Numero perfetto totiente: differenze tra le versioni

Versione delle 01:51, 15 mar 2013

Versione attuale delle 16:37, 5 ago 2025

(18 versioni intermedie di 11 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[teoria dei numeri]], si dice '''numero perfetto totiente''' un [[numero naturale]] ''n'' uguale alla somma dei suoi [[Funzione φ di Eulero|totienti]] [[algoritmo iterativo|iterati]], da ''n'' fino ad 1. Ad esempio, considerando il numero [[243 (numero)|numero 243]], abbiamo: [[Funzione φ di Eulero|φ]](243) = 162; φ(162) = 54; φ(54) = 18; φ(18) = 6; φ(6) = 2, φ(2) = 1. Dato che 162+54+18+6+2+1=243, 243 è un numero perfetto totentetotiente.<br/>

I primi numeri perfetti totienti sono: [[3 (numero)|3]], [[9 (numero)|9]], [[15 (numero)|15]], [[27 (numero)|27]], [[39 (numero)|39]], [[81 (numero)|81]], [[111 (numero)|111]], [[183 (numero)|183]], [[243 (numero)|243]], [[255 (numero)|255]], [[327 (numero)|327]], [[363 (numero)|363]], [[471 (numero)|471]], [[729 (numero)|729]], [[2187 (numero)|2187]], [[2199 (numero)|2199]], [[3063 (numero)|3063]], [[4359 (numero)|4359]], [[4375 (numero)|4375]], [[5571 (numero)|5571]]<ref>{{OEIS|A082897}}</ref>.

Riga 5:

Dato un numero <math>n \subset \mathbb{N}</math>, <math>n</math> è perfetto totiente se e solo se

:<math>n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i(n),</math>

dove

:<math>\varphi^i(n)=\left\{\begin{matrix}\varphi(n)&\mbox{ se i=1}\\ \varphi(\varphi^{i-1}(n))&\mbox{ se i ≠ 1} \end{matrix}\right.</math> (funzione totiente iterata)

e

Riga 13:

Molti numeri perfetti totienti sono [[multiplo|multipli]] di 3. Il più piccolo perfetto totiente a non essere divisibile per 3 è 4375. Tutte le [[potenza (matematica)|potenze]] di 3 sono numeri perfetti totienti, come si può verificare per [[principio d'induzione|induzione]] osservando che

:<math>\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\cdot 3^k) = 2\cdot 3^{k-1}.</math>

Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se ''p''=4·3^''m''+1 è un [[numero primo]], allora 3''p'' è un numero perfetto totiente.<ref>{{cita pubblicazione|autore = Venkataraman, T.| titolo = Perfect totient number| giornale = The Mathematics Student| volume = 43| anno = 1975| paginep = 178|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0447089}}</ref> I primi valori di ''m'' per i quali 4·3^''m''+1 è primo sono: [[0 (numero)|0]], [[1 (numero)|1]], [[2 (numero)|2]], [[3 (numero)|3]], [[6 (numero)|6]], [[14 (numero)|14]], [[15 (numero)|15]], [[39 (numero)|39]], [[201 (numero)|201]], [[249 (numero)|249]], [[1005 (numero)|1005]], [[1254 (numero)|1254]], [[1635 (numero)|1635]], [[3306 (numero)|3306]]<ref>{{OEIS|A005537}}</ref>.

Più generalmente, se ''p'' è un numero primo maggiore di 3 e 3''p'' è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4''n''+1, ovvero ''p'' ≡ 1 ([[Aritmetica modulare|modulo]] 4)<ref>{{cita conferenza|autore=Mohan A. L., Suryanarayana D.|titolo = Perfect totient numbers|conferenza = Number theory|città=Mysore|anno=1982|paginepp = 101–105|editore = Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2051959}}</ref>; in più, ''n'' è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con ''n'' perfetto totiente e 4''n''+1 primo, anche 3·(4''n''+1)=12''n''+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una [[catena di Cunningham|catena di Cunningham generalizzata]]<ref>{{en}} John Smith, [http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html Example of perfect totient number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080430085034/http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html |data=30 aprile 2008 }} su [[PlanetMath]].</ref>. <br/>

Se 9''p'' (=3²''p'') è un numero perfetto totiente, allora p è sempre un numero primo<ref name="Iannucci">{{Cita pubblicazione|autore=Iannucci, Douglas E., Deng, Moujie, Cohen, Graeme L.|titolo=On perfect totient numbers|rivista=Journal of Integer Sequences|volume=6|numero=4|anno=2003|url=http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|accesso=18 agosto 2012|dataarchivio=12 agosto 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170812121811/http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|urlmorto=sì}}</ref>. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma 3^''m''p, dove p è un numero primo magioremaggiore di 3 e ''m'' > 3<ref name="Iannucci"/>.

==Collegamenti esterni==

*{{PlanetMath|id=8741|title=Perfect totient number}}

*{{cita pubblicazione|nome = Luca|cognome= Florian|titolo= On the distribution of perfect totients|rivista = Journal of Integer Sequences|volume = 9|anno = 2006|numero = 4|pagine = 06.4.4|url=http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf}}

*{{es}} {{cita pubblicazione|autore=Pérez-Cacho Villaverde, Laureano|titolo=Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos|rivista=Revista Matematica Hispano-Americana|volume=5|numero=3|anno=1939|pagine=45–50}}

*{{cita libro|cognome=Guy|nome= Richard K.|wikiautore = Richard K. Guy|titolo = Unsolved Problems in Number Theory|città = New York|lingua=inglese|editore = Springer-Verlag|anno = 2004| pagine = §B41|ISBN=0387208607}}

==Note==

<references/>

==Collegamenti esterni==

*{{PlanetMath|id=8741perfecttotientnumber|title=Perfectperfect totient number}}

*{{cita pubblicazione|nome = Luca|cognome = Florian|titolo = On the distribution of perfect totients|rivista = Journal of Integer Sequences|volume = 9|anno = 2006|numero = 4|paginepp = 06.4.4|url = http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf|accesso = 18 agosto 2012|urlarchivio = https://web.archive.org/web/20170811183010/http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf|dataarchivio = 11 agosto 2017|urlmorto = sì}}

*{{es}} {{cita pubblicazione|autore=Pérez-Cacho Villaverde, Laureano|titolo=Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos|rivista=Revista Matematica Hispano-Americana|volume=5|numero=3|anno=1939|paginepp=45–5045-50|lingua=es}}

*{{cita libro|cognome=Guy|nome= Richard K.|wikiautorewkautore = Richard K. Guy|titolo = Unsolved Problems in Number Theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|città = New York|lingua=ingleseen|editore = Springer-Verlag|anno = 2004| paginep = §B41|ISBN=03872086070-387-20860-7}}

{{Funzione totiente}}

{{Portale|Matematica}}

[[Categoria:Successioni di interi]]

[[Categoria:Funzione totiente]]