochizuki|anno=2024|mese=marzo|titolo=Report on the Recent Series of Preprints by K. Joshi|città=Kyoto|lingua=en|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/%7Emotizuki/Report%20on%20a%20certain%20series%20of%20preprints%20(2024-03).pdf|formato=pdf}}</ref> dopodiché, è stata attaccata anche da Scholze; quest'ultimo ha nuovamente ribadito che la congettura abc è ancora irrisolta. Kirti Joshi ha anche scritto un ulteriore paper che riguarda la controversia sul corollario 3.12,<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Kirti|cognome=Joshi|data=2025-04-29|titolo=Final Report on the Mochizuki-Scholze-Stix Controversy|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2505.10568|url=http://arxiv.org/abs/2505.10568}}</ref> un insieme di domande e risposte sui propri paper a tema IUT<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Kirti Joshi|data=1° aprile 2024|titolo=Questions and answers regarding my preprints on Arithmetic Teichmuller Spaces|lingua=en|url=https://math.arizona.edu/~kirti/qa.pdf|formato=pdf}}</ref> e due riposte ad alcune critiche di Mochizuki e Scholze.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Kirti Joshi|data=2 maggio 2024|titolo=Some comments on the local/global arguments raised by
Mochizuki and Scholze|lingua=en|url=https://math.arizona.edu/%7Ekirti/local-global-issue.pdf|formato=pdf}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=Kirti Joshi|data=2 maggio 2024|titolo=Response to Mochizuki’s comments on my papers|lingua=en|url=https://math.arizona.edu/%7Ekirti/response-to-Mochizuki.pdf|formato=pdf}}</ref>
L'8 marzo 2025, Zhou Zhongpeng (周忠鹏) ha pubblicato un nuovo risultato legato alla IUT; il paper si chiama ''The inter-universal Teichmüller theory and new Diophantine results over the rational numbers. I''.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Zhong-Peng|cognome=Zhou|data=2025-03-08|titolo=The inter-universal Teichmüller theory and new Diophantine results over the rational numbers. I|lingua=en|accesso=2025-07-15|doi=10.48550/arXiv.2503.14510|url=http://arxiv.org/abs/2503.14510}}</ref> Dal titolo, potrebbe essere il primo di una serie. Nel paper, Zhongpeng applica una sua versione leggermente modificata della IUT sul campo dei numeri razionali e offre alcune dimostrazioni dell'ultimo teorema di Fermat generalizzato. Zhou Zhongpeng è un cinese originario di Lianyungang (连云港) nel Jiangsu che ha vinto le Olimpiadi nazionali di Matematica mentre era alla scuola superiore. Pertanto, è stato raccomandato all'Università di Pechino, in cui si è laureato con lode in ingegneria e ha vinto una borsa di studio; già durante la laurea triennale a Pechino, studiava online da autodidatta la teoria dei numeri. Dopodiché, ha interrotto un PhD in teoria dei grafi siccome questo campo non era compatibile con la sua passione principale, la teoria dei numeri algebrica; dal 2023, durante il suo duro lavoro come ingegnere di algoritmi di controllo del rischio alla Huawei a Haidian (Pechino), che gli assorbiva 12-14 ore al giorno (10:30-22:00), nel tempo libero e in piena notte ha studiato la IUT. Nel 2024, nell'arco di 5 mesi, ha scritto il suo paper, sottoposto poi a giugno all'attenzione di Ivan Fesenko (che nel mentre si era spostato all'Università di Westlake a Hangzhou). Dopo una discussione con Fesenko, Zhoupeng ha pubblicato il suo paper (marzo 2025), ha lasciato il suo lavoro come ingegnere nel settembre, ha tenuto una conferenza internazionale di 40 minuti a Kyoto sui suoi risultati ed è tornato a studiare matematica pura a Hangzhou sotto il tutorato di Ivan Fesenko. In futuro, vorrebbe svolgere un altro PhD con Fesenko.<ref>{{Cita web|lingua=ch|url=https://www.oursteps.com.au/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1869515|titolo=北大辍学生破解IUT“外星语言”，有望颠覆现代数学 - 国际新闻 - 新足迹 - Powered by Discuz!|sito=www.oursteps.com.au|accesso=2025-07-15}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=ch|autore=sina_mobile|url=https://finance.sina.cn/tech/2025-05-08/detail-inevuzvc2829189.d.html|titolo=从北大“退博”后，他自学5个月挑战世界数学难题|sito=finance.sina.cn|data=2025-05-08|accesso=2025-07-15}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://www.scmp.com/news/china/science/article/3312369/peking-university-dropout-cracks-iut-aliens-language-can-upend-mathematics|titolo=Peking University dropout cracks ‘alien’s language’ that may upend mathematics|sito=South China Morning Post|data=2025-05-30|accesso=2025-07-15}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=es|url=https://www.huffingtonpost.es/life/cultura/este-idioma-apodado-alienigena-matematicas-comprenden-20-personas.html|titolo=Este es el idioma apodado alienígena de las matemáticas que solo comprenden 20 personas|sito=ElHuffPost|data=2025-06-17|accesso=2025-07-15}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=fr-FR|autore=Brice Louvet|url=https://www.science-et-vie.com/cerveau-et-intelligence/un-langage-quasi-extraterrestre-lenigme-mathematique-la-plus-etrange-de-notre-epoque-est-peut-etre-en-train-detre-resolue-202187.html|titolo=« Un langage quasi extraterrestre » : L’énigme mathématique la plus étrange de notre époque est peut-être en train d’être résolue|sito=Science et vie|data=2025-06-17|accesso=2025-07-15}}</ref>
Nel luglio 2025, si è tenuta a Tokyo la seconda conferenza dello ZMC (ZEN Mathematics Center); in esso, è stata discussa la possibilità di formalizzare la geometria anabeliana con Lean4,<ref>{{Cita web|lingua=ja|url=https://zen.ac.jp/zmc/topics/j9oxyiomf|titolo=ZMCカンファレンス2025 開催のお知らせ|sito=ZMC|data=2025-02-20|accesso=2025-07-15}}</ref> in modo tale da permettere ai supercomputer di verificare le congetture e dimostrazioni matematiche in questo campo. Alla conferenza hanno partecipato, tra i vari, Yuichiro Hoshi e Kiran Kedlaya.
== Note ==
<references />
== Voci correlate ==
* [[Congettura abc]]
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