Modulo (algebra): differenze tra le versioni
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In [[matematica
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▲In [[matematica]], e in particolare in [[algebra]], un '''modulo''' è una [[struttura algebrica]] che generalizza il concetto di [[spazio vettoriale]] richiedendo che gli [[scalare|scalari]] non costituiscano un [[campo (matematica)|campo]] ma un [[anello (algebra)|anello]]: un modulo su un anello ''A'' è quindi un [[gruppo abeliano]] ''M'' su cui è definita un'operazione che associa ad ogni elemento di ''A'' e ad ogni elemento di ''M'' un nuovo elemento di ''M''.
Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.
La nozione di modulo è centrale nell'[[algebra commutativa]] e nell'[[algebra omologica]], e forma la base della [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] dei [[gruppo (matematica)|gruppi]]; è inoltre usata nella [[geometria algebrica]] e nella [[topologia algebrica]].
== Definizione ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]]. Un ''A''-'''modulo sinistro''' ''M'' è un [[gruppo abeliano]] <math>(M,+)</math> su cui è definita un'operazione <math>A\times M \mapsto M</math> tale che
# <math>a(v+w)=av+aw</math> per ogni <math>a\in A,~v,w\in M</math>;
# <math>(a+b)v=av+bv</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>;
# <math>(ab)v=a(bv)</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>.
Analogamente, ''A''-'''modulo destro''' è un ''M'' su cui è definita un'operazione <math>M\times A \mapsto M</math> su cui valgono analoghi assiomi, ma in cui ''a'' e ''b'' sono scritti a destra degli elementi di ''M''; mentre
Se ''M'' è contemporaneamente un ''A''-modulo destro e sinistro, e se le due moltiplicazioni sono compatibili (ovvero se vale
:<math>(av)b=a(vb)</math>
per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>) allora ''
Se l'anello è [[anello unitario|unitario]], si richiede generalmente che anche l'unità sia compatibile con la struttura di modulo, nel senso che
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Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.
Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un [[omomorfismo di anelli]] tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali,
== Esempi ==
* Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].▼
* Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].▼
▲*Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].
* Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.▼
* Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.▼
▲*Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].
* Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).▼
▲*Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.
▲*Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.
▲*Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>.
== Sottomoduli, omomorfismi e quozienti ==
Per i moduli, così come per le altre struttura algebriche come i gruppi e gli anelli, è possibile dare le definizioni di sottostruttura e di omomorfismo. Le definizioni sono date nel caso di ''A''-moduli sinistri; definizioni simmetriche valgono anche nel caso di moduli destri.
Un sottogruppo ''N'' di ''M'' (come gruppo abeliano) che è stabile per moltiplicazione scalare (ovvero tale che <math>av\in N</math> per ogni <math>v\in N</math>) è detto ''sottomodulo'' di ''M''; in altri termini, un sottomodulo di ''M'' è un sottoinsieme ''N'' che è esso stesso un ''A''-modulo (con le stesse operazioni di ''M''). L'intersezione <math>N_1\cap N_2</math> e la somma <math>N_1+N_2=\{v+w|v\in N_1,~w\in N_2\}</math> di sottomoduli di ''M'' sono ancora sottomoduli; tali operazioni possono essere estese a qualunque insieme (anche infinito) di sottomoduli.
Dato un modulo ''M'' e un suo sottomodulo ''N'', il loro quoziente come moduli <math>M/N</math> coincide con il loro quoziente come gruppi abeliani; l'insieme <math>M/N</math> eredita, inoltre, una struttura di ''A''-modulo. In particolare, poiché gli ideali (bilateri) ''I'' di ''A'' sono ''A''-moduli, anche i quozienti (come anello) <math>A/I</math> sono ''A''-moduli.
Un ''omomorfismo di moduli'' è un omomorfismo di gruppi abeliani <math>f:M_1\longrightarrow M_2</math> che rispetta anche la struttura di modulo, nel senso che <math>a\cdot f(v)=f(av)</math> per ogni <math>a\in A</math>, <math>v\in M</math>. L'insieme degli elementi di <math>M_1</math> la cui immagine è 0 forma un sottomodulo, detto ''nucleo'' dell'omomorfismo; i [[teoremi di isomorfismo]] validi per i gruppi si trasferiscono immediatamente al caso dei moduli.
L'insieme degli omomorfismi tra due ''A''-moduli ''M'' ed ''N'' è esso stesso un ''A''-modulo, indicato con <math>Hom(M,N)</math> (oppure <math>Hom_A(M,N)</math> se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come
* <math>(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math> e
* <math>(af)(v)=a(f(v))</math>.
Per ogni ''A''-modulo ''M'' si ha un isomorfismo canonico <math>M\simeq Hom(A,M)</math>.
Un omomorfismo di ''A''-moduli <math>\phi:M_1\longrightarrow M_2</math> induce, per ogni ''A''-modulo, gli omomorfismi
:<math>\phi^*:Hom(M_2,N)\longrightarrow Hom(M_1,N)</math>, in cui <math>\phi^*(f)=f\circ \phi</math> e
:<math>\phi_*:Hom(N,M_1)\longrightarrow Hom(N,M_2)</math>, in cui <math>\phi_*(g)=\phi\circ g</math>.
Nei termini della [[teoria delle categorie]], questo esprime il fatto che, ad ''N'' fissato, l'applicazione <math>M\mapsto Hom(M,N)</math> è un [[funtore (matematica)|funtore]] controvariante dalla categoria degli ''A''-moduli a quella dei gruppi abeliani, mentre l'applicazione <math>M\mapsto Hom(N,M)</math> è un funtore covariante.
== Generatori, indipendenza lineare e basi ==
{{vedi anche|Modulo libero}}
Una delle maggiori differenze tra la teoria degli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] e quella dei moduli consiste nel fatto che non tutti i moduli hanno una [[base (algebra lineare)|base]].
È sempre possibile trovare, dato un modulo ''M'', un insieme di elementi che lo genera: un esempio è l'intero ''M''. Se ''M'' può essere generato da un numero finito di elementi, è detto ''finitamente generato''; ad esempio, l'anello ''A'' è un ''A''-modulo finitamente generato, perché l'elemento 1 lo genera. Da questo segue anche che, in generale, un sottomodulo di un modulo finitamente generato non è necessariamente finitamente generato: un esempio sono gli [[ideale (matematica)|ideali]] non finitamente generati di un anello ''A'' non [[anello noetheriano|noetheriano]]. Un concetto più forte è quello di modulo ''finitamente presentato'', ovvero un modulo che può essere scritto come quoziente <math>A^n/N</math>, dove ''N'' è un sottomodulo finitamente generato di <math>A^n</math>.
Tuttavia, non sempre è possibile trovare un insieme di generatori [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]], ed anzi esistono moduli non nulli in cui nessun elemento è linearmente indipendente: ad esempio, se ''A'' è un anello e ''I'' un suo ideale, allora nessun elemento di <math>A/I</math> è linearmente indipendente, in quanto <math>iv=0</math> per ogni <math>i\in I\subseteq A</math> e per ogni <math>v\in A/I</math>.
Nel caso in cui una base (ovvero un [[insieme di generatori]] linearmente indipendente) esista, il modulo è detto [[modulo libero|libero]]; quando questo avviene, il modulo è isomorfo alla [[somma diretta]] di un numero di copie uguale alla [[cardinalità]] della sua base e, se questo è finito e uguale ad ''n'', al modulo <math>A^n</math>. In generale, questo numero ''n'' non è unico: possono cioè esserci casi in cui i moduli <math>A^n</math> ed <math>A^m</math> sono isomorfi, sebbene ''n'' ed ''m'' siano diversi. Questo non può avvenire se ''A'' è commutativo oppure se è [[anello noetheriano|noetheriano]]; in tal caso, ''n'' viene detto ''rango'' del modulo libero.<ref>{{SpringerEOM|title=Rank of a module|author=V.E. Govorov}}</ref><ref>{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=en|editore=Springer|anno=2000|isbn=1-85233-206-9|pp=169-171}}</ref>
Nel caso degli spazi vettoriali (ovvero quando ''A'' è un campo), tutti i moduli hanno una base, ovvero tutti i moduli sono liberi; in virtù dell'esempio precedente, segue anche che se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, allora ''A'' è un [[corpo (matematica)|corpo]]. In questo caso, il rango coincide con la [[dimensione di Hamel|dimensione]] dello spazio vettoriale.
== Decomponibilità ==
Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come [[somma diretta]] di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primo]], lo <math>\Z</math>-modulo <math>\Z/p^2\Z</math> non è semplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\Z/p^2\Z=\{0,p,2p,\ldots,(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\Z/p^2\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.
Se tutti gli <math>A</math>-moduli sono semisemplici, <math>A</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che <math>A</math> sia semisemplice come <math>A</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se <math>G</math> è un [[gruppo finito]] e <math>k</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>k</math> non divide l'ordine di <math>G</math>.
È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se <math>A</math> è un PID e <math>M</math> un <math>A</math>-modulo finitamente generato, allora
:<math>M\simeq A^k\oplus A/(q_1)\oplus A/(q_2)\oplus\cdots\oplus A/(q_n),</math>
dove i <math>q_i</math> sono potenze di [[elemento primo|elementi primi]] di <math>A</math>. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della [[forma canonica di Jordan]] per [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] su uno spazio vettoriale su un [[campo algebricamente chiuso]].
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|isbn=0-201-40751-5|lingua=en|cid=Atiyah}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Algebra}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
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