Logica modale: differenze tra le versioni

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Nella più studiata delle logiche multimodali, la logica dei tempi verbali, dovuta a [[Arthur Prior|Arthur N. Prior]] (1951)<ref>[[Arthur Norman Prior]], ''Time and modality'', Clarendon Press, Oxford, 1957.</ref>, abbiamo i due operatori di necessità e possibilità cui Prior aggiunge altri quattro operatori per le modalità temporali: gli operatori primitivi sono H e G, da leggere 'sempre in passato' (passato forte) e 'sempre in futuro' (futuro forte), mentre i loro duali sono P e F, ossia 'qualche volta in passato' (o anche 'è stato vero che', passato debole) e 'qualche volta in futuro' (o anche 'sarà vero che', futuro debole). La logica di Prior è un'estensione della logica classica, perché in essa le proposizioni atemporali sono trattate come casi particolari delle proposizioni temporali, sebbene verrebbe più naturale pensare il contrario, cioè che le frasi temporali vere o false in relazione a una singola data siano casi particolari rispetto a frasi vere o false in ogni tempo.

Rescher<ref>Nicholas Rescher – Alasdair&nbsp;–Alasdair Urquhart, ''Temporal logic'', Springer, Wien, 1971</ref> distingue fra proposizioni cronologicamente indefinite, quasi-proposizioni la cui verità dipende dal tempo dell'asserzione e che contengono pseudo-date ("ieri", "tre minuti fa"); dalle proposizioni cronologicamente definite, la cui verità è indipendente dal tempo e che contengono date. Rescher propone una logica che chiama ''logica topologica'', una logica temporalizzazione, che aggiungo un unico operatore P parametrizzato che trasforma una proposizioni indefinite in proposizione temporale (o meglio le relativizza a un dominio di proposizioni temporali), ma che possono essere più generalmente anche spaziali, situazionali.

== Modalità deontiche ==

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In tutti i sistemi deontici (assiologici, morali, legali), non vale l'assioma '''T''' (<math>\Box p \Rightarrow p</math>), sostituito dall'assioma '''D''': <math>\Box p \Rightarrow \Diamond p</math>.

L'assioma '''D''' ha l'importante funzione di garantire l'incontraddittorietà normativa, cioè il fatto che se è obbligatoria una certa proposizione p non può contemporaneamente esserlo anche la sua negazione ¬p (''ad'' ''impossibilia nemo tenetur'').

Gli assiomi '''T''' e '''D''' pongono un diverso rapporto fra il mondo originario (di solito quello attuale) e la parte degli altri mondi possibili con cui il mondo originario è in relazione e che quindi da esso sono accessibili. Mentre l'assioma '''T''' (la necessità implica la realtà) mette il mondo originante le relazioni sullo stesso piano degli altri perché sottoposto alle medesime necessitazioni (le leggi fisiche valgono anche nel mondo attuale), ciò non vale per l'assioma '''D''' (nel mondo originante la necessità deontica implica la possibilità).

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* <math> KT4S \supset KT4G</math>

Il duale di un assioma si ottiene ruotando di 45° i quadrati (in modo da convertire l'operatore di necessità in quello di possibilità e viceversa) e ruotando di 180° il simbolo della freccia (per invertire il verso dell'implicazione logica).<ref>{{cita web|url=https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|titolo=Dual axioms in modal logic|data=24 gennaio 2022|accesso=9 settembre 2023|dataarchivio=16 ottobre 2022|urlarchivio=https://archive.todayis/20221016172121/https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|urlmorto=sì}}</ref>

=== Interpretazione dei sistemi KT, KD e KD45 ===