Logica modale: differenze tra le versioni

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:<math>\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.</math>

Quindi si dirà che "È possibile che Socrate sia stato ucciso" [[se e solo se]] "Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso".

Lo studio delle logiche modali trova applicazione in [[filosofia]], nell'investigazione dei fondamenti della [[matematica]], in [[informatica]] e nelle [[scienze cognitive]].

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Tali studi ebbero ampi sviluppi nel [[Medioevo]] nell'ambito della [[Scolastica (filosofia)|filosofia Scolastica]], in particolare ad opera di [[Guglielmo di Ockham]]. Risale a questa tradizione la qualificazione di ''modale'' per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.

La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C.I. Lewis nel libro ''Symbolic Logic'', scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'[[implicazione logica]] o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione (''[[Ex falso sequitur quodlibet]]'') o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di ''implicazione stretta'', dove ''p implica strettamente q'' significa ''non è possibile che p sia vero e q sia falso'' (in simboli <math>\lnot \Diamond (p \land \lnot q)</math>, equivalente a <math>\Box(p \rightarrow q)</math>). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati. L'implicazione stretta ha rappresentato una soluzione parziale ai due paradossi delle implicazioni materiali citati.<ref>{{cita libro|autore= Pasquale De Luca|url=https://books.google.it/books?id=oV71CgAAQBAJ&pg=PT204&lpg=PT204|pagina=204|titolo=Da Pitagora al mostro di Firenze|editore=Giuffrè|isbn=9788814169724|oclc=8622712544|anno=2011|serie=Diritto e rovescio. Nuova serie|città=Milano}} Citazione: ''"BenchèBenché risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.''</ref>

Si consideri l'esempio: "i cittadini pagano le tasse", e gli enunciati modali "necessariamente i cittadini pagano le tasse", "si sa che i cittadini pagano le tasse", "credo che i cittadini paghino le tasse", mentre posso stabilire con certezza che "è possibile che i cittadini paghino le tasse" (dato che già avviene).

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=== Possibilità fisica ===

Qualcosa è fisicamente possibile se è permesso dalle leggi della natura. Ad esempio, è possibile che ci sia un atomo con numero atomico 150, anche se nella realtà tale atomo non esiste. Per contro non è in questo senso possibile che ci sia un atomo il cui nucleo contenga formaggio. Mentre è logicamente possibile accelerare qualcosa oltre la [[velocità della luce]], secondo la scienza moderna ciò non è fisicamente possibile per un oggetto dotato di massa.

=== Possibilità metafisica ===

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== Modalità epistemiche ==

{{senza fonte|Il contesto epistemico è caratterizzato dagli operatori di conoscenza, o epistemico (indicato con “K”, dall’inglese “to Know”, conoscere, sapere), e di credenza, o [[Logica doxastica|doxastico]] (indicato con “B”, dall’inglese “to Believe”, credere, essere sicuri, reputare), che nel linguaggio ordinario corrispondono rispettivamente alle espressioni "conosco, so che, p" e "credo che p, sono certo che p, reputo che p".

I due operatori sono condizionati da alcuni principi.

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* B1 Bp ⇏ p (essere certi di p non implica la verità di p)

* B2 Bp → ¬B¬p ([[principio di non contraddizione]] epistemico)

* B3 Bp → BBp (principio di introspezione)

* B4 ¬Bp → B¬Bp (tale principio prova che è impossibile dubitare di tutto, cioè che è impossibile non essere certi di dubitare)

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Nella più studiata delle logiche multimodali, la logica dei tempi verbali, dovuta a [[Arthur Prior|Arthur N. Prior]] (1951)<ref>[[Arthur Norman Prior]], ''Time and modality'', Clarendon Press, Oxford, 1957.</ref>, abbiamo i due operatori di necessità e possibilità cui Prior aggiunge altri quattro operatori per le modalità temporali: gli operatori primitivi sono H e G, da leggere 'sempre in passato' (passato forte) e 'sempre in futuro' (futuro forte), mentre i loro duali sono P e F, ossia 'qualche volta in passato' (o anche 'è stato vero che', passato debole) e 'qualche volta in futuro' (o anche 'sarà vero che', futuro debole). La logica di Prior è un'estensione della logica classica, perché in essa le proposizioni atemporali sono trattate come casi particolari delle proposizioni temporali, sebbene verrebbe più naturale pensare il contrario, cioè che le frasi temporali vere o false in relazione a una singola data siano casi particolari rispetto a frasi vere o false in ogni tempo.

Rescher<ref>Nicholas Rescher – Alasdair&nbsp;–Alasdair Urquhart, ''Temporal logic'', Springer, Wien, 1971</ref> distingue fra proposizioni cronologicamente indefinite, quasi-proposizioni la cui verità dipende dal tempo dell'asserzione e che contengono pseudo-date ("ieri", "tre minuti fa"); dalle proposizioni cronologicamente definite, la cui verità è indipendente dal tempo e che contengono date. Rescher propone una logica che chiama ''logica topologica'', una logica temporalizzazione, che aggiungo un unico operatore P parametrizzato che trasforma una proposizioni indefinite in proposizione temporale (o meglio le relativizza a un dominio di proposizioni temporali), ma che possono essere più generalmente anche spaziali, situazionali.

== Modalità deontiche ==

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In tutti i sistemi deontici (assiologici, morali, legali), non vale l'assioma '''T''' (<math>\Box p \Rightarrow p</math>), sostituito dall'assioma '''D''': <math>\Box p \Rightarrow \Diamond p</math>.

L'assioma '''D''' ha l'importante funzione di garantire l'incontraddittorietà normativa, cioè il fatto che se è obbligatoria una certa proposizione p non può contemporaneamente esserlo anche la sua negazione ¬p (''ad'' ''impossibilia nemo tenetur'').

Gli assiomi '''T''' e '''D''' pongono un diverso rapporto fra il mondo originario (di solito quello attuale) e la parte degli altri mondi possibili con cui il mondo originario è in relazione e che quindi da esso sono accessibili. Mentre l'assioma '''T''' (la necessità implica la realtà) mette il mondo originante le relazioni sullo stesso piano degli altri perché sottoposto alle medesime necessitazioni (le leggi fisiche valgono anche nel mondo attuale), ciò non vale per l'assioma '''D''' (nel mondo originante la necessità deontica implica la possibilità).

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Se indichiamo con <math>m</math> un qualsiasi calcolo modale, questo si ottiene aggiungendo al linguaggio le regole caratteristiche di deduzione di m dette D(m), costituite dalle regole del calcolo classico D(k) più le regole tipiche del calcolo modale.

La regola comune a tutti i calcoli m è la Regola di necessitazione (N) vista in precedenza, pertanto K è detto sistema formale di logica modale ''fondamentale'', e dove vale N tutti i i calcoli modali sono detti anche normali. In funzione del sistema formale di calcolo K possono essere espressi in tutti gli altri sistemi formali, con le loro regole specifiche per il calcolo modale, derivate dalle combinazioni opportune degli assiomi esposti:

* '''K''': <math> D(K) = D(k) + N</math>

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* <math> KT4G \supset K46GF</math>

* <math> KT4S \supset KT4G</math>

Il duale di un assioma si ottiene ruotando di 45° i quadrati (in modo da convertire l'operatore di necessità in quello di possibilità e viceversa) e ruotando di 180° il simbolo della freccia (per invertire il verso dell'implicazione logica).<ref>{{cita web|url=https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|titolo=Dual axioms in modal logic|data=24 gennaio 2022|accesso=9 settembre 2023|dataarchivio=16 ottobre 2022|urlarchivio=https://archive.is/20221016172121/https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|urlmorto=sì}}</ref>

=== Interpretazione dei sistemi KT, KD e KD45 ===

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* {{SEP|logic-modal|Modal Logic|James Garson}}

* {{SEP|logic-epistemic|Epistemic Logic|Rasmus Rendsvig & John Symons}}

* {{cita web|url=https://web.archive.org/web/20060723023641/http://lgxserve.ciseca.uniba.it/lei/biblioteca/lr/public/mugnai-1.0.pdf|titolo= Logica modale e mondi possibili|autore=Massimo Mugnai|accesso=21 marzo 2018|dataarchivio=23 luglio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20060723023641/http://lgxserve.ciseca.uniba.it/lei/biblioteca/lr/public/mugnai-1.0.pdf|urlmorto=sì}}

* {{cita web|url=http://mally.stanford.edu/notes.pdf|titolo=Basic Concepts in Modal Logic|autore=Edward N. Zalta}}

* {{cita web|url=http://www.horizons-2000.org/2.%20Ideas%20and%20Meaning/John%20Halleck%27s%20Logic%20System%20Interrelationships.html|titolo=Logic System Interrelationships}} Lista delle logiche modali più comuni