Numero perfetto totiente: differenze tra le versioni

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In [[teoria dei numeri]], si dice '''numero perfetto totiente''' un [[numero naturale]] ''n'' uguale alla somma dei suoi [[Funzione φ di Eulero|totienti]] [[algoritmo iterativo|iterati]], da ''n'' fino ad 1. Ad esempio, considerando il [[243 (numero)|numero 243]], abbiamo: [[Funzione φ di Eulero|φ]](243) = 162; φ(162) = 54; φ(54) = 18; φ(18) = 6; φ(6) = 2, φ(2) = 1. Dato che 162+54+18+6+2+1=243, 243 è un numero perfetto totentetotiente.<br/>

I primi numeri perfetti totienti sono: [[3 (numero)|3]], [[9 (numero)|9]], [[15 (numero)|15]], [[27 (numero)|27]], [[39 (numero)|39]], [[81 (numero)|81]], [[111 (numero)|111]], [[183 (numero)|183]], [[243 (numero)|243]], [[255 (numero)|255]], [[327 (numero)|327]], [[363 (numero)|363]], [[471 (numero)|471]], [[729 (numero)|729]], [[2187 (numero)|2187]], [[2199 (numero)|2199]], [[3063 (numero)|3063]], [[4359 (numero)|4359]], [[4375 (numero)|4375]], [[5571 (numero)|5571]]<ref>{{OEIS|A082897}}</ref>.

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Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se ''p''=4·3^''m''+1 è un [[numero primo]], allora 3''p'' è un numero perfetto totiente.<ref>{{cita pubblicazione|autore = Venkataraman, T.| titolo = Perfect totient number| giornale = The Mathematics Student| volume = 43| anno = 1975|p = 178|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0447089}}</ref> I primi valori di ''m'' per i quali 4·3^''m''+1 è primo sono: [[0 (numero)|0]], [[1 (numero)|1]], [[2 (numero)|2]], [[3 (numero)|3]], [[6 (numero)|6]], [[14 (numero)|14]], [[15 (numero)|15]], [[39 (numero)|39]], [[201 (numero)|201]], [[249 (numero)|249]], [[1005 (numero)|1005]], [[1254 (numero)|1254]], [[1635 (numero)|1635]], [[3306 (numero)|3306]]<ref>{{OEIS|A005537}}</ref>.

Più generalmente, se ''p'' è un numero primo maggiore di 3 e 3''p'' è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4''n''+1, ovvero ''p'' ≡ 1 ([[Aritmetica modulare|modulo]] 4)<ref>{{cita conferenza|autore=Mohan A. L., Suryanarayana D.|titolo = Perfect totient numbers|conferenza = Number theory|città=Mysore|anno=1982|paginepp = 101–105|editore = Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2051959}}</ref>; in più, ''n'' è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con ''n'' perfetto totiente e 4''n''+1 primo, anche 3·(4''n''+1)=12''n''+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una [[catena di Cunningham|catena di Cunningham generalizzata]]<ref>{{en}} John Smith, [http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html Example of perfect totient number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080430085034/http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html |data=30 aprile 2008 }} su [[PlanetMath]].</ref>. <br/>

Se 9''p'' (=3²''p'') è un numero perfetto totiente, allora p è sempre un numero primo<ref name="Iannucci">{{Cita pubblicazione|autore=Iannucci, Douglas E., Deng, Moujie, Cohen, Graeme L.|titolo=On perfect totient numbers|rivista=Journal of Integer Sequences|volume=6|numero=4|anno=2003|url=http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|accesso=18 agosto 2012|dataarchivio=12 agosto 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170812121811/http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|urlmorto=sì}}</ref>. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma 3^''m''p, dove p è un numero primo maggiore di 3 e ''m'' > 3<ref name="Iannucci"/>.

==Note==

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*{{PlanetMath|perfecttotientnumber|perfect totient number}}

*{{cita pubblicazione|nome = Luca|cognome = Florian|titolo = On the distribution of perfect totients|rivista = Journal of Integer Sequences|volume = 9|anno = 2006|numero = 4|pp = 06.4.4|url = http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf|accesso = 18 agosto 2012|urlarchivio = https://web.archive.org/web/20170811183010/http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf|dataarchivio = 11 agosto 2017|urlmorto = sì}}

*{{cita pubblicazione|autore=Pérez-Cacho Villaverde, Laureano|titolo=Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos|rivista=Revista Matematica Hispano-Americana|volume=5|numero=3|anno=1939|pp=45–5045-50|lingua=es}}

*{{cita libro|cognome=Guy|nome= Richard K.|wkautore = Richard K. Guy|titolo = Unsolved Problems in Number Theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|città = New York|lingua=ingleseen|editore = Springer-Verlag|anno = 2004| paginep = §B41|ISBN=0-387-20860-7}}

{{Funzione totiente}}

{{Portale|Matematica}}

[[Categoria:Successioni di interi]]

[[Categoria:Funzione totiente]]