Modulo (algebra): differenze tra le versioni

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{{F|algebra|dicembre 2022}}

In [[matematica]], e in particolare in [[algebra]], un '''modulo''' è una [[struttura algebrica]] che generalizza il concetto di [[spazio vettoriale]] richiedendo che gli [[Scalare (matematica)|scalari]] non costituiscano un [[campo (matematica)|campo]] ma un [[anello (algebra)|anello]]: un modulo su un anello ''A'' è quindi un [[gruppo abeliano]] ''M'' su cui è definita un'operazione che associa ad ogni elemento di ''A'' e ad ogni elemento di ''M'' un nuovo elemento di ''M''.

Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.

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Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.

Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un [[omomorfismo di anelli]] tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, o equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti [[algebra di gruppo|algebre di gruppo]].

== Esempi ==

* Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].

* Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].

* Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.

* Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.

* Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).

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Tuttavia, non sempre è possibile trovare un insieme di generatori [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]], ed anzi esistono moduli non nulli in cui nessun elemento è linearmente indipendente: ad esempio, se ''A'' è un anello e ''I'' un suo ideale, allora nessun elemento di <math>A/I</math> è linearmente indipendente, in quanto <math>iv=0</math> per ogni <math>i\in I\subseteq A</math> e per ogni <math>v\in A/I</math>.

Nel caso in cui una base (ovvero un [[insieme di generatori]] linearmente indipendente) esista, il modulo è detto [[modulo libero|libero]]; quando questo avviene, il modulo è isomorfo alla [[somma diretta]] di un numero di copie uguale alla [[cardinalità]] della sua base e, se questo è finito e uguale ad ''n'', al modulo <math>A^n</math>. In generale, questo numero ''n'' non è unico: possono cioè esserci casi in cui i moduli <math>A^n</math> ed <math>A^m</math> sono isomorfi, sebbene ''n'' ed ''m'' siano diversi. Questo non può avvenire se ''A'' è commutativo oppure se è [[anello noetheriano|noetheriano]]; in tal caso, ''n'' viene detto ''rango'' del modulo libero.<ref>{{SpringerEOM|title=Rank of a module|author=V.E. Govorov}}</ref><ref>{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=ingleseen|editore=Springer|anno=2000|isbn=1-85233-206-9|paginepp=pp.169-171}}</ref>

Nel caso degli spazi vettoriali (ovvero quando ''A'' è un campo), tutti i moduli hanno una base, ovvero tutti i moduli sono liberi; in virtù dell'esempio precedente, segue anche che se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, allora ''A'' è un [[corpo (matematica)|corpo]]. In questo caso, il rango coincide con la [[dimensione di Hamel|dimensione]] dello spazio vettoriale.

== Decomponibilità ==

Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come [[somma diretta]] di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primo]], lo <math>\Z</math>-modulo <math>\Z/p^2\Z</math> non è semplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\Z/p^2\Z=\{0,p,2p,\ldots,(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\Z/p^2\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.

Se tutti gli <math>A</math>-moduli sono semisemplici, <math>A</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che <math>A</math> sia semisemplice come <math>A</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se <math>G</math> è un [[gruppo finito]] e <math>k</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>k</math> non divide l'ordine di <math>G</math>.

È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se <math>A</math> è un PID e <math>M</math> un <math>A</math>-modulo finitamente generato, allora

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:<math>M\simeq A^k\oplus A/(q_1)\oplus A/(q_2)\oplus\cdots\oplus A/(q_n),</math>

dove i <math>q_i</math> sono potenze di [[elemento primo|elementi primi]] di <math>A</math>. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della [[forma canonica di Jordan]] per [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] su uno spazio vettoriale su un [[campo algebricamente chiuso]].

== Note ==

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|isbn=0-201-40751-5|lingua=ingleseen|cid=Atiyah}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra}}

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{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei moduli]]

[[Categoria:Strutture algebriche]]